Επίλυση παράλογων εξισώσεων αυξημένης πολυπλοκότητας. Μεταβείτε στις ενότητες. Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Βασικές μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων - σελίδα #1/1

Εκπαιδευτικός: Zykova O.E. Περίληψη μαθήματος

Τάξη: 11 - φυσικό και μαθηματικό προφίλ.

Θέμα μαθήματος: Βασικές μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων

Τύπου:Μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης.

Φόρμα μαθήματος:σεμινάριο

Στόχοι μαθήματος:

1. Συστηματοποίηση τρόπων επίλυσης παράλογων εξισώσεων. ενθαρρύνει τους μαθητές να κατακτήσουν ορθολογικές τεχνικές και μεθόδους επίλυσης, διδάσκουν πώς να εφαρμόζουν τη γνώση που αποκτήθηκε στην επίλυση εξισώσεων προχωρημένο επίπεδοδυσκολίες.

2. Αναπτύξτε λογική σκέψη, μνήμη, γνωστικό ενδιαφέρον, συνεχίζουν τη διαμόρφωση μαθηματικού λόγου και γραφικής κουλτούρας, αναπτύσσουν την ικανότητα γενίκευσης, εξαγωγή συμπερασμάτων.

3. Για να συνηθίσετε στον αισθητικό σχεδιασμό των σημειώσεων σε ένα σημειωματάριο και σε έναν πίνακα, να ενσταλάξετε την ακρίβεια, να διδάξετε την ικανότητα να ακούτε τους άλλους και την ικανότητα επικοινωνίας.

Εξοπλισμός:υπολογιστής, οθόνη, προβολέας για προβολή παρουσιάσεων, φυλλάδια για το θέμα του μαθήματος.

Πλάνο μαθήματος:

1. 
   Οργάνωση χρόνου.
2. 
   Ενημέρωση γνώσης.
3. 
   Γενίκευση και συστηματοποίηση μεθόδων επίλυσης παράλογων εξισώσεων,

εξέταση νέων.

1. 
   Αγκυροβολία
2. 
   Περίληψη μαθήματος
3. 
   Εργασία για το σπίτι

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. 
   Ώρα διοργάνωσης: το μήνυμα του θέματος του μαθήματος, ο σκοπός του μαθήματος.
2. 
   Ενημέρωση γνώσης.

Ας το θυμόμαστε αυτό παράλογη εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία μεταβλητόςπου βρίσκεται υπό το πρόσημο του ριζοσπαστικού. Η λύση μιας παράλογης εξίσωσης βασίζεται, κατά κανόνα, στην αναγωγή της σε ισοδύναμη με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών. Νωρίτερα, εξετάσαμε ορισμένες μεθόδους για την επίλυση παράλογων εξισώσεων: α) απομόνωση της ρίζας και τετραγωνισμό και των δύο μερών της εξίσωσης (μερικές φορές περισσότερες από μία φορές) β) προσδιορισμός του εύρους των αποδεκτών τιμών του αγνώστου.

προφορική εργασία .

1. 
   Ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι παράλογες:

ένα) Χ + = 2; σι)Χ =1+ Χ; γ) y + =2; ΣΟΛ) =3?

Απάντηση: α), γ), δ).

1. 
   Είναι ο αριθμός Χ 0 η ρίζα της εξίσωσης:

ένα) = , Χ 0 = 4; β) = , Χ 0 = 2; σε) = - , Χ 0 = 0?

Απάντηση: α) όχι, β) ναι, γ) όχι.

1. 
   Μάθετε για ποιες αξίες Χισχύει η ισότητα:

ένα) = ; β) =

Απάντηση: α)στοΧ , β)στοΧ .

1. 
   Χωρίς να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, εξηγήστε γιατί καθεμία από αυτές δεν μπορεί να έχει ρίζες:

α) + = - 2; β) + = - 4;

γ) + = - 1; δ) + = - 1.

Απάντηση: για κάθε έγκυρη τιμή της μεταβλητής, το άθροισμα δύο μη αρνητικών αριθμών δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

1. 
   Βρείτε το εύρος της συνάρτησης:

α) y = ; β) y = + ; γ) y = + .

Απάντηση: α) .
Στα καθήκοντα του Ενός κρατική εξέτασηυπάρχουν αρκετές εξισώσεις, για την επίλυση των οποίων είναι απαραίτητο να επιλέξετε μια μέθοδο λύσης που σας επιτρέπει να λύσετε τις εξισώσεις ευκολότερα, πιο γρήγορα. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και να θυμόμαστε άλλες μεθόδους για την επίλυση παράλογων εξισώσεων, για τις οποίες θα μιλήσουμε σήμερα: η μέθοδος εξάλειψης των ριζών σε μια παράλογη εξίσωση, πολλαπλασιασμός με έναν συζευγμένο παράγοντα. Αναγωγή σε εξισώσεις που περιέχουν απόλυτη τιμή. γραφικές και λειτουργικές μέθοδοι για την επίλυση παράλογων εξισώσεων. χρήση της ανισότητας Cauchy στην επίλυση παράλογων εξισώσεων. χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες μιας εξίσωσης της μορφής f(f(x)) = x και άλλες μεθόδους.

Μια ομάδα παιδιών ετοίμασε εργασίες για μια από τις μεθόδους λύσης. Θα σας δείξουν πώς να τα χρησιμοποιήσετε, θα πρέπει να γράψετε την απόφαση και να κάνετε ερωτήσεις.

1. 
   Γενίκευση και συστηματοποίηση μεθόδων επίλυσης παράλογων εξισώσεων, θεώρηση νέων.

1ος μαθητής.

1. 
   Οι εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή περιέχεται κάτω από το πρόσημο της ρίζας ή ανυψώνεται σε κλασματική ισχύ ονομάζονται παράλογες.

Θεωρήστε μια εξίσωση της φόρμας Πρώτα απ 'όλα, ας εστιάσουμε σε εύρος αποδεκτών τιμών της παράλογης εξίσωσης, με το οποίο εννοούμε το σύνολο τέτοιων τιμών της μεταβλητής για την οποία ορίζεται κάθε συνάρτηση που περιλαμβάνεται στην εξίσωση.

Για παράδειγμα, για την εξίσωση - = 5, το εύρος των αποδεκτών τιμών είναι το σύνολο των λύσεων στο σύστημα των ανισοτήτων, δηλαδή, το εύρος των αποδεκτών τιμών αυτής της εξίσωσης είναι ένα κενό σύνολο. Άρα η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα - = 0. Το εύρος των αποδεκτών τιμών αυτής της εξίσωσης είναι το σύνολο των λύσεων στο σύστημα των ανισοτήτων, δηλαδή, το εύρος των αποδεκτών τιμών αυτής της εξίσωσης είναι ένα σύνολο μονοστοιχείων. Η άμεση αντικατάσταση του αριθμού 2 στην εξίσωση δείχνει ότι το 2 είναι η ρίζα του.

2. Όπως ήδη αναφέρθηκε, η κύρια μέθοδος επίλυσης είναι να αυξηθούν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης στην ισχύ n. Σε αυτήν την περίπτωση, εάν το n είναι άρτιο, τότε μπορεί να προκύψουν ξένες ρίζες. Επομένως, οι εξισώσεις πρέπει να ελεγχθούν.

κι αν n = 2 κ+1 , τότε η εξίσωση = η(Χ) είναι ισοδύναμο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών με την εξίσωση σολ(Χ) =(η(Χ)) 2 κ +1 .

β) Αν n = 2 κ, τότε η εξίσωση = η(Χ) είναι ισοδύναμο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών του συστήματος

Εάν η εξίσωση περιέχει δύο ή περισσότερες ρίζες, τότε μία από τις ρίζες είναι "απομονωμένη", μετά την οποία και τα δύο μέρη της εξίσωσης ανεβαίνουν στην ισχύ n.

Ας λύσουμε τις εξισώσεις:

Παράδειγμα 1. .

Λύση

Έγκυρο εύρος:
.

Ας μετατρέψουμε την εξίσωση: . Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης:
.

Η εξίσωση που προκύπτει είναι ισοδύναμη με ένα μικτό σύστημα:

ή

Απάντηση: Χ = 1.

Παράδειγμα 2. Λύστε την εξίσωση και καθορίστε ποιες πραγματικές τιμές έναη εξίσωση έχει λύση.

Λύση

Ας ξαναγράψουμε αυτή την εξίσωση ως εξής:

Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει, παίρνουμε:

Και πάλι τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της τελευταίας εξίσωσης, παίρνουμε

Μένει να καθοριστεί για ποιες αξίες έναη εξίσωση έχει λύση.

Αντικατάσταση σε αυτήν την εξίσωση αντί για Χέκφραση
παίρνουμε:

Θεωρούμε την τελευταία ισότητα σε καθένα από τα τέσσερα διαστήματα:

Αν ένα
, τότε η ισότητα παίρνει τη μορφή: και η ταυτότητα ισχύει. Ως εκ τούτου, στο
η εξίσωση έχει λύση.

Αν ένα
, τότε η ισότητα θα πάρει τη μορφή: που δεν ικανοποιείται πότε
; Επομένως, για a = 0, η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Αν ένα
, τότε η ισότητα δεν ισχύει, γιατί

Αν ένα
, τότε ισχύει η ισότητα, αφού

Έτσι, στο
και στο

Στο
η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
Απάντηση:

1. Πότε
η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα

2. Πότε
η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
2ος μαθητής.(Εισαγωγή νέας μεταβλητής)

Η αλλαγή μεταβλητής σε μια παράλογη εξίσωση χρησιμοποιείται αρκετά συχνά. Κατά κανόνα, επιτρέπει σε κάποιον να ανάγει μια δεδομένη παράλογη εξίσωση σε μια ορθολογική ή τουλάχιστον να την απλοποιήσει.

Παράδειγμα 1 2Χ 2 +3 Χ -3 + =30.

Λύση.Έστω y= , y Τότε = y 2 - 9 και η εξίσωση θα έχει τη μορφή: y 2 - 9 - 3 + y \u003d 30. Το λύνουμε:

το σύστημα είναι ισοδύναμο με το συνδυασμό δύο συστημάτων:
ή

Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή, παίρνουμε: = 6, = 36, - 27 = 0, Χ 1 = 3, Χ 2 = - 4,5. Επειδή όλα τέλεια οι μετατροπές ήταν ισοδύναμες, τότε δεν πρέπει να ελέγξετε αυτούς τους αριθμούς.

Απάντηση: - 4,5; 3.

Παράδειγμα 2
.

Λύση.Εκφράσεις
και
είναι αμοιβαία αντίστροφα αν δεν είναι ίσα με μηδέν, δηλ.
, δηλαδή το εύρος των αποδεκτών τιμών:

Πράγματι:
.

Αφήνω
, παίρνουμε ένα μικτό σύστημα:

το σύστημα είναι ισοδύναμο με το συνδυασμό δύο συστημάτων:

ή

Επιστρέφοντας στην παλιά μεταβλητή, παίρνουμε:

Αυτή η τιμή της μεταβλητής βρίσκεται εντός του εύρους των αποδεκτών τιμών και είναι η ρίζα της εξίσωσης.
Απάντηση: 2,5.
Παράδειγμα 3

Λύση.

Έστω τότε το x εξαιρείται από αυτό και λαμβάνουμε μια εξίσωση που περιέχει τις μεταβλητές u και v.

Εξαιρούμε το x από το σύστημα των εξισώσεων:

Αντικαθιστώντας τις τιμές στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε:

Φτάνουμε στο σύστημα των εξισώσεων:

Αντικαθιστώντας τις τιμές του u από τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη, παίρνουμε:

Αυτή είναι μια διτετραγωνική εξίσωση. Ας βάλουμε
τότε ερχόμαστε στην τετραγωνική εξίσωση:
που έχει δύο ρίζες:

δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση
και είναι ξένη ρίζα. Βρίσκουμε:

Απάντηση: - 3
3ος μαθητής. (Απομόνωση του πλήρους τετραγώνου (τετράγωνο του διωνύμου) και αναγωγή σε εξισώσεις που περιέχουν απόλυτη τιμή)

Παράδειγμα 1

Λύση.

Έγκυρο εύρος:

Παρατηρούμε ότι κάτω από τα σημάδια των ριζών είναι γεμάτα τετράγωνα. Ας τα μεταμορφώσουμε:

Φτάνουμε σε μια εξίσωση που περιέχει ενότητες:


Στο
παίρνουμε την εξίσωση
Αυτή η τιμή Χδεν περιλαμβάνεται στη σειρά

Στο
παίρνουμε την εξίσωση
Αυτή η τιμή επίσης δεν περιλαμβάνεται στο εύρος
και δεν μπορεί να είναι ρίζα της εξίσωσης.

Στο
παίρνουμε την εξίσωση
- δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Στο
παίρνουμε
- δεν είναι ρίζα.

Απάντηση:δεν υπάρχουν ρίζες.

Παράδειγμα 2 + =1

Λύση.Αρίθμηση Χ 1, θα αντικαταστήσουμε= y, y και λύνουμε την εξίσωση (στο 2 = Χ -1 , έπειτα Χ= y 2 +1 ):

+ = 1 + =1 + =1

2 .

Κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση και λύνουμε την ανισότητα:

4 5

Έτσι, η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες.

Απάντηση:

Παράδειγμα 3

Λύση.

Ας ανοίξουμε τις ενότητες. Επειδή -1 ≤ συν0,5 Χ≤ 1, μετά -4 ≤ συν0,5 Χ - 3 ≤ -2, άρα . Επίσης,

Τότε παίρνουμε την εξίσωση: 3- - 3 + 2 = 1

cos0.5 Χ = 1

Χ= 4πn, nZ.

Απάντηση: 4πn, nZ.

4ος μαθητής.(Μέθοδος εξάλειψης των ριζών σε μια παράλογη εξίσωση, πολλαπλασιάζοντας με έναν συζευγμένο παράγοντα)

Ο σκοπός του πολλαπλασιασμού με την παρακείμενη έκφραση είναι σαφής: να εκμεταλλευτεί το γεγονός ότι το γινόμενο δύο παρακείμενων παραστάσεων δεν περιέχει πλέον ρίζες.

Παράδειγμα 1

Λύση.

Αποδεκτό εύρος




ή

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με την έκφραση συζευγμένη στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, δηλ.
παίρνουμε:

Έτσι, η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα των εξισώσεων:

προσθέστε τις εξισώσεις και λάβετε:

Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει και καταλήγουμε στη γραμμική εξίσωση

Αυτή η τιμή βρίσκεται εντός του εύρους των αποδεκτών τιμών και είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Απάντηση:
Παράδειγμα 2

Λύση.

ODZ - το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών δηλ.
.

Ας μετατρέψουμε την εξίσωση

Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, λάβαμε ένα ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με (
). Στην αριστερή πλευρά παίρνουμε το άθροισμα των κύβων αυτών των εκφράσεων - δεν υπάρχουν ρίζες.

Απάντηση: Δεν υπάρχουν λύσεις.
5ος μαθητής. (Εφαρμογή της ανισότητας του Kashi και των ιδιοτήτων μιας εξίσωσης της μορφής φά(φά(Χ)) = Χ)
Εφαρμογή της ανισότητας Cauchy.

Κατά την επίλυση ορισμένων παράλογων εξισώσεων, μερικές φορές είναι χρήσιμο να χρησιμοποιείται η γνωστή κλασική ανισότητα Cauchy: για τυχόν θετικούς αριθμούς ένα και σι η ανισότητα είναι αληθής:

, όπου το πρόσημο ίσου επιτυγχάνεται αν και μόνο αν ένα= σι.

Παράδειγμα 1

Λύση. Με την ανισότητα του Cauchy, έχουμε:

Επομένως, η αριστερή πλευρά της ανισότητας δεν υπερβαίνει Χ + 1. Πράγματι, προσθέτουμε και τις δύο πλευρές των ανισοτήτων,

παίρνουμε:

Έτσι, από αυτή την εξίσωση προκύπτει ότι η δεξιά πλευρά, όντας ίση με την αριστερή, θα είναι επίσης μικρότερη ή ίση με Χ+ 1, δηλαδή σημαίνει Χ= 1. Αυτή η τιμή είναι η μόνη λύση αυτής της εξίσωσης.

Απάντηση: 1.

Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες μιας εξίσωσης της μορφής f(f(x)) = x

Θεώρημα. Αν η y = f(x) είναι μονότονα αύξουσα συνάρτηση, τότε οι εξισώσεις

Ισοδύναμος.

Σχόλιο . Το θεώρημα έχει μια γενίκευση. Αν η y = f(x) είναι μονότονα αύξουσα, τότε για κάθε k οι εξισώσεις
και
είναι ισοδύναμα.

Εφαρμογή αυτού του θεωρήματος στη λύση παράλογων εξισώσεων. «αντιμονότονος», δηλ.
αυξάνει και
μειώνεται και αντίστροφα, τότε μια τέτοια εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα.

Για να διευκρινιστεί η μονοτονία μιας συγκεκριμένης συνάρτησης που περιλαμβάνεται στην εξίσωση, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει, πρώτα απ 'όλα, τις ιδιότητες των στοιχειωδών συναρτήσεων. Η αυστηρή μονοτονία της υπό μελέτη συνάρτησης μπορεί εύκολα να αποσαφηνιστεί με τη βοήθεια της παραγώγου.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα. .

Λύση.Μπορείτε να προσπαθήσετε να λύσετε αυτήν την εξίσωση τετραγωνίζοντας (τρεις φορές!). Ωστόσο, αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια εξίσωση τέταρτου βαθμού. Ας προσπαθήσουμε να μαντέψουμε τη ρίζα. Αυτό είναι εύκολο να γίνει:
. Τώρα σημειώστε ότι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι αύξουσα συνάρτηση, ενώ η δεξιά πλευρά φθίνουσα. Αυτό όμως σημαίνει ότι μια τέτοια εξίσωση δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες. Ετσι,
είναι η μόνη ρίζα.

Υ. Περίληψη μαθήματος:

1. 
   Ποιες μεθόδους επίλυσης παράλογων εξισώσεων έχουμε εξετάσει;
2. 
   Ποιες από αυτές τις μεθόδους χρησιμοποιούνται για την επίλυση άλλων τύπων εξισώσεων;
3. 
   Ποια από αυτές τις μεθόδους σας άρεσε περισσότερο και γιατί;

YI. Εργασία για το σπίτι:Από τις προτεινόμενες εξισώσεις, επιλέξτε τουλάχιστον 5 εξισώσεις και λύστε τις.

Οι εξισώσεις στις οποίες μια μεταβλητή περιέχεται κάτω από το πρόσημο της ρίζας ονομάζονται παράλογες.

Οι μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων, κατά κανόνα, βασίζονται στη δυνατότητα αντικατάστασης (με τη βοήθεια ορισμένων μετασχηματισμών) μιας ανορθολογικής εξίσωσης με μια ορθολογική εξίσωση που είτε είναι ισοδύναμη με την αρχική παράλογη εξίσωση είτε είναι η συνέπειά της. Τις περισσότερες φορές, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης ανεβαίνουν στην ίδια ισχύ. Σε αυτή την περίπτωση, προκύπτει μια εξίσωση, η οποία είναι συνέπεια της αρχικής.

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, πρέπει να ληφθούν υπόψη τα ακόλουθα:

1) εάν ο ριζικός δείκτης είναι ζυγός αριθμός, τότε η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική. η τιμή της ρίζας είναι επίσης μη αρνητική (ο ορισμός μιας ρίζας με ζυγό εκθέτη).

2) εάν ο ριζικός δείκτης είναι περιττός αριθμός, τότε η ριζική έκφραση μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. σε αυτήν την περίπτωση, το πρόσημο της ρίζας είναι το ίδιο με το πρόσημο της έκφρασης ρίζας.

Παράδειγμα 1λύσει την εξίσωση

Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.
x 2 - 3 \u003d 1;
Μεταφέρουμε το -3 από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης στη δεξιά πλευρά και εκτελούμε την αναγωγή παρόμοιων όρων.
x 2 \u003d 4;
Η προκύπτουσα ημιτελής τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες -2 και 2.

Ας ελέγξουμε τις ρίζες που αποκτήθηκαν, για αυτό θα αντικαταστήσουμε τις τιμές της μεταβλητής x στην αρχική εξίσωση.
Εξέταση.
Όταν x 1 \u003d -2 - true:
Όταν x 2 \u003d -2- true.
Από αυτό προκύπτει ότι η αρχική παράλογη εξίσωση έχει δύο ρίζες -2 και 2.

Παράδειγμα 2λύσει την εξίσωση .

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο όπως στο πρώτο παράδειγμα, αλλά θα το κάνουμε διαφορετικά.

Ας βρούμε το ODZ αυτής της εξίσωσης. Από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας, προκύπτει ότι σε αυτή την εξίσωση πρέπει να ικανοποιούνται δύο προϋποθέσεις ταυτόχρονα:

ODZ της δεδομένης εξίσωσης: x.

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Παράδειγμα 3λύσει την εξίσωση =+ 2.

Η εύρεση του ODZ σε αυτή την εξίσωση είναι μια αρκετά δύσκολη εργασία. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x2=0.
Μετά τον έλεγχο, διαπιστώνουμε ότι το x 2 \u003d 0 είναι μια επιπλέον ρίζα.
Απάντηση: x 1 \u003d 1.

Παράδειγμα 4Λύστε την εξίσωση x =.

Σε αυτό το παράδειγμα, το ODZ είναι εύκολο να βρεθεί. ODZ αυτής της εξίσωσης: x[-1;).

Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης, ως αποτέλεσμα παίρνουμε την εξίσωση x 2 \u003d x + 1. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης:

Είναι δύσκολο να ελέγξετε τις ρίζες που βρέθηκαν. Όμως, παρά το γεγονός ότι και οι δύο ρίζες ανήκουν στο ODZ, είναι αδύνατο να ισχυριστεί κανείς ότι και οι δύο ρίζες είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Αυτό θα οδηγήσει σε σφάλμα. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσημια παράλογη εξίσωση ισοδυναμεί με συνδυασμό δύο ανισοτήτων και μιας εξίσωσης:

x+10 και x0 και x 2 \u003d x + 1, από το οποίο προκύπτει ότι η αρνητική ρίζα για την παράλογη εξίσωση είναι ξένη και πρέπει να απορριφθεί.

Παράδειγμα 5.Λύστε την εξίσωση += 7.

Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και ας κάνουμε τη μείωση όμοιων όρων, μεταφέρουμε τους όρους από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο και πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη με 0,5. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την εξίσωση
= 12, (*) που είναι συνέπεια του αρχικού. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ξανά. Παίρνουμε την εξίσωση (x + 5) (20 - x) = 144, η οποία είναι συνέπεια της αρχικής. Η εξίσωση που προκύπτει ανάγεται στη μορφή x 2 - 15x + 44 =0.

Αυτή η εξίσωση (η οποία είναι επίσης συνέπεια της αρχικής) έχει ρίζες x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Και οι δύο ρίζες, όπως δείχνει η δοκιμή, ικανοποιούν την αρχική εξίσωση.

Μαλλομέταξο ύφασμα. x 1 = 4, x 2 = 11.

Σχόλιο. Όταν τετραγωνίζουν εξισώσεις, οι μαθητές συχνά σε εξισώσεις όπως (*) πολλαπλασιάζουν εκφράσεις ρίζας, δηλαδή αντί για εξίσωση = 12, γράφουν την εξίσωση = 12. Αυτό δεν οδηγεί σε σφάλματα, αφού οι εξισώσεις είναι συνέπειες των εξισώσεων. Ωστόσο, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι στη γενική περίπτωση, ένας τέτοιος πολλαπλασιασμός ριζικών εκφράσεων δίνει μη ισοδύναμες εξισώσεις.

Στα παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω, ήταν δυνατό να μεταφερθεί πρώτα μία από τις ρίζες στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Τότε μια ρίζα θα παραμείνει στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και αφού τετραγωνιστούν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης, θα ληφθεί μια ορθολογική συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Αυτή η τεχνική (μοναξιά της ρίζας) χρησιμοποιείται αρκετά συχνά στην επίλυση παράλογων εξισώσεων.

Παράδειγμα 6. Λύστε την εξίσωση-= 3.

Έχοντας απομονώσει την πρώτη ρίζα, λαμβάνουμε την εξίσωση
=+ 3, που ισοδυναμεί με το αρχικό.

Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης, παίρνουμε την εξίσωση

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, που ισοδυναμεί με την εξίσωση

4x - 5 = 3(*). Αυτή η εξίσωση είναι συνέπεια της αρχικής εξίσωσης. Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, φτάνουμε στην εξίσωση
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) ή

7x2 - 13x - 2 = 0.

Αυτή η εξίσωση είναι συνέπεια της εξίσωσης (*) (και επομένως της αρχικής εξίσωσης) και έχει ρίζες. Η πρώτη ρίζα x 1 = 2 ικανοποιεί την αρχική εξίσωση και η δεύτερη x 2 =- όχι.

Απάντηση: x = 2.

Σημειώστε ότι εάν αμέσως, χωρίς να απομονώσουμε μία από τις ρίζες, τετραγωνίζαμε και τα δύο μέρη της αρχικής εξίσωσης, θα έπρεπε να εκτελέσουμε μάλλον δυσκίνητους μετασχηματισμούς.

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, εκτός από την απομόνωση των ριζών, χρησιμοποιούνται και άλλες μέθοδοι. Εξετάστε ένα παράδειγμα χρήσης της μεθόδου αντικατάστασης του αγνώστου (η μέθοδος εισαγωγής μιας βοηθητικής μεταβλητής).

Υπάρχουν δύο ισοδύναμες μέθοδοι λύσεις παράλογων εξισώσεωνμε τετραγωνικές ρίζες:

• Μέθοδος ισοδύναμων μεταβάσεων (λαμβάνοντας υπόψη το ODZ). Σε αυτήν την περίπτωση, για τη σωστή καταγραφή του εύρους των επιτρεπόμενων τιμών, στη γενική περίπτωση, είναι απαραίτητο να απαιτείται η μη αρνητικότητα όλων των ριζικών εκφράσεων, καθώς και εκφράσεων που είναι ίσες με τετραγωνικές ρίζες (αν μπορούν να είναι αλγεβρικά εκφράζεται από την εξίσωση).
• Τρόπος μετάβασης στην εξίσωση-συνέπεια (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το ODZ). Αυτή η μέθοδος απαιτεί αναγκαστικά έλεγχο των ριζών με υποκατάσταση.

Για να είμαι ειλικρινής, σε παράλογες εξισώσεις είναι μερικές φορές τόσο δύσκολο να γράψετε σωστά το DPV που ακόμα κι αν προσπαθήσετε να το κάνετε αυτό, είναι ακόμα καλύτερο να ελέγξετε τις ρίζες με αντικατάσταση, ειδικά αν οι ρίζες είναι ακέραιοι.

Δώστε προσοχή σε ένα πολύ συνηθισμένο λάθος– αν λύσετε μια εξίσωση όπως:

Στη συνέχεια, κατά τη σύνταξη του ODZ, είναι απαραίτητο να απαιτηθεί η μη αρνητικότητα της δεξιάς πλευράς, δηλαδή να επιβληθεί η συνθήκη:

Επιπλέον, είναι απαραίτητο να το καταλάβουμε αυτή η συνθήκηπρέπει να προσθέσετε επιπλέον στο ODZ ακόμα κι αν καταλήξατε σε μια τέτοια εξίσωση μετά από αρκετούς μετασχηματισμούς (τετραγωνισμός), και όχι μόνο στην περίπτωση που η εξίσωση αρχικά φαινόταν έτσι.

Στις παράλογες εξισώσεις, η ακόλουθη παρατήρηση γίνεται ιδιαίτερα σημαντική: προκειμένου το γινόμενο πολλών παραγόντων να είναι ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο τουλάχιστον ένας από αυτούς να είναι ίσος με μηδέν, και τα υπόλοιπα υπήρχαν. Όταν οι παράγοντες είναι ρίζες, και όχι απλώς αγκύλες όπως στις ορθολογικές εξισώσεις, τότε συχνά μπορεί να μην υπάρχουν. Έτσι συμβαίνουν τα σφάλματα.

Εάν υπάρχουν πολλές ρίζες σε μια παράλογη εξίσωση, τότε είναι πολύ επιθυμητό να μεταφερθούν οι ρίζες από τα δεξιά προς τα αριστερά ή το αντίστροφο πριν τετραγωνιστεί αυτή η εξίσωση, έτσι ώστε σε κάθε πλευρά να προκύπτει το άθροισμα των ριζών, δηλαδή μια σκόπιμα θετική έκφραση . Εάν, για κάποιο λόγο, αποφασίσετε να τετραγωνίσετε τη διαφορά των ριζών (δηλαδή, την έκφραση της οποίας το πρόσημο είναι άγνωστο), τότε ετοιμαστείτε να αποκτήσετε πολλές ξένες ρίζες. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι επιτακτική ανάγκη να ελέγξετε όλες τις ρίζες με αντικατάσταση, γιατί το πιθανότερο είναι ότι δεν θα λειτουργήσει η σωστή εγγραφή του ODZ.

Εάν η παράλογη εξίσωση έχει μια ρίζα στη ρίζα, τότε θα χρειαστεί να τετραγωνιστεί αυτή η εξίσωση πολλές φορές, ενώ το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε ότι σύμφωνα με τις συνθήκες που ορίζονται παραπάνω, με κάθε τέτοια κατασκευή, όλο και περισσότερες νέες συνθήκες για το ODZ μπορεί να ληφθεί. Σε τέτοιες εξισώσεις, εάν είναι δυνατόν, είναι καλύτερο να ελέγξετε τις ρίζες με αντικατάσταση.

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, είναι συχνά βολικό να χρησιμοποιείται μια αντικατάσταση. Ταυτόχρονα, το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι μετά την εισαγωγή μιας αντικατάστασης σε κάποια εξίσωση, αυτή η εξίσωση θα πρέπει:

• Πρώτον, να γίνει ευκολότερο?
• Δεύτερον, δεν περιέχει πλέον την αρχική μεταβλητή.

Επιπλέον, είναι σημαντικό να μην ξεχνάτε να κάνετε την αντίστροφη αντικατάσταση, δηλ. αφού βρείτε τις τιμές για τη νέα μεταβλητή (για αντικατάσταση), αντί να την αντικαταστήσετε, σημειώστε τι ισούται με την αρχική μεταβλητή, εξισώστε αυτήν την έκφραση με τις τιμές που βρέθηκαν για την αντικατάσταση και λύστε ξανά τις εξισώσεις .

Κατά την επίλυση συστημάτων παράλογων εξισώσεων με δύο άγνωστα, συχνά αρκεί να ενεργούμε σύμφωνα με το τυπικό σχήμα. Δηλαδή, να εκφράσετε μια από τις μεταβλητές από μια από τις εξισώσεις και να αντικαταστήσετε αυτήν την έκφραση με την αντίστοιχη μεταβλητή σε μια άλλη εξίσωση. Μετά από αυτό, θα ληφθεί κάποια παράλογη εξίσωση με ένα άγνωστο, η οποία στη συνέχεια θα πρέπει να λυθεί λαμβάνοντας υπόψη όλους τους κανόνες για την επίλυση παράλογων εξισώσεων. Η τιμή της πρώτης μεταβλητής πρέπει στη συνέχεια να βρεθεί χρησιμοποιώντας την έκφρασή της ως προς την ήδη βρεθεί μεταβλητή.

Κατά την επίλυση συστημάτων παράλογων εξισώσεων με μεγάλο αριθμό μεταβλητών, συχνά αρκεί η χρήση της μεθόδου αντικατάστασης. Επίσης, κατά την επίλυση συστημάτων παράλογων εξισώσεων, συχνά βοηθά η μέθοδος αλλαγής μεταβλητών. Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι μετά την εισαγωγή της αλλαγής των μεταβλητών στο σύστημα:

• Πρώτον, θα πρέπει και πάλι να απλοποιηθεί.
• Δεύτερον, θα πρέπει να υπάρχουν τόσες νέες μεταβλητές όσες και παλιές.
• Τρίτον, το σύστημα δεν θα πρέπει πλέον να περιέχει παλιές μεταβλητές.
• Τέταρτον, πρέπει να θυμάστε να εκτελέσετε την αντίστροφη αντικατάσταση.

Βασικές ιδιότητες των βαθμών

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, είναι απαραίτητο να θυμόμαστε πολλές ιδιότητες των δυνάμεων και των ριζών. Παραθέτουμε παρακάτω τα κυριότερα. Τα μαθηματικά πτυχία έχουν πολλές σημαντικές ιδιότητες:

Το τελευταίο ακίνητο ικανοποιείται μόνο όταν n> 0. Το μηδέν μπορεί να αυξηθεί μόνο σε θετική ισχύ. Λοιπόν, η κύρια ιδιοκτησία αρνητικό βαθμόγράφεται ως εξής:

Βασικές ιδιότητες των μαθηματικών ριζών

Η μαθηματική ρίζα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας συνηθισμένος βαθμός και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσει όλες τις ιδιότητες των βαθμών που δίνονται παραπάνω. Για αναπαράσταση μιας μαθηματικής ρίζας ως βαθμόςχρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο:

Ωστόσο, είναι δυνατό να γραφτούν ξεχωριστά ορισμένες ιδιότητες των μαθηματικών ριζών, οι οποίες βασίζονται στις ιδιότητες των βαθμών που περιγράφονται παραπάνω:

Για τις αριθμητικές ρίζες ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα (η οποία μπορεί επίσης να θεωρηθεί ο ορισμός της ρίζας):

Το τελευταίο ισχύει: αν nείναι περίεργο, τότε για οποιοδήποτε ένα; αν nείναι άρτιο, τότε μόνο όταν έναμεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Για περίεργη ρίζαισχύει επίσης η ακόλουθη ισότητα (μπορεί να αφαιρεθεί ένα σύμβολο μείον κάτω από τη ρίζα ενός περιττού βαθμού):

Επειδή η τιμή της ρίζας ενός άρτιου βαθμού μπορεί να είναι μόνο μη αρνητική, τότε τέτοιες ρίζες έχουν την ακόλουθη σημαντική ιδιότητα:

Επομένως, πρέπει πάντα να θυμάστε ότι μόνο μια μη αρνητική έκφραση μπορεί να σταθεί κάτω από τη ρίζα ενός ζυγού βαθμού, και η ίδια η ρίζα είναι επίσης μια μη αρνητική έκφραση. Επιπλέον, πρέπει να σημειωθεί ότι εάν χρησιμοποιείται σημειογραφία με μαθηματικό πρόσημο ρίζας, τότε ο εκθέτης αυτής της ρίζας μπορεί να είναι μόνο ένας ακέραιος και αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με δύο:

Βασικές ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας

τετραγωνική ρίζαονομάζεται μαθηματική ρίζα του δεύτερου βαθμού:

Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να ληφθεί μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό.Επιπλέον, η τιμή της τετραγωνικής ρίζας είναι επίσης πάντα μη αρνητική:

Για την τετραγωνική ρίζα, υπάρχουν δύο σημαντικές ιδιότητες που είναι σημαντικό να θυμάστε πολύ καλά και να μην συγχέονται:

Εάν υπάρχουν αρκετοί παράγοντες κάτω από τη ρίζα, τότε η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από καθένα από αυτά ξεχωριστά. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι καθένας από αυτούς τους παράγοντες ξεχωριστά (και όχι μόνο το προϊόν τους) πρέπει να είναι μη αρνητικός:

Σημειώστε μια άλλη περίπτωση χρήσης για την τελευταία ιδιότητα. Εάν υπάρχει ένα γινόμενο δύο αρνητικών τιμών κάτω από την τετραγωνική ρίζα (δηλαδή, η συνολική τιμή είναι θετική, που σημαίνει ότι η ρίζα υπάρχει), τότε αυτή η ρίζα παραγοντοποιείται ως εξής:

• Πίσω
• Προς τα εμπρός

Πώς να προετοιμαστείτε με επιτυχία για το CT στη Φυσική και τα Μαθηματικά;

Για να προετοιμαστείτε επιτυχώς για την αξονική τομογραφία στη Φυσική και τα Μαθηματικά, μεταξύ άλλων, πρέπει να πληρούνται τρεις κρίσιμες προϋποθέσεις:

1. Μελετήστε όλα τα θέματα και ολοκληρώστε όλα τα τεστ και τις εργασίες που δίνονται στο υλικό μελέτης σε αυτόν τον ιστότοπο. Για να το κάνετε αυτό, δεν χρειάζεστε τίποτα απολύτως, δηλαδή: να αφιερώνετε τρεις έως τέσσερις ώρες κάθε μέρα στην προετοιμασία για το CT στη φυσική και στα μαθηματικά, στη μελέτη της θεωρίας και στην επίλυση προβλημάτων. Το γεγονός είναι ότι η αξονική τομογραφία είναι μια εξέταση όπου δεν αρκεί μόνο να γνωρίζεις φυσική ή μαθηματικά, πρέπει επίσης να μπορείς να λύνεις γρήγορα και χωρίς αποτυχίες μεγάλο αριθμό προβλημάτων σε διαφορετικά θέματακαι ποικίλης πολυπλοκότητας. Το τελευταίο μπορεί να μάθει μόνο με την επίλυση χιλιάδων προβλημάτων.
2. Μάθετε όλους τους τύπους και τους νόμους στη φυσική, και τους τύπους και τις μεθόδους στα μαθηματικά. Στην πραγματικότητα, είναι επίσης πολύ απλό να γίνει αυτό, υπάρχουν μόνο περίπου 200 απαραίτητοι τύποι στη φυσική, και ακόμη λίγο λιγότεροι στα μαθηματικά. Σε καθένα από αυτά τα θέματα υπάρχουν περίπου δώδεκα τυπικές μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων. βασικό επίπεδοδυσκολίες που μπορούν επίσης να μαθευτούν, και έτσι, εντελώς αυτόματα και χωρίς δυσκολία, λύνουν το μεγαλύτερο μέρος του ψηφιακού μετασχηματισμού την κατάλληλη στιγμή. Μετά από αυτό, θα πρέπει να σκεφτείτε μόνο τις πιο δύσκολες εργασίες.
3. Παρακολουθήστε και τα τρία στάδια των δοκιμαστικών δοκιμών στη φυσική και στα μαθηματικά. Κάθε RT μπορεί να επισκεφθεί δύο φορές για να λύσει και τις δύο επιλογές. Και πάλι, στο DT, εκτός από την ικανότητα γρήγορης και αποτελεσματικής επίλυσης προβλημάτων και τη γνώση τύπων και μεθόδων, είναι επίσης απαραίτητο να μπορείτε να προγραμματίζετε σωστά τον χρόνο, να κατανέμετε δυνάμεις και κυρίως να συμπληρώνετε σωστά τη φόρμα απαντήσεων, χωρίς να μπερδεύετε ούτε τους αριθμούς των απαντήσεων και των προβλημάτων, ούτε το όνομά σας. Επίσης, κατά τη διάρκεια του RT, είναι σημαντικό να συνηθίσετε το στυλ της υποβολής ερωτήσεων σε εργασίες, το οποίο μπορεί να φαίνεται πολύ ασυνήθιστο σε ένα απροετοίμαστο άτομο στο DT.

Η επιτυχής, επιμελής και υπεύθυνη εφαρμογή αυτών των τριών σημείων θα σας επιτρέψει να δείξετε ένα εξαιρετικό αποτέλεσμα στον CT, το μέγιστο από αυτό που μπορείτε.

Βρήκατε κάποιο σφάλμα;

Εάν, όπως σας φαίνεται, βρήκατε ένα σφάλμα στο εκπαιδευτικό υλικό, τότε παρακαλούμε να το γράψετε μέσω ταχυδρομείου. Μπορείτε επίσης να αναφέρετε ένα σφάλμα κοινωνικό δίκτυο(). Στο γράμμα, αναφέρετε το θέμα (φυσική ή μαθηματικά), το όνομα ή τον αριθμό του θέματος ή του τεστ, τον αριθμό της εργασίας ή τη θέση στο κείμενο (σελίδα) όπου, κατά τη γνώμη σας, υπάρχει σφάλμα. Περιγράψτε επίσης ποιο είναι το υποτιθέμενο σφάλμα. Το γράμμα σας δεν θα περάσει απαρατήρητο, το σφάλμα είτε θα διορθωθεί, είτε θα σας εξηγηθεί γιατί δεν είναι λάθος.

Το πρώτο μέρος του υλικού αυτού του άρθρου σχηματίζει μια ιδέα για παράλογες εξισώσεις. Αφού το μελετήσετε, μπορείτε εύκολα να διακρίνετε τις παράλογες εξισώσεις από τις εξισώσεις άλλων τύπων. Στο δεύτερο μέρος, αναλύονται λεπτομερώς οι κύριες μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων, δίνονται λεπτομερείς λύσεις για έναν τεράστιο αριθμό τυπικών παραδειγμάτων. Εάν κατακτήσετε αυτές τις πληροφορίες, σχεδόν σίγουρα θα αντιμετωπίσετε σχεδόν οποιαδήποτε παράλογη εξίσωση από ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών. Καλή επιτυχία στην απόκτηση γνώσεων!

Τι είναι οι παράλογες εξισώσεις;

Ας διευκρινίσουμε πρώτα τι είναι οι παράλογες εξισώσεις. Για να γίνει αυτό, θα βρούμε τους κατάλληλους ορισμούς στα εγχειρίδια που προτείνει το Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας.

Μια λεπτομερής συζήτηση για τις παράλογες εξισώσεις και τη λύση τους διεξάγεται στα μαθήματα άλγεβρας και ξεκίνησε η ανάλυση στο γυμνάσιο. Ωστόσο, ορισμένοι συγγραφείς εισάγουν εξισώσεις αυτού του είδους νωρίτερα. Για παράδειγμα, όσοι σπουδάζουν σύμφωνα με τα σχολικά βιβλία του Mordkovich A. G. μαθαίνουν για παράλογες εξισώσεις ήδη στην 8η τάξη: το σχολικό βιβλίο αναφέρει ότι

Υπάρχουν επίσης παραδείγματα παράλογων εξισώσεων, , , και τα λοιπά. Προφανώς, σε καθεμία από τις παραπάνω εξισώσεις, το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας περιέχει τη μεταβλητή x, που σημαίνει ότι, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, αυτές οι εξισώσεις είναι παράλογες. Εδώ, μια από τις κύριες μεθόδους για την επίλυσή τους αναλύεται αμέσως -. Αλλά θα μιλήσουμε για μεθόδους λύσης λίγο πιο κάτω, προς το παρόν θα δώσουμε ορισμούς των παράλογων εξισώσεων από άλλα σχολικά βιβλία.

Στα σχολικά βιβλία Kolmogorov A. N. και Kolyagin Yu. M.

Ορισμός

παράλογοςονομάζονται εξισώσεις στις οποίες μια μεταβλητή περιέχεται κάτω από το πρόσημο της ρίζας.

Ας δώσουμε προσοχή στη θεμελιώδη διαφορά μεταξύ αυτού του ορισμού και του προηγούμενου: λέει απλώς τη ρίζα, όχι την τετραγωνική ρίζα, δηλαδή δεν προσδιορίζεται ο βαθμός της ρίζας κάτω από την οποία βρίσκεται η μεταβλητή. Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να είναι όχι μόνο τετράγωνη, αλλά και η τρίτη, η τέταρτη κ.λπ. βαθμός. Έτσι, ο τελευταίος ορισμός ορίζει ένα ευρύτερο σύνολο εξισώσεων.

Ένα φυσικό ερώτημα προκύπτει, γιατί αρχίζουμε να χρησιμοποιούμε αυτόν τον ευρύτερο ορισμό των παράλογων εξισώσεων στο γυμνάσιο; Όλα είναι εξηγήσιμα και απλά: όταν στην 8η τάξη υπάρχει μια γνωριμία με παράλογες εξισώσεις, γνωρίζουμε καλά μόνο την τετραγωνική ρίζα, ακόμα δεν γνωρίζουμε για καμία κυβική ρίζα, ρίζες του τέταρτου και ανώτερου βαθμού. Και στο Λύκειο γενικεύεται η έννοια της ρίζας, μαθαίνουμε και όταν μιλάμε για παράλογες εξισώσεις, δεν περιοριζόμαστε πλέον σε τετραγωνική ρίζα, αλλά εννοούμε ρίζα αυθαίρετου βαθμού.

Για λόγους σαφήνειας, θα δείξουμε πολλά παραδείγματα παράλογων εξισώσεων. - εδώ η μεταβλητή x βρίσκεται κάτω από το σύμβολο της ρίζας του κύβου, επομένως αυτή η εξίσωση είναι παράλογη. Ενα άλλο παράδειγμα: - εδώ η μεταβλητή x βρίσκεται και κάτω από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας και της ρίζας του τέταρτου βαθμού, δηλαδή, αυτή είναι επίσης μια παράλογη εξίσωση. Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα παράλογων εξισώσεων πιο σύνθετης μορφής: και .

Οι παραπάνω ορισμοί μας επιτρέπουν να σημειώσουμε ότι στην εγγραφή οποιασδήποτε παράλογης εξίσωσης υπάρχουν σημάδια των ριζών. Είναι επίσης σαφές ότι αν δεν υπάρχουν σημάδια των ριζών, τότε η εξίσωση δεν είναι παράλογη. Ωστόσο, δεν είναι όλες οι εξισώσεις που περιέχουν σημάδια ρίζας παράλογες. Πράγματι, σε μια παράλογη εξίσωση, πρέπει να υπάρχει μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο της ρίζας, εάν δεν υπάρχει μεταβλητή κάτω από το πρόσημο της ρίζας, τότε η εξίσωση δεν είναι παράλογη. Ενδεικτικά, δίνουμε παραδείγματα εξισώσεων που περιέχουν ρίζες αλλά δεν είναι παράλογες. Εξισώσεις και δεν είναι παράλογες, αφού δεν περιέχουν μεταβλητές κάτω από το σύμβολο της ρίζας - υπάρχουν αριθμοί κάτω από τις ρίζες και δεν υπάρχουν μεταβλητές κάτω από τα σημάδια των ριζών, επομένως αυτές οι εξισώσεις δεν είναι παράλογες.

Αξίζει να αναφερθεί ο αριθμός των μεταβλητών που μπορούν να συμμετέχουν στη σύνταξη παράλογων εξισώσεων. Όλες οι παραπάνω παράλογες εξισώσεις περιέχουν μία μόνο μεταβλητή x, δηλαδή είναι εξισώσεις με μία μεταβλητή. Ωστόσο, τίποτα δεν μας εμποδίζει να εξετάσουμε παράλογες εξισώσεις με δύο, τρία κ.λπ. μεταβλητές. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα παράλογης εξίσωσης με δύο μεταβλητές και με τρεις μεταβλητές.

Σημειώστε ότι στο σχολείο πρέπει κυρίως να δουλέψετε με παράλογες εξισώσεις με μία μεταβλητή. Οι παράλογες εξισώσεις με πολλές μεταβλητές είναι πολύ λιγότερο συχνές. Μπορούν να βρεθούν στη σύνθεση, όπως, για παράδειγμα, στην εργασία «λύστε το σύστημα εξισώσεων » ή, ας πούμε, στην αλγεβρική περιγραφή των γεωμετρικών αντικειμένων, άρα ένα ημικύκλιο με κέντρο στην αρχή, ακτίνα 3 μονάδων, που βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο, αντιστοιχεί στην εξίσωση.

Ορισμένες συλλογές εργασιών για την προετοιμασία για την εξέταση στην ενότητα "παράλογες εξισώσεις" περιέχουν εργασίες στις οποίες η μεταβλητή δεν βρίσκεται μόνο κάτω από το πρόσημο της ρίζας, αλλά και κάτω από το πρόσημο κάποιας άλλης συνάρτησης, για παράδειγμα, ενότητα, λογάριθμος κ.λπ. . Εδώ είναι ένα παράδειγμα , βγαλμένο από το βιβλίο και εδώ - από τη συλλογή. Στο πρώτο παράδειγμα, η μεταβλητή x είναι κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και ο λογάριθμος είναι επίσης κάτω από το πρόσημο της ρίζας, δηλαδή έχουμε, ας πούμε, μια παράλογη λογαριθμική (ή λογαριθμική ανορθολογική) εξίσωση. Στο δεύτερο παράδειγμα, η μεταβλητή βρίσκεται κάτω από το σύμβολο της ενότητας και η μονάδα βρίσκεται επίσης κάτω από το σύμβολο της ρίζας, με την άδειά σας, ας την ονομάσουμε παράλογη εξίσωση με μια ενότητα.

Θεωρούνται παράλογες οι εξισώσεις αυτού του είδους; Η ερώτηση είναι καλή. Φαίνεται ότι υπάρχει μια μεταβλητή κάτω από το σύμβολο της ρίζας, αλλά μπερδεύει ότι δεν είναι στην «καθαρή μορφή» της, αλλά κάτω από το πρόσημο μιας άλλης ή περισσότερων συναρτήσεων. Με άλλα λόγια, δεν φαίνεται να υπάρχει αντίφαση στο πώς ορίσαμε τις παράλογες εξισώσεις παραπάνω, αλλά υπάρχει κάποιος βαθμός αβεβαιότητας λόγω της παρουσίας άλλων συναρτήσεων. Από την άποψή μας, δεν πρέπει να είναι κανείς φανατικός στο να «λέμε τα πράγματα με το όνομά τους». Στην πράξη, αρκεί να πούμε απλώς «εξίσωση» χωρίς να διευκρινίζουμε τι είδους είναι. Και όλες αυτές οι προσθήκες είναι «παράλογες», «λογαριθμικές» κ.λπ. χρησιμεύουν ως επί το πλείστον για τη διευκόλυνση της παρουσίασης και της ομαδοποίησης του υλικού.

Υπό το φως των πληροφοριών της τελευταίας παραγράφου, ο ορισμός των παράλογων εξισώσεων που δίνεται στο εγχειρίδιο που συντάχθηκε από τον Mordkovich A. G. για την τάξη 11 παρουσιάζει ενδιαφέρον

Ορισμός

παράλογοςονομάζονται εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή περιέχεται κάτω από το πρόσημο της ρίζας ή κάτω από το πρόσημο της αύξησης σε κλασματική δύναμη.

Εδώ, εκτός από τις εξισώσεις με μεταβλητή κάτω από το πρόσημο της ρίζας, οι εξισώσεις με μεταβλητές κάτω από το πρόσημο της αύξησης σε κλασματική ισχύ θεωρούνται επίσης παράλογες. Για παράδειγμα, σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, η εξίσωση θεωρείται παράλογο. Γιατί ξαφνικά; Έχουμε ήδη συνηθίσει τις ρίζες στις παράλογες εξισώσεις, αλλά εδώ δεν είναι ρίζα, αλλά βαθμός, και θέλετε να ονομάσετε αυτήν την εξίσωση περισσότερο, για παράδειγμα, νόμο ισχύος και όχι παράλογο; Όλα είναι απλά: ορίζεται μέσω των ριζών και στη μεταβλητή x για τη δεδομένη εξίσωση (υποθέτοντας x 2 +2 x≥0 ) μπορεί να ξαναγραφτεί χρησιμοποιώντας τη ρίζα ως , και η τελευταία ισότητα είναι μια παράλογη εξίσωση οικεία σε εμάς με μια μεταβλητή κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Και οι μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων με μεταβλητές στη βάση των κλασματικών δυνάμεων είναι ακριβώς οι ίδιες με τις μεθόδους επίλυσης παράλογων εξισώσεων (θα συζητηθούν στην επόμενη παράγραφο). Είναι βολικό λοιπόν να τα αποκαλούμε παράλογα και να τα θεωρούμε υπό αυτό το πρίσμα. Αλλά ας είμαστε ειλικρινείς με τον εαυτό μας: αρχικά έχουμε την εξίσωση , αλλά όχι , και η γλώσσα δεν είναι πολύ πρόθυμη να ονομάσει την αρχική εξίσωση παράλογη λόγω της έλλειψης ρίζας στη σημειογραφία. Το ίδιο κόλπο σάς επιτρέπει να ξεφύγετε από τέτοια αμφιλεγόμενα σημεία σχετικά με την ορολογία: να αποκαλείτε την εξίσωση απλώς μια εξίσωση χωρίς συγκεκριμένες προδιαγραφές.

Οι απλούστερες παράλογες εξισώσεις

Αξίζει να αναφέρουμε το λεγόμενο απλούστερες παράλογες εξισώσεις. Ας πούμε αμέσως ότι αυτός ο όρος δεν εμφανίζεται στα κύρια εγχειρίδια της άλγεβρας και στην αρχή της ανάλυσης, αλλά μερικές φορές βρίσκεται σε προβληματικά βιβλία και εγχειρίδια, όπως, για παράδειγμα, στο. Δεν πρέπει να θεωρείται γενικά αποδεκτό, αλλά δεν βλάπτει να γνωρίζουμε τι γίνεται συνήθως κατανοητό από τις απλούστερες παράλογες εξισώσεις. Αυτό είναι συνήθως το όνομα που δίνεται στις παράλογες εξισώσεις της μορφής , όπου τα f(x) και g(x) είναι μερικά . Υπό αυτό το πρίσμα, η απλούστερη παράλογη εξίσωση μπορεί να ονομαστεί, για παράδειγμα, η εξίσωση ή .

Πώς μπορεί κανείς να εξηγήσει την εμφάνιση ενός τέτοιου ονόματος «οι απλούστερες παράλογες εξισώσεις»; Για παράδειγμα, το γεγονός ότι η λύση των παράλογων εξισώσεων απαιτεί συχνά την αρχική αναγωγή τους στη μορφή και περαιτέρω εφαρμογή οποιωνδήποτε τυπικών μεθόδων λύσης. Εδώ οι παράλογες εξισώσεις σε αυτή τη μορφή ονομάζονται απλούστερες.

Βασικές μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων

Εξ ορισμού της ρίζας

Μία από τις μεθόδους επίλυσης παράλογων εξισώσεων βασίζεται σε. Με τη βοήθειά του, συνήθως λύνονται παράλογες εξισώσεις της απλούστερης μορφής , όπου f(x) και g(x) είναι μερικές ορθολογικές εκφράσεις (δώσαμε τον ορισμό των απλούστερων παράλογων εξισώσεων στο ). Ανορθολογικές εξισώσεις της μορφής , αλλά στο οποίο τα f(x) και/ή g(x) είναι μη ορθολογικές εκφράσεις. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις είναι πιο βολικό να επιλύονται τέτοιες εξισώσεις με άλλες μεθόδους, οι οποίες θα συζητηθούν στις επόμενες παραγράφους.

Για τη διευκόλυνση της παρουσίασης του υλικού, διαχωρίζουμε τις παράλογες εξισώσεις με άρτιους εκθέτες ρίζας, δηλαδή τις εξισώσεις , 2 k=2, 4, 6, … , από εξισώσεις με περιττούς εκθέτες ρίζας , 2 k+1=3, 5, 7, … Θα εκφράσουμε αμέσως τις προσεγγίσεις για τη λύση τους:

Οι παραπάνω προσεγγίσεις προκύπτουν απευθείας από και .

Ετσι, μέθοδος επίλυσης παράλογων εξισώσεων εξ ορισμού της ρίζας έχει ως εξής:

Εξ ορισμού της ρίζας, είναι πιο βολικό να λύνουμε τις απλούστερες παράλογες εξισώσεις με αριθμούς στη δεξιά πλευρά, δηλαδή εξισώσεις της μορφής , όπου το C είναι κάποιος αριθμός. Όταν υπάρχει ένας αριθμός στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, τότε ακόμη και με έναν άρτιο εκθέτη ρίζας, δεν χρειάζεται να πάτε στο σύστημα: εάν το C είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε εξ ορισμού η ρίζα ενός ζυγού βαθμό και αν το C είναι αρνητικός αριθμός, τότε μπορείτε αμέσως να συμπεράνετε ότι δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης, επειδή, εξ ορισμού, η ρίζα ενός άρτιου βαθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση δεν μετατρέπεται σε μια αληθινή αριθμητική ισότητα για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές της μεταβλητής x.

Ας περάσουμε σε χαρακτηριστικά παραδείγματα.

Θα πάμε από το απλό στο σύνθετο. Ας ξεκινήσουμε λύνοντας την απλούστερη παράλογη εξίσωση, στην αριστερή πλευρά της οποίας υπάρχει μια ρίζα άρτια μοίρα και στη δεξιά πλευρά - θετικός αριθμός, δηλαδή από τη λύση μιας εξίσωσης της μορφής , όπου C είναι θετικός αριθμός. Ο ορισμός της ρίζας σας επιτρέπει να μεταβείτε από την επίλυση μιας δεδομένης παράλογης εξίσωσης στην επίλυση μιας απλούστερης εξίσωσης χωρίς ρίζες C 2·k =f(x) .

Ομοίως, εξ ορισμού της ρίζας, λύνονται οι απλούστερες παράλογες εξισώσεις με το μηδέν στη δεξιά πλευρά.

Ας σταθούμε χωριστά στις παράλογες εξισώσεις, στην αριστερή πλευρά των οποίων υπάρχει μια ρίζα άρτιας μοίρας με μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο της και στη δεξιά πλευρά υπάρχει ένας αρνητικός αριθμός. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν λύσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (θα μιλήσουμε για μιγαδικές ρίζες αφού εξοικειωθούμε με μιγαδικοί αριθμοί). Αυτό είναι αρκετά προφανές: η ρίζα ενός ζυγού βαθμού είναι, εξ ορισμού, ένας μη αρνητικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι ίση με έναν αρνητικό αριθμό.

Οι αριστερές πλευρές των παράλογων εξισώσεων από τα προηγούμενα παραδείγματα ήταν ρίζες ζυγών δυνάμεων και οι δεξιές ήταν αριθμοί. Τώρα εξετάστε παραδείγματα με μεταβλητές στη δεξιά πλευρά, δηλαδή, θα λύσουμε παράλογες εξισώσεις της μορφής . Για την επίλυσή τους, με τον προσδιορισμό της ρίζας, γίνεται μετάβαση στο σύστημα , που έχει το ίδιο σύνολο λύσεων με την αρχική εξίσωση.

Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το σύστημα , στη λύση του οποίου η λύση της αρχικής παράλογης εξίσωσης , είναι επιθυμητό να λυθεί όχι μηχανικά, αλλά, αν είναι δυνατόν, ορθολογικά. Είναι σαφές ότι αυτό είναι περισσότερο μια ερώτηση από το θέμα " λύση συστημάτων», αλλά παρόλα αυτά παραθέτουμε τρεις καταστάσεις που συναντάμε συχνά με παραδείγματα που τις επεξηγούν:

1. Για παράδειγμα, αν η πρώτη του εξίσωση g 2 k (x)=f(x) δεν έχει λύσεις, τότε δεν έχει νόημα να λύσουμε και την ανισότητα g(x)≥0, γιατί ήδη από την απουσία λύσεων στην εξίσωση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις στο σύστημα .

1. Ομοίως, εάν η ανίσωση g(x)≥0 δεν έχει λύσεις, τότε δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση g 2·k (x)=f(x) , γιατί ακόμη και χωρίς αυτό είναι σαφές ότι στην περίπτωση αυτή το σύστημα δεν έχει λύσεις.

1. Αρκετά συχνά, η ανίσωση g(x)≥0 δεν λύνεται καθόλου, αλλά ελέγχεται μόνο ποιες από τις ρίζες της εξίσωσης g 2·k (x)=f(x) την ικανοποιούν. Το σύνολο όλων εκείνων από αυτά που ικανοποιούν την ανισότητα είναι μια λύση στο σύστημα, που σημαίνει ότι είναι επίσης μια λύση της αρχικής παράλογης εξίσωσης ισοδύναμη με αυτό.

Αρκετά για τις εξισώσεις με άρτιους εκθέτες ρίζας. Είναι καιρός να δώσουμε προσοχή σε παράλογες εξισώσεις με ρίζες περιττών δυνάμεων της μορφής . Όπως έχουμε ήδη πει, για να τα λύσουμε, περνάμε στην ισοδύναμη εξίσωση , το οποίο επιλύεται με οποιεσδήποτε διαθέσιμες μεθόδους.

Στο τέλος αυτής της παραγράφου αναφέρουμε επαλήθευση απόφασης. Η μέθοδος επίλυσης παράλογων εξισώσεων με τον προσδιορισμό της ρίζας εγγυάται την ισοδυναμία των μεταβάσεων. Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι απαραίτητο να ελέγξετε τις λύσεις που βρέθηκαν. Αυτό το σημείο μπορεί να αποδοθεί στα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου για την επίλυση παράλογων εξισώσεων, επειδή στις περισσότερες άλλες μεθόδους, η επαλήθευση είναι ένα υποχρεωτικό βήμα στη λύση, το οποίο σας επιτρέπει να κόψετε ξένες ρίζες. Αλλά ταυτόχρονα, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ο έλεγχος αντικαθιστώντας τις λύσεις που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση δεν είναι ποτέ περιττός: ξαφνικά, όπου έχει εισχωρήσει ένα υπολογιστικό σφάλμα.

Σημειώνουμε επίσης ότι το ζήτημα του ελέγχου και του φιλτραρίσματος των εξωτερικών ριζών είναι πολύ σημαντικό κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, επομένως θα επιστρέψουμε σε αυτό σε μία από τις επόμενες παραγράφους αυτού του άρθρου.

Αύξηση και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης στην ίδια ισχύ

Περαιτέρω παρουσίαση σημαίνει ότι ο αναγνώστης έχει μια ιδέα για ισοδύναμες εξισώσεις και εξισώσεις-συνέπειες.

Η μέθοδος ανύψωσης και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης στην ίδια ισχύ βασίζεται στην ακόλουθη πρόταση:

Δήλωση

ανυψώνοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στην ίδια άρτια φυσική ισχύ δίνει τη συμπερασματική εξίσωση και η αύξηση και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια περιττή φυσική δύναμη δίνει μια ισοδύναμη εξίσωση.

Απόδειξη

Ας το αποδείξουμε για εξισώσεις με μία μεταβλητή. Για εξισώσεις με πολλές μεταβλητές, οι αρχές της απόδειξης είναι οι ίδιες.

Έστω A(x)=B(x) η αρχική εξίσωση και x 0 η ρίζα της. Εφόσον x 0 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης, τότε A(x 0)=B(x 0) - αληθινή αριθμητική ισότητα. Γνωρίζουμε αυτή την ιδιότητα των αριθμητικών ισοτήτων: ο πολλαπλασιασμός κατά όρο των αληθινών αριθμητικών ισοτήτων δίνει τη σωστή αριθμητική ισότητα. Πολλαπλασιάζουμε τον όρο με τον όρο 2 k, όπου k είναι ένας φυσικός αριθμός, των σωστών αριθμητικών ισοτήτων A (x 0) \u003d B (x 0) , αυτό θα μας δώσει τη σωστή αριθμητική ισότητα A 2 k (x 0) \u003d B 2 k (x 0) . Και η ισότητα που προκύπτει σημαίνει ότι x 0 είναι η ρίζα της εξίσωσης A 2 k (x)=B 2 k (x) , η οποία προκύπτει από την αρχική εξίσωση ανυψώνοντας και τα δύο μέρη της στην ίδια άρτια φυσική ισχύ 2 k .

Για να δικαιολογηθεί η πιθανότητα ύπαρξης ρίζας της εξίσωσης A 2·k (x)=B 2·k (x) , που δεν είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης A(x)=B(x) , αρκεί να δώσω ένα παράδειγμα. Σκεφτείτε την παράλογη εξίσωση , και την εξίσωση , το οποίο λαμβάνεται από το πρωτότυπο τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη του. Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι το μηδέν είναι η ρίζα της εξίσωσης , Πραγματικά, , που είναι το ίδιο 4=4 - η σωστή ισότητα. Αλλά ταυτόχρονα, το μηδέν είναι μια ξένη ρίζα για την εξίσωση , αφού αφού αντικαταστήσουμε το μηδέν παίρνουμε την ισότητα , που είναι ίδιο με το 2=−2 , το οποίο είναι λάθος. Αυτό αποδεικνύει ότι η εξίσωση που προκύπτει από το πρωτότυπο ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της στην ίδια άρτια ισχύ μπορεί να έχει ρίζες που είναι ξένες για την αρχική εξίσωση.

Αποδεικνύεται λοιπόν ότι η ανύψωση και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια ομοιόμορφη φυσική δύναμη οδηγεί στην εξίσωση-συνέπεια.

Μένει να αποδείξουμε ότι η αύξηση και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια περιττή φυσική δύναμη δίνει μια ισοδύναμη εξίσωση.

Ας δείξουμε ότι κάθε ρίζα της εξίσωσης είναι η ρίζα της εξίσωσης που λαμβάνεται από το πρωτότυπο ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της σε περιττή ισχύ και αντίστροφα, ότι κάθε ρίζα της εξίσωσης που προκύπτει από το πρωτότυπο ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της σε μια περιττή ισχύ Η περιττή δύναμη είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Ας έχουμε την εξίσωση A(x)=B(x) . Έστω x 0 η ρίζα του. Τότε η αριθμητική ισότητα A(x 0)=B(x 0) είναι αληθής. Μελετώντας τις ιδιότητες των αληθινών αριθμητικών ισοτήτων, μάθαμε ότι οι αληθινές αριθμητικές ισότητες μπορούν να πολλαπλασιαστούν κάθε φορά. Πολλαπλασιάζοντας τον όρο με τον όρο 2 k+1, όπου k είναι φυσικός αριθμός, σωστών αριθμητικών ισοτήτων A(x 0)=B(x 0) προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα A 2 k+1 (x 0)=B 2 k +1 ( x 0) , που σημαίνει ότι x 0 είναι η ρίζα της εξίσωσης A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) . Τώρα πίσω. Έστω x 0 η ρίζα της εξίσωσης A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) . Αυτό σημαίνει ότι η αριθμητική ισότητα A 2 k+1 (x 0)=B 2 k+1 (x 0) είναι σωστή. Λόγω της ύπαρξης μιας ρίζας περιττού βαθμού από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και της μοναδικότητάς του, η ισότητα θα ισχύει επίσης. Αυτό, με τη σειρά του, λόγω της ταυτότητας , όπου a είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός που προκύπτει από τις ιδιότητες των ριζών και των δυνάμεων, μπορεί να ξαναγραφτεί ως A(x 0)=B(x 0) . Και αυτό σημαίνει ότι το x 0 είναι η ρίζα της εξίσωσης A(x)=B(x) .

Αποδεικνύεται λοιπόν ότι η αύξηση και των δύο μερών μιας παράλογης εξίσωσης σε περιττή ισχύ δίνει μια ισοδύναμη εξίσωση.

Η αποδεδειγμένη δήλωση αναπληρώνει το οπλοστάσιο που είναι γνωστό σε εμάς, το οποίο χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων, με έναν ακόμη μετασχηματισμό των εξισώσεων - ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης στην ίδια φυσική δύναμη. Η αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια περιττή ισχύ είναι ένας μετασχηματισμός που οδηγεί σε μια εξίσωση συνέπειας και η αύξηση σε μια άρτια ισχύ είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός. Η μέθοδος ανύψωσης και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια ισχύ βασίζεται σε αυτόν τον μετασχηματισμό.

Η ανύψωση και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια φυσική δύναμη χρησιμοποιείται κυρίως για την επίλυση παράλογων εξισώσεων, καθώς σε ορισμένες περιπτώσεις αυτός ο μετασχηματισμός σας επιτρέπει να απαλλαγείτε από τα σημάδια των ριζών. Για παράδειγμα, ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στη δύναμη του n δίνει την εξίσωση , η οποία αργότερα μπορεί να μετατραπεί στην εξίσωση f(x)=g n (x) , η οποία δεν περιέχει πλέον ρίζα στην αριστερή πλευρά. Αυτό το παράδειγμα δείχνει η ουσία της μεθόδου ανύψωσης και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια δύναμη: χρησιμοποιώντας έναν κατάλληλο μετασχηματισμό, λάβετε μια απλούστερη εξίσωση που δεν έχει ρίζες στη σημειογραφία της και μέσω της επίλυσής της, λάβετε μια λύση στην αρχική παράλογη εξίσωση.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε απευθείας στην περιγραφή της μεθόδου ανύψωσης και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια φυσική ισχύ. Ας ξεκινήσουμε με έναν αλγόριθμο για την επίλυση των απλούστερων παράλογων εξισώσεων με άρτιους εκθέτες ρίζας, δηλαδή εξισώσεις της μορφής , όπου k είναι φυσικός αριθμός, η f(x) και η g(x) είναι ορθολογικές εκφράσεις. Ένας αλγόριθμος για την επίλυση των απλούστερων παράλογων εξισώσεων με περιττούς εκθέτες ρίζας, δηλαδή εξισώσεις της μορφής , θα δώσουμε λίγο αργότερα. Στη συνέχεια, θα πάμε ακόμη πιο μακριά: θα επεκτείνουμε τη μέθοδο ανύψωσης και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια ισχύ σε πιο περίπλοκες παράλογες εξισώσεις που περιέχουν ρίζες κάτω από σημάδια ρίζας, πολλά σημάδια ρίζας κ.λπ.

ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης στην ίδια άρτια ισχύ:

Από τις παραπάνω πληροφορίες, είναι σαφές ότι μετά το πρώτο βήμα του αλγορίθμου, θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση της οποίας οι ρίζες περιέχουν όλες τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης, αλλά που μπορεί να έχει και ρίζες που είναι ξένες για την αρχική εξίσωση. Επομένως, ο αλγόριθμος περιέχει μια ρήτρα σχετικά με το κοσκίνισμα των εξωτερικών ριζών.

Ας αναλύσουμε την εφαρμογή του παραπάνω αλγορίθμου για την επίλυση παράλογων εξισώσεων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Ας ξεκινήσουμε λύνοντας μια απλή και μάλλον τυπική παράλογη εξίσωση, τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της οποίας οδηγεί σε μια τετραγωνική εξίσωση που δεν έχει ρίζες.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα στο οποίο όλες οι ρίζες της εξίσωσης που λαμβάνονται από την αρχική παράλογη εξίσωση τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της αποδεικνύονται ξένες προς την αρχική εξίσωση. Συμπέρασμα: δεν έχει ρίζες.

Το επόμενο παράδειγμα είναι λίγο πιο περίπλοκο. Η επίλυσή του, σε αντίθεση με τις δύο προηγούμενες, απαιτεί να τετραγωνιστούν και τα δύο μέρη όχι πλέον στο τετράγωνο, αλλά στην έκτη δύναμη, και αυτό δεν θα οδηγεί πλέον σε μια γραμμική ή τετραγωνική εξίσωση, αλλά σε μια κυβική εξίσωση. Εδώ, ένας έλεγχος θα μας δείξει ότι και οι τρεις ρίζες του θα είναι οι ρίζες της παράλογης εξίσωσης που δόθηκε αρχικά.

Και εδώ πάμε ακόμα παραπέρα. Για να απαλλαγείτε από τη ρίζα, θα πρέπει να σηκώσετε και τις δύο πλευρές της παράλογης εξίσωσης στον τέταρτο βαθμό, που με τη σειρά του θα οδηγήσει σε μια εξίσωση τέταρτου βαθμού. Η επαλήθευση θα δείξει ότι μόνο μία από τις τέσσερις πιθανές ρίζες θα είναι η επιθυμητή ρίζα της παράλογης εξίσωσης και οι υπόλοιπες θα είναι ξένες.

Τα τρία τελευταία παραδείγματα αποτελούν επεξήγηση της ακόλουθης δήλωσης: εάν όταν και οι δύο πλευρές μιας παράλογης εξίσωσης υψώνονται στην ίδια άρτια ισχύ, προκύπτει μια εξίσωση με ρίζες, τότε η επακόλουθη επαλήθευση τους μπορεί να δείξει ότι

• ή είναι όλες ξένες ρίζες για την αρχική εξίσωση και δεν έχει ρίζες,
• ή ανάμεσά τους δεν υπάρχουν καθόλου ξένες ρίζες, και είναι όλες ρίζες της αρχικής εξίσωσης,
• ή οι ξένοι είναι μόνο μερικοί από αυτούς.

Ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στην επίλυση των πιο απλών παράλογων εξισώσεων με περιττό εκθέτη ρίζας, δηλαδή εξισώσεις της μορφής . Γράφουμε τον αντίστοιχο αλγόριθμο.

Αλγόριθμος επίλυσης παράλογων εξισώσεων ανυψώνοντας και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης στην ίδια περιττή ισχύ:

• Και τα δύο μέρη της ανορθολογικής εξίσωσης ανυψώνονται στην ίδια περιττή ισχύ 2·k+1 .
• Η εξίσωση που προκύπτει λύνεται. Η λύση του είναι η λύση της αρχικής εξίσωσης.

Σημείωση: ο παραπάνω αλγόριθμος, σε αντίθεση με τον αλγόριθμο για την επίλυση των απλούστερων παράλογων εξισώσεων με άρτιο εκθέτη ρίζας, δεν περιέχει ρήτρα σχετικά με την εξάλειψη των εξωτερικών ριζών. Παραπάνω, δείξαμε ότι η αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε περιττή ισχύ ισοδυναμεί με μετασχηματισμό της εξίσωσης, πράγμα που σημαίνει ότι ένας τέτοιος μετασχηματισμός δεν οδηγεί στην εμφάνιση ξένων ριζών, επομένως δεν χρειάζεται να τις φιλτράρουμε.

Έτσι, η επίλυση των παράλογων εξισώσεων ανυψώνοντας και τα δύο μέρη στην ίδια περιττή ισχύ μπορεί να πραγματοποιηθεί χωρίς να κοσκινιστούν οι ξένοι. Ταυτόχρονα, μην ξεχνάτε ότι κατά την αύξηση σε ομοιόμορφη ισχύ, απαιτείται έλεγχος.

Η γνώση αυτού του γεγονότος καθιστά δυνατό, νομικά, να μην εξαλειφθούν οι εξωτερικές ρίζες κατά την επίλυση της παράλογης εξίσωσης . Ειδικά σε αυτή την περίπτωση, η επιταγή συνδέεται με «δυσάρεστους» υπολογισμούς. Δεν θα υπάρχουν ούτως ή άλλως ξένες ρίζες, αφού ανυψώνεται σε μια περιττή ισχύ, δηλαδή σε έναν κύβο, που είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός. Είναι σαφές ότι ο έλεγχος μπορεί να γίνει, αλλά περισσότερο για αυτοέλεγχο, προκειμένου να επαληθευτεί επιπλέον η ορθότητα της λύσης που βρέθηκε.

Ας συνοψίσουμε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα. Σε αυτήν την παράγραφο, καταρχάς, έχουμε αναπληρώσει το οπλοστάσιο της επίλυσης διαφόρων εξισώσεων που είναι ήδη γνωστές σε εμάς με έναν άλλο μετασχηματισμό, ο οποίος συνίσταται στην ανύψωση και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια ισχύ. Όταν αυξάνεται σε ομοιόμορφη ισχύ, αυτός ο μετασχηματισμός μπορεί να μην είναι ισοδύναμος και όταν τον χρησιμοποιείτε, είναι απαραίτητο να ελέγξετε για να φιλτράρετε τις ξένες ρίζες. Όταν αυξάνεται σε περιττή ισχύ, ο καθορισμένος μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος και δεν είναι απαραίτητο να φιλτράρετε τις εξωτερικές ρίζες. Και δεύτερον, μάθαμε πώς να χρησιμοποιούμε αυτόν τον μετασχηματισμό για να λύσουμε τις απλούστερες παράλογες εξισώσεις της φόρμας , όπου n είναι ο εκθέτης ρίζας, η f(x) και η g(x) είναι ορθολογικές εκφράσεις.

Τώρα είναι καιρός να εξετάσουμε την αύξηση και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια ισχύ από μια γενική σκοπιά. Αυτό θα μας επιτρέψει να επεκτείνουμε τη μέθοδο που βασίζεται σε αυτήν για την επίλυση παράλογων εξισώσεων από τις απλούστερες παράλογες εξισώσεις σε παράλογες εξισώσεις πιο σύνθετης μορφής. Ας συνεχίσουμε με αυτό.

Στην πραγματικότητα, όταν λύνουμε εξισώσεις ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης στην ίδια ισχύ, χρησιμοποιείται η γενική προσέγγιση που είναι ήδη γνωστή σε εμάς: η αρχική εξίσωση μετατρέπεται σε απλούστερη εξίσωση με μερικούς μετασχηματισμούς, μετατρέπεται σε ακόμη απλούστερη, και ούτω καθεξής, μέχρι εξισώσεις που μπορούμε να λύσουμε. Είναι σαφές ότι εάν σε μια αλυσίδα τέτοιων μετασχηματισμών καταφύγουμε στην αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια ισχύ, τότε μπορούμε να πούμε ότι ενεργούμε σύμφωνα με την ίδια ονομαστική μέθοδο αύξησης και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια ισχύ . Απομένει μόνο να καταλάβουμε τι είδους μετασχηματισμοί και με ποια σειρά θα πρέπει να πραγματοποιηθούν για την επίλυση παράλογων εξισώσεων αυξάνοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης στον ίδιο βαθμό.

Ακολουθεί μια γενική προσέγγιση για την επίλυση παράλογων εξισώσεων ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στην ίδια ισχύ:

• Αρχικά, πρέπει να μετακινηθείτε από την αρχική παράλογη εξίσωση σε μια απλούστερη εξίσωση, η οποία συνήθως επιτυγχάνεται εκτελώντας κυκλικά τις ακόλουθες τρεις ενέργειες:
  • Απομόνωση της ρίζας (ή παρόμοιες τεχνικές, για παράδειγμα, η απομόνωση του γινομένου των ριζών, η απομόνωση ενός κλάσματος του οποίου ο αριθμητής ή/και ο παρονομαστής είναι η ρίζα, που καθιστά δυνατή την απαλλαγή από τη ρίζα όταν και τα δύο μέρη του η εξίσωση ανυψώνεται σε δύναμη).
  • Απλοποίηση του τύπου της εξίσωσης.
• Δεύτερον, πρέπει να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει.
• Τέλος, εάν κατά τη διαδικασία της επίλυσης υπήρξαν μεταβάσεις σε συνακόλουθες εξισώσεις (ιδίως, εάν και τα δύο μέρη της εξίσωσης αυξήθηκαν σε άρτια ισχύ), τότε οι εξωτερικές ρίζες πρέπει να εξαλειφθούν.

Ας κάνουμε πράξη την αποκτηθείσα γνώση.

Ας λύσουμε ένα παράδειγμα στο οποίο η απομόνωση της ρίζας μειώνει την παράλογη εξίσωση στην απλούστερη μορφή της, μετά την οποία μένει να γίνει ο τετραγωνισμός και των δύο μερών, να λυθεί η εξίσωση που προκύπτει και να εξαλειφθούν οι ξένες ρίζες χρησιμοποιώντας έναν έλεγχο.

Η παρακάτω παράλογη εξίσωση μπορεί να λυθεί απομονώνοντας ένα κλάσμα με μια ρίζα στον παρονομαστή, η οποία μπορεί να εξαλειφθεί τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Και τότε όλα είναι απλά: η προκύπτουσα κλασματική-ορθολογική εξίσωση λύνεται και γίνεται έλεγχος για να αποκλειστούν οι εξωτερικές ρίζες από το να μπουν στην απάντηση.

Αρκετά χαρακτηριστικές είναι οι παράλογες εξισώσεις, στην καταγραφή των οποίων υπάρχουν δύο ρίζες. Συνήθως λύνονται με επιτυχία ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στην ίδια ισχύ. Εάν οι ρίζες έχουν τον ίδιο βαθμό, και εκτός από αυτές δεν υπάρχουν άλλοι όροι, τότε για να απαλλαγούμε από τις ρίζες, αρκεί να απομονώσετε τη ρίζα και να πραγματοποιήσετε εκθετικότητα μία φορά, όπως στο παρακάτω παράδειγμα.

Και εδώ είναι ένα παράδειγμα στο οποίο υπάρχουν επίσης δύο ρίζες, εκτός από αυτούς δεν υπάρχουν επίσης όροι, αλλά οι βαθμοί των ριζών είναι διαφορετικοί. Σε αυτή την περίπτωση, αφού απομονωθεί η ρίζα, είναι σκόπιμο να ανυψωθούν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης σε μια ισχύ που απελευθερώνει και από τις δύο ρίζες ταυτόχρονα. Ένας τέτοιος βαθμός είναι, για παράδειγμα, δείκτες ριζών. Στην περίπτωσή μας, οι μοίρες των ριζών είναι 2 και 3, LCM(2, 3)=6, επομένως, θα ανεβάσουμε και τα δύο μέρη στην έκτη δύναμη. Σημειώστε ότι μπορούμε επίσης να ενεργήσουμε με τον τυπικό τρόπο, αλλά σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να καταφύγουμε στην ανύψωση και των δύο μερών σε μια ισχύ δύο φορές: πρώτα στο δεύτερο και μετά στο τρίτο. Θα δείξουμε και τις δύο λύσεις.

Σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσεις, λύνοντας παράλογες εξισώσεις ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης στην ίδια ισχύ, πρέπει να καταφύγετε στην αύξηση σε μια ισχύ δύο φορές, λιγότερο συχνά - τρεις φορές, ακόμα πιο σπάνια - περισσότερες φορές. Η πρώτη παράλογη εξίσωση που απεικονίζει όσα ειπώθηκαν περιέχει δύο ρίζες και έναν ακόμη όρο.

Η λύση της παρακάτω ανορθολογικής εξίσωσης απαιτεί επίσης δύο διαδοχικές εκπτώσεις. Αν δεν ξεχάσουμε να απομονώσουμε τις ρίζες, τότε αρκούν δύο εκθέσεις για να απαλλαγούμε από τις τρεις ρίζες που υπάρχουν στη σημειογραφία του.

Η μέθοδος ανύψωσης και των δύο μερών μιας παράλογης εξίσωσης στην ίδια ισχύ σάς επιτρέπει να αντιμετωπίσετε παράλογες εξισώσεις στις οποίες υπάρχει άλλη ρίζα κάτω από τη ρίζα. Εδώ είναι μια λύση σε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα.

Τέλος, πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση των ακόλουθων μεθόδων επίλυσης ανορθολογικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να σημειωθεί το γεγονός ότι η αύξηση και των δύο μερών μιας παράλογης εξίσωσης στην ίδια ισχύ μπορεί, ως αποτέλεσμα περαιτέρω μετασχηματισμών, να δώσει μια εξίσωση που έχει άπειρος αριθμός λύσεων. Μια εξίσωση που έχει άπειρες ρίζες προκύπτει, για παράδειγμα, ως αποτέλεσμα του τετραγωνισμού και των δύο πλευρών της παράλογης εξίσωσης και επακόλουθη απλοποίηση της μορφής της εξίσωσης που προκύπτει. Ταυτόχρονα, για ευνόητους λόγους, δεν είμαστε σε θέση να πραγματοποιήσουμε έλεγχο αντικατάστασης. Σε τέτοιες περιπτώσεις, κάποιος πρέπει είτε να καταφύγει σε άλλες μεθόδους επαλήθευσης, για τις οποίες θα μιλήσουμε, είτε να εγκαταλείψει τη μέθοδο αύξησης και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια ισχύ προς όφελος μιας άλλης μεθόδου λύσης, για παράδειγμα, υπέρ της μια μέθοδος που προϋποθέτει .

Εξετάσαμε τις λύσεις των πιο χαρακτηριστικών παράλογων εξισώσεων ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στην ίδια δύναμη. Η μελετημένη γενική προσέγγιση επιτρέπει την αντιμετώπιση άλλων παράλογων εξισώσεων, εάν αυτή η μέθοδος λύσης είναι καθόλου κατάλληλη για αυτές.

Μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής

Πότε είναι ακόμα αρκετά εύκολο να δούμε τη δυνατότητα εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής; Όταν η εξίσωση περιέχει "ανεστραμμένα" κλάσματα και (με την άδειά σας, θα τα ονομάσουμε αμοιβαία αντίστροφα κατ' αναλογία με). Πώς θα λύναμε μια ορθολογική εξίσωση με τέτοια κλάσματα; Θα παίρναμε ένα από αυτά τα κλάσματα ως νέα μεταβλητή t, ενώ το άλλο κλάσμα θα εκφραζόταν με όρους της νέας μεταβλητής ως 1/t. Στις παράλογες εξισώσεις, δεν είναι απολύτως πρακτικό να εισαχθεί μια νέα μεταβλητή με αυτόν τον τρόπο, αφού για να απαλλαγούμε περαιτέρω από τις ρίζες, πιθανότατα θα πρέπει να εισαχθεί μια ακόμη μεταβλητή. Είναι καλύτερα να πάρετε αμέσως τη ρίζα του κλάσματος ως νέα μεταβλητή. Λοιπόν, μετατρέψτε την αρχική εξίσωση χρησιμοποιώντας μία από τις ισότητες και , που θα σας επιτρέψει να μεταβείτε στην εξίσωση με μια νέα μεταβλητή. Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Μην ξεχνάτε τις ήδη γνωστές επιλογές αντικατάστασης. Για παράδειγμα, κατά τη σύνταξη μιας παράλογης εξίσωσης, μπορεί να εμφανίζονται οι εκφράσεις x+1/x και x 2 +1/x 2, γεγονός που κάνει κάποιον να σκεφτεί τη δυνατότητα εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής x+1/x=t. Αυτή η σκέψη δεν προκύπτει τυχαία, γιατί το κάναμε ήδη όταν αποφασίσαμε εξισώσεις επιστροφής. Αυτή η μέθοδος εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής, καθώς και άλλες μέθοδοι που είναι ήδη γνωστές σε εμάς, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, καθώς και εξισώσεων άλλων τύπων.

Γυρίζουμε σε πιο σύνθετες παράλογες εξισώσεις, στις οποίες είναι πιο δύσκολο να διακρίνουμε μια έκφραση κατάλληλη για την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής. Και ας ξεκινήσουμε με εξισώσεις στις οποίες οι ριζικές εκφράσεις είναι ίδιες, αλλά, σε αντίθεση με την περίπτωση που συζητήθηκε παραπάνω, ο μεγαλύτερος εκθέτης μιας ρίζας δεν διαιρείται με τον μικρότερο εκθέτη της άλλης ρίζας. Ας δούμε πώς να επιλέξετε τη σωστή έκφραση για την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής σε τέτοιες περιπτώσεις.

Όταν οι εκφράσεις ρίζας είναι ίδιες και ο μεγαλύτερος εκθέτης μιας ρίζας k 1 δεν διαιρείται με τον μικρότερο εκθέτη της άλλης ρίζας k 2, η ρίζα του βαθμού LCM (k 1 , k 2) μπορεί να ληφθεί ως νέα μεταβλητή, όπου το LCM είναι . Για παράδειγμα, σε μια παράλογη εξίσωση, οι εκθέτες των ριζών είναι 2 και 3, το τρία δεν είναι πολλαπλάσιο του δύο, LCM(3, 2)=6, οπότε η νέα μεταβλητή μπορεί να εισαχθεί ως . Επιπλέον, ο ορισμός της ρίζας, καθώς και οι ιδιότητες των ριζών, σας επιτρέπουν να μετασχηματίσετε την αρχική εξίσωση προκειμένου να επισημάνετε ρητά την έκφραση και στη συνέχεια να την αντικαταστήσετε με μια νέα μεταβλητή. Παρουσιάζουμε μια πλήρη και λεπτομερή λύση αυτής της εξίσωσης.

Σύμφωνα με παρόμοιες αρχές, μια νέα μεταβλητή εισάγεται σε περιπτώσεις όπου οι εκφράσεις κάτω από τις ρίζες διαφέρουν σε βαθμούς. Για παράδειγμα, εάν σε μια παράλογη εξίσωση η μεταβλητή περιέχεται μόνο κάτω από τις ρίζες και οι ίδιες οι ρίζες μοιάζουν με και , τότε θα πρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των εκθετών ρίζας LCM(3, 4)=12 και να πάρετε . Σε αυτή την περίπτωση, σύμφωνα με τις ιδιότητες των ριζών και των βαθμών, οι ρίζες και θα πρέπει να μετατραπούν ως και αντίστοιχα, που θα επιτρέψει την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής.

Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί κανείς να ενεργήσει σε παράλογες εξισώσεις στις οποίες αμοιβαία αμοιβαία κλάσματα και είναι κάτω από ρίζες με διαφορετικούς εκθέτες. Δηλαδή, ως νέα μεταβλητή, καλό είναι να παίρνετε μια ρίζα με δείκτη ίσο με το LCM των ριζικών δεικτών. Λοιπόν, προχωρήστε στην εξίσωση με μια νέα μεταβλητή, η οποία σας επιτρέπει να κάνετε ισότητες και , ο ορισμός της ρίζας και οι ιδιότητες των ριζών και των δυνάμεων. Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Τώρα ας μιλήσουμε για εξισώσεις στις οποίες μπορεί να υποψιαστεί κανείς τη δυνατότητα εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής και η οποία, σε ένα επιτυχημένο σενάριο, ανοίγει μόνο μετά από αρκετά σοβαρούς μετασχηματισμούς. Για παράδειγμα, μια παράλογη εξίσωση μόνο μετά από μια σειρά από όχι πιο προφανείς μετασχηματισμούς ανάγεται στη μορφή , η οποία ανοίγει το δρόμο για την αντικατάσταση . Ας ρίξουμε μια ματιά στη λύση σε αυτό το παράδειγμα.

Τέλος, ας προσθέσουμε μερικά εξωτικά. Μερικές φορές μια παράλογη εξίσωση μπορεί να λυθεί εισάγοντας περισσότερες από μία μεταβλητές. Αυτή η προσέγγιση για την επίλυση εξισώσεων προτείνεται στο σχολικό βιβλίο. Εκεί για να λύσουμε την παράλογη εξίσωση προτείνεται η εισαγωγή δύο μεταβλητών . Το tutorial δίνει μια σύντομη λύση, ας επαναφέρουμε και τις λεπτομέρειες.

Επίλυση παράλογων εξισώσεων με παραγοντοποίηση

Εκτός από τη μέθοδο εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής, χρησιμοποιούνται άλλες γενικές μέθοδοι για την επίλυση παράλογων εξισώσεων, ιδίως η μέθοδος παραγοντοποίησης. Στο άρθρο στον σύνδεσμο που υποδεικνύεται στην προηγούμενη πρόταση, αναλύεται λεπτομερώς πότε χρησιμοποιείται η μέθοδος παραγοντοποίησης, ποια είναι η ουσία της και σε τι βασίζεται. Εδώ μας ενδιαφέρει περισσότερο όχι η ίδια η μέθοδος, αλλά η χρήση της στην επίλυση παράλογων εξισώσεων. Ως εκ τούτου, παρουσιάζουμε το υλικό ως εξής: υπενθυμίζουμε εν συντομία τις κύριες διατάξεις της μεθόδου, μετά τις οποίες θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις χαρακτηριστικών παράλογων εξισώσεων με παραγοντοποίηση.

Η μέθοδος παραγοντοποίησης χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων, στα αριστερά των οποίων υπάρχει ένα συγκεκριμένο γινόμενο και στα δεξιά υπάρχουν μηδενικά, δηλαδή για την επίλυση εξισώσεων της μορφής f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0, όπου f 1 , f 2 , …, f n είναι μερικές συναρτήσεις. Η ουσία της μεθόδου είναι η αντικατάσταση της εξίσωσης f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0στη μεταβλητή x για την αρχική εξίσωση.

Το πρώτο μέρος της τελευταίας πρότασης για τη μετάβαση στο σετ προκύπτει από τα γνωστά δημοτικό σχολείογεγονός: το γινόμενο πολλών αριθμών είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς είναι ίσος με μηδέν. Η παρουσία του δεύτερου μέρους για την ΟΔΖ εξηγείται από το γεγονός ότι η μετάβαση από την εξίσωση f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0στο σύνολο των εξισώσεων f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0μπορεί να είναι άνιση και να οδηγήσει στην εμφάνιση ξένων ριζών, οι οποίες σε αυτή την περίπτωση μπορούν να εξαλειφθούν λαμβάνοντας υπόψη το ODZ. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το κοσκίνισμα των ξένων ριζών, εάν είναι βολικό, μπορεί να πραγματοποιηθεί όχι μόνο μέσω του ODZ, αλλά και με άλλους τρόπους, για παράδειγμα, ελέγχοντας αντικαθιστώντας τις ρίζες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση.

Έτσι για να λύσουμε την εξίσωση f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0μέθοδο παραγοντοποίησης, συμπεριλαμβανομένης της παράλογης, χρειάζεστε

• Μεταβείτε στο σύνολο των εξισώσεων f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• Λύστε το σετ,
• Εάν το σύνολο των λύσεων δεν έχει, τότε συμπεράνετε ότι η αρχική εξίσωση δεν έχει ρίζες. Εάν υπάρχουν ρίζες, αφαιρέστε τις ξένες ρίζες.

Ας περάσουμε στο πρακτικό κομμάτι.

Οι αριστερές πλευρές τυπικών παράλογων εξισώσεων που λύνονται με τη μέθοδο παραγοντοποίησης είναι τα γινόμενα πολλών αλγεβρικών παραστάσεων, συνήθως γραμμικών διωνύμων και τετραγωνικών τριώνυμων, και πολλών ριζών με αλγεβρικές εκφράσεις από κάτω. Μηδενικά στη δεξιά πλευρά. Τέτοιες εξισώσεις είναι ιδανικές για την απόκτηση αρχικών δεξιοτήτων στην επίλυσή τους. Θα ξεκινήσουμε λύνοντας μια παρόμοια εξίσωση. Με αυτόν τον τρόπο, θα προσπαθήσουμε να πετύχουμε δύο στόχους:

• εξετάστε όλα τα βήματα του αλγορίθμου της μεθόδου παραγοντοποίησης όταν λύνετε μια παράλογη εξίσωση,
• θυμηθείτε τους τρεις κύριους τρόπους για να ξεχωρίσετε τις ξένες ρίζες (σύμφωνα με το ODZ, σύμφωνα με τις συνθήκες ODZ και με απευθείας αντικατάσταση των λύσεων στην αρχική εξίσωση).

Η ακόλουθη παράλογη εξίσωση είναι χαρακτηριστική με την έννοια ότι όταν επιλύεται με τη μέθοδο παραγοντοποίησης, είναι βολικό να ελέγχονται οι ξένες ρίζες σύμφωνα με τις συνθήκες του ODZ και όχι σύμφωνα με το ODZ με τη μορφή αριθμητικού συνόλου, καθώς είναι δύσκολο να ληφθεί το ODZ με τη μορφή αριθμητικού παράγοντα. Η δυσκολία έγκειται στο γεγονός ότι μία από τις συνθήκες που καθορίζουν το DHS είναι παράλογη ανισότητα . Η υποδεικνυόμενη προσέγγιση για το κοσκίνισμα των ξένων ριζών καθιστά δυνατό να το κάνουμε χωρίς να το λύσουμε, επιπλέον, μερικές φορές στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών δεν εξοικειώνονται καθόλου με τη λύση των παράλογων ανισοτήτων.

Είναι καλό όταν η εξίσωση έχει ένα γινόμενο στην αριστερή πλευρά και το μηδέν στη δεξιά πλευρά. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να μεταβείτε αμέσως στο σύνολο των εξισώσεων, να το λύσετε, να βρείτε και να απορρίψετε ρίζες που είναι ξένες για την αρχική εξίσωση, η οποία θα δώσει την επιθυμητή λύση. Αλλά πιο συχνά οι εξισώσεις παίρνουν διαφορετική μορφή. Εάν ταυτόχρονα είναι δυνατό να μετατραπούν σε μια μορφή κατάλληλη για την εφαρμογή της μεθόδου παραγοντοποίησης, τότε γιατί να μην προσπαθήσετε να πραγματοποιήσετε τους κατάλληλους μετασχηματισμούς. Για παράδειγμα, για να πάρετε το γινόμενο στην αριστερή πλευρά της παρακάτω παράλογης εξίσωσης, αρκεί να καταφύγετε στη διαφορά των τετραγώνων.

Υπάρχει μια άλλη κατηγορία εξισώσεων που συνήθως λύνονται με τη μέθοδο της παραγοντοποίησης. Περιλαμβάνει εξισώσεις, και τα δύο μέρη των οποίων είναι προϊόντα που έχουν τον ίδιο παράγοντα με τη μορφή έκφρασης με μεταβλητή. Τέτοια, για παράδειγμα, είναι η παράλογη εξίσωση . Μπορείτε να προχωρήσετε διαιρώντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης με τον ίδιο παράγοντα, αλλά ταυτόχρονα, δεν πρέπει να ξεχάσετε να ελέγξετε ξεχωριστά τις τιμές που μηδενίζουν αυτές τις εκφράσεις, διαφορετικά μπορείτε να χάσετε λύσεις, επειδή διαιρώντας και τα δύο μέρη του η εξίσωση με την ίδια έκφραση μπορεί να είναι ένας μη ισοδύναμος μετασχηματισμός. Είναι πιο αξιόπιστο να ενεργείτε σύμφωνα με τη μέθοδο παραγοντοποίησης, αυτό καθιστά δυνατή την αποφυγή της απώλειας ριζών με μια περαιτέρω σωστή λύση. Είναι σαφές ότι για αυτό πρέπει πρώτα να πάρετε το γινόμενο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και να πάρετε το μηδέν στη δεξιά πλευρά. Αυτό είναι εύκολο: αρκεί να μεταφέρετε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή, αλλάζοντας το πρόσημά της και να βγάλετε τον κοινό παράγοντα από τις αγκύλες. Ας δείξουμε την πλήρη λύση μιας παρόμοιας αλλά λίγο πιο περίπλοκης παράλογης εξίσωσης.

Είναι χρήσιμο να ξεκινήσετε τη λύση οποιασδήποτε εξίσωσης (καθώς και τη λύση πολλών άλλων προβλημάτων) βρίσκοντας το ODZ, ειδικά εάν το ODZ είναι εύκολο να βρεθεί. Εδώ είναι μερικά από τα πιο προφανή επιχειρήματα υπέρ αυτού.

Έτσι, έχοντας λάβει την εργασία να λύσετε την εξίσωση, δεν πρέπει να βιαστείτε σε υπολογισμούς μετασχηματισμού χωρίς να κοιτάξετε πίσω, ίσως απλά να κοιτάξετε το ODZ; Αυτό αποδεικνύεται ξεκάθαρα από την ακόλουθη παράλογη εξίσωση.

Λειτουργική-γραφική μέθοδος

Γραφική μέθοδος

Χρήση των ιδιοτήτων των συναρτήσεων αύξησης και μείωσης

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, η γραφική μέθοδος επίλυσης παράλογων εξισώσεων είναι άβολη σε περιπτώσεις όπου οι εκφράσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι αρκετά περίπλοκες με την έννοια ότι δεν είναι εύκολο να κατασκευαστούν τα αντίστοιχα γραφήματα συναρτήσεων. Αλλά αρκετά συχνά, αντί για γραφήματα, μπορείτε να ανατρέξετε στις ιδιότητες των συναρτήσεων. Υπάρχει μια μέθοδος για την επίλυση εξισώσεων που χρησιμοποιεί τη μονοτονία των συναρτήσεων που αντιστοιχούν σε μέρη της εξίσωσης. Συγκεκριμένα, αυτή η μέθοδος επιτρέπει την επίλυση παράλογων εξισώσεων. Βασίζεται στην ακόλουθη δήλωση:

Δήλωση

αν στο σύνολο X η συνάρτηση f είναι καθορισμένη και αυστηρά μονότονη (αυξάνουσα ή φθίνουσα), τότε η εξίσωση f(x)=C , όπου C είναι κάποιος αριθμός, είτε έχει μία ρίζα είτε δεν έχει ρίζες στο υποδεικνυόμενο σύνολο.

Οδηγεί επίσης στην ακόλουθη δήλωση:

Δήλωση

αν οι συναρτήσεις f και g ορίζονται στο σύνολο X και η μία από αυτές αυξάνεται και η άλλη μειώνεται, τότε η εξίσωση f(x)=g(x) είτε έχει μία μοναδική ρίζα είτε δεν έχει ρίζες στο σύνολο X .

Αυτές οι προτάσεις χρησιμοποιούνται συνήθως για την επίλυση εξισώσεων όταν είναι δυνατός ο προσδιορισμός μιας ρίζας της εξίσωσης με κάποιο τρόπο και είναι δυνατό να αποδειχθεί η αύξηση-μείωση των αντίστοιχων συναρτήσεων.

Όσο για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης, σε χαρακτηριστικές περιπτώσεις είναι προφανές ή εύκολα μαντέψιμο. Συνήθως, η ρίζα μιας παράλογης εξίσωσης είναι κάποιος αριθμός από το ODZ, όταν τον αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση κάτω από τις ρίζες, λαμβάνονται τέτοιοι αριθμοί, οι ρίζες των οποίων εξάγονται εύκολα.

Ως προς την απόδειξη της αύξησης-μείωσης των συναρτήσεων, συνήθως πραγματοποιείται με βάση τις ιδιότητες των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και των γνωστών ιδιότητες αύξησης και μείωσης συναρτήσεων(όπως η ρίζα μιας αύξουσας συνάρτησης είναι μια αύξουσα συνάρτηση), ή σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις, η παράγωγος εμπλέκεται στην απόδειξη.

Ας αναλύσουμε αυτές τις στιγμές κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων.

Ας ξεκινήσουμε με την επίλυση μιας τυπικής παράλογης εξίσωσης: αποδεικνύεται αύξηση της συνάρτησης που αντιστοιχεί σε ένα από τα μέρη της, μείωση της συνάρτησης που αντιστοιχεί στο άλλο μέρος της εξίσωσης και επιλέγεται μια ρίζα από τη μεταβλητή ODZ για την εξίσωση, που σε αυτή την περίπτωση θα είναι μοναδική.

Η ακόλουθη παράλογη εξίσωση πρέπει επίσης να λυθεί με τη συναρτησιακή-γραφική μέθοδο. Η ρίζα της εξίσωσης βρίσκεται εύκολα, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αλλά εδώ η αύξηση μιας συνάρτησης και η μείωση μιας άλλης συνάρτησης πρέπει να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας μια παράγωγο.

Ας συνοψίσουμε ορισμένα αποτελέσματα σχετικά με τη χρήση των ιδιοτήτων αύξησης και φθίνουσας συνάρτησης στην επίλυση εξισώσεων:

• αν η ρίζα της εξίσωσης είναι ορατή, τότε μπορείτε να δοκιμάσετε να εξερευνήσετε τις συναρτήσεις που αντιστοιχούν στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, αυξάνοντας-μειώνοντας. Ίσως αυτό θα μας επιτρέψει να αποδείξουμε τη μοναδικότητα της ρίζας που βρέθηκε.
• εάν είναι σαφές ότι μία από τις συναρτήσεις f και g μειώνεται και η άλλη αυξάνεται, τότε αξίζει να προσπαθήσουμε να βρούμε τη μόνη δυνατή ρίζα της εξίσωσης με κάθε δυνατό τρόπο. Εάν μπορείτε να βρείτε αυτή τη ρίζα, τότε η εξίσωση θα λυθεί.

Μέθοδος Αξιολόγησης

Τέλος, καταλήξαμε στην τελευταία από τις τρεις κύριες ποικιλίες της συναρτησιακής-γραφικής μεθόδου για την επίλυση εξισώσεων, η οποία βασίζεται στη χρήση περιορισμένων συναρτήσεων. Ας συμφωνήσουμε να ονομάσουμε αυτό το είδος της λειτουργικής-γραφικής μεθόδου μέθοδο αξιολόγησης.

Η μέθοδος αξιολόγησης συνήθως λύνει εξισώσεις που έχουν τη μορφή f(x)=C , όπου f(x) είναι κάποια έκφραση με τη μεταβλητή x (και f είναι η αντίστοιχη συνάρτηση), C είναι κάποιος αριθμός ή η μορφή g(x) =h(x) , όπου g(x) και h(x) είναι μερικές εκφράσεις με τη μεταβλητή x (και g και h οι αντίστοιχες συναρτήσεις). Σημειώστε ότι η εξίσωση g(x)=h(x) μπορεί πάντα να αναχθεί σε μια ισοδύναμη εξίσωση της μορφής f(x)=C (ιδιαίτερα, μεταφέροντας την έκφραση h(x) από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο), δηλαδή, μπορούμε να περιοριστούμε στην εξέταση της μεθόδου εκτίμησης μόνο για εξισώσεις της μορφής f(x)=C . Ωστόσο, μερικές φορές είναι αρκετά βολικό να δουλεύουμε με εξισώσεις της μορφής g(x)=h(x) , οπότε δεν θα αρνηθούμε να τις εξετάσουμε.

Η λύση των εξισώσεων με τη μέθοδο της εκτίμησης πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Το πρώτο στάδιο είναι η αξιολόγηση των τιμών της συνάρτησης f (ή η αντίστοιχη έκφραση f(x) , η οποία είναι ουσιαστικά η ίδια) εάν λυθεί η εξίσωση f(x)=C ή η αξιολόγηση των τιμών ​​των συναρτήσεων g και h (ή των αντίστοιχων παραστάσεων f(x) ) και g(x) ) αν λυθεί η εξίσωση g(x)=h(x). Το δεύτερο στάδιο είναι η χρήση των εκτιμήσεων που λαμβάνονται για την περαιτέρω αναζήτηση των ριζών της εξίσωσης ή για τη δικαιολογία της απουσίας τους. Ας εξηγήσουμε αυτά τα σημεία.

Πώς αξιολογούνται οι τιμές χαρακτηριστικών; Αυτό το θέμα συζητείται λεπτομερώς στο . Εδώ περιοριζόμαστε να απαριθμήσουμε τις μεθόδους εκτίμησης που χρησιμοποιούνται συχνότερα για την επίλυση παράλογων εξισώσεων με τη μέθοδο της εκτίμησης. Ακολουθεί ο κατάλογος των μεθόδων αξιολόγησης:

• Μια εκτίμηση που βασίζεται στον ορισμό μιας ρίζας με ζυγό εκθέτη. Εφόσον, εξ ορισμού, μια ρίζα με άρτιο εκθέτη είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε για οποιοδήποτε x από το ODZ για την παράσταση , όπου n είναι φυσικός αριθμός, p(x) είναι κάποια παράσταση, η ανισότητα είναι αληθής και αν και μόνο αν p(x)= 0 .
• Μια εκτίμηση που βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των ριζών: για τυχόν μη αρνητικούς αριθμούς a και b , a , ≥ ), η ανισότητα (≤ , > , ≥ ) ικανοποιείται. Αν για οποιοδήποτε x από το DPV, η παράσταση ικανοποιεί την ανισότητα p(x) , ≥ ), όπου c είναι κάποιος μη αρνητικός αριθμός, τότε η ανίσωση (≤ , > , ≥ ) είναι αληθής για οποιοδήποτε x από το ODZ.
• Μια εκτίμηση που βασίζεται στο γεγονός ότι η ισχύς οποιουδήποτε αριθμού με ζυγό εκθέτη είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Για οποιοδήποτε x από το ODZ, η έκφραση p 2 n (x) ικανοποιεί την ανισότητα p 2 n (x)≥0 , και p 2 n (x)=0 αν και μόνο εάν p(x)=0 .
• Εκτίμηση των τιμών ενός τετραγωνικού τριωνύμου. Για αξιολόγηση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την τεταγμένη της κορυφής της παραβολής και με αρνητική διάκριση - μηδέν.
  • Αν a>0 , τότε a x 2 +b x+c≥y 0 , όπου y 0 είναι η τεταγμένη της κορυφής της παραβολής, και αν a<0 , то a·x 2 +b·x+c≤y 0 .
  • Αν a>0 και διακριτικό D<0 , то a·x 2 +b·x+c>0 , και αν α<0 и D<0 , то a·x 2 +b·x+c<0 .
• Εκτίμηση με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων.
• Εκτιμάται μέσω της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής της συνάρτησης, που βρέθηκε χρησιμοποιώντας την παράγωγο. Αν A είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης p στο σύνολο X, τότε η ανισότητα p(x)≥A είναι αληθής στο X. Αν B είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης p στο σύνολο X, τότε η ανισότητα p(x)≤B είναι αληθής στο X.

Ας πούμε ότι αντιμετωπίσαμε το πρώτο στάδιο, δηλαδή εκτιμήσαμε τις τιμές των συναρτήσεων. Προκύπτει ένα λογικό ερώτημα σχετικά με το πώς θα χρησιμοποιηθούν περαιτέρω οι ληφθείσες εκτιμήσεις για την επίλυση της εξίσωσης. Και τότε πρέπει να ανατρέξετε σε μία από τις ακόλουθες δηλώσεις:

Οι διατάξεις του δεύτερου μπλοκ προτάσεων προκύπτουν από τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αληθών αριθμητικών ανισώσεων της ίδιας σημασίας.

Το πρώτο μπλοκ θέσεων γίνεται σαφές αν φανταστούμε τη σχετική θέση του γραφήματος της συνάρτησης f και την ευθεία γραμμή y \u003d C και τις θέσεις των υπόλοιπων μπλοκ - αν φανταστούμε τη σχετική θέση των γραφημάτων των συναρτήσεων g και η.

Ας αναλύσουμε το πρώτο μπλοκ δηλώσεων. Όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι κάτω ή όχι πάνω από την ευθεία y=A , η οποία με τη σειρά της είναι κάτω από την ευθεία y=C , τότε είναι σαφές ότι δεν τέμνεται με την ευθεία y=C , αυτό συνεπάγεται την απουσία οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=C . Όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι πάνω ή όχι κάτω από την ευθεία y=B , η οποία με τη σειρά της είναι πάνω από την ευθεία y=C , τότε είναι σαφές ότι δεν τέμνεται με την ευθεία y=C , αυτό συνεπάγεται την απουσία οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=C . Όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω ή πάνω από την ευθεία y=C, τότε είναι σαφές ότι δεν τέμνεται με αυτήν την ευθεία, αυτό συνεπάγεται και την απουσία των ριζών της εξίσωσης f(x)=C.

Ας τεκμηριώσουμε τώρα το τρίτο σύνολο ισχυρισμών. Έστω στο σύνολο X οι τιμές της συνάρτησης g είναι μικρότερες ή όχι μεγαλύτερες από τον αριθμό A και οι τιμές της συνάρτησης h μεγαλύτερες ή όχι μικρότερες από τον αριθμό B. Αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g βρίσκονται κάτω ή όχι πάνω από την ευθεία y=A , και τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h είναι πάνω ή όχι κάτω από την ευθεία y=B . Είναι ξεκάθαρο ότι στο σετ Χ για Α

Ας προχωρήσουμε στο τέταρτο μπλοκ δηλώσεων. Εδώ, στην πρώτη περίπτωση, το ένα γράφημα βρίσκεται κάτω από αυτή τη γραμμή, το άλλο είναι πάνω από αυτήν τη γραμμή. Στη δεύτερη περίπτωση, το ένα γράφημα δεν βρίσκεται πάνω από αυτή τη γραμμή, το άλλο είναι πάνω από αυτή τη γραμμή. Στην τρίτη περίπτωση, το ένα γράφημα είναι κάτω από αυτή τη γραμμή, το άλλο δεν είναι κάτω από αυτήν τη γραμμή. Είναι σαφές ότι σε όλες τις περιπτώσεις οι γραφικές παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση g(x)=h(x) δεν έχει λύσεις.

Στην τελευταία περίπτωση, το γράφημα μιας συνάρτησης δεν είναι υψηλότερο από την ευθεία y=C και το γράφημα της άλλης συνάρτησης δεν είναι χαμηλότερο από αυτήν τη γραμμή. Ταυτόχρονα, είναι σαφές ότι τα γραφήματα μπορούν να έχουν κοινά σημεία μόνο σε αυτή την ευθεία γραμμή. Αυτό εξηγεί τη μετάβαση από την εξίσωση g(x)=h(x) στο σύστημα.

Μπορείτε να προχωρήσετε στην εξάσκηση. Ας εξετάσουμε λύσεις χαρακτηριστικών παράλογων εξισώσεων με τη μέθοδο της εκτίμησης.

Αρχικά, αξίζει να ασχοληθούμε με το ζήτημα της ακρίβειας της αξιολόγησης των αξιών των εκφράσεων. Για να καταστεί σαφές από πού προέρχεται μια τέτοια ερώτηση, δείτε τρεις εκτιμήσεις των τιμών ρίζας: την πρώτη , δεύτερο , τρίτο , και πες μου ποιο να προτιμήσω; Λοιπόν, θα απορρίψουμε το πρώτο, καθώς είναι ως επί το πλείστον επινοημένο, αλλά η δεύτερη και η τρίτη εκτίμηση είναι αρκετά λειτουργικές, και ανάλογα με την κατάσταση, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και οι δύο πρώτοι, σχετικά πρόχειροι και οι δεύτεροι. Ας δούμε αυτό το ερώτημα από την πλευρά της πρακτικής.

Για να αποδειχθεί ότι μια εξίσωση δεν έχει λύσεις, οι πρόχειρες εκτιμήσεις είναι συχνά αρκετές. Το κύριο πλεονέκτημα των πρόχειρων εκτιμήσεων έναντι των πιο ακριβών εκτιμήσεων είναι η σχετική ευκολία απόκτησής τους. Οι πρόχειρες εκτιμήσεις είναι πρακτικά προφανείς και δεν απαιτούν πρόσθετη έρευνα, καθώς βασίζονται σε γνωστά γεγονότα, όπως: η τετραγωνική ρίζα είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, ο συντελεστής είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, το τετράγωνο ενός αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, το άθροισμα των θετικών αντίστροφων δεν είναι μικρότερο από δύο, οι τιμές ενός τετραγωνικού τριωνύμου με αρνητικό ανώτερο όρο και αρνητικό διαχωριστικό είναι αρνητικές κ.λπ. Άρα, για να λυθεί η παρακάτω παράλογη εξίσωση με τη μέθοδο της εκτίμησης, αρκεί μια μάλλον πρόχειρη εκτίμηση της ρίζας αφενός και του τετραγωνικού τριωνύμου αφετέρου.

Συνήθως είναι πιο εύκολο να λάβουμε χονδρικές εκτιμήσεις για τις τιμές των συναρτήσεων ή των εκφράσεων παρά να λάβουμε ακριβείς. Αλλά πολύ συχνά, οι πρόχειρες εκτιμήσεις δεν επιτρέπουν σε κάποιον να βγάλει συμπεράσματα σχετικά με τις ρίζες των εξισώσεων που επιλύονται, ενώ πιο ακριβείς εκτιμήσεις το καθιστούν δυνατό. Ας λύσουμε μια τυπική παράλογη εξίσωση.

Ας ξεκινήσουμε με την επίλυση μιας απλής αλλά πολύ χαρακτηριστικής παράλογης εξίσωσης: η εκτίμηση των τιμών της αριστερής πλευράς της προκύπτει από τις εκτιμήσεις των συστατικών της ριζών και το συμπέρασμα για την απουσία ριζών της εξίσωσης προκύπτει από την εκτίμηση που προκύπτει.

Η κατάσταση είναι πιο ενδιαφέρουσα όταν η έκφραση που αντιστοιχεί στην αριστερή πλευρά της ανορθολογικής εξίσωσης f(x)=C είναι το άθροισμα ή το γινόμενο πολλών παραστάσεων και οι τιμές της υπολογίζονται σε f(x)≤C ή f(x)≥ Γ . Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι δηλώσεις που γράφτηκαν παραπάνω προβλέπουν τη μετάβαση από την αρχική παράλογη εξίσωση σε ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων. Ας παρουσιάσουμε τη λύση μιας χαρακτηριστικής παράλογης εξίσωσης.

Ας ενοποιήσουμε τις δεξιότητες μετάβασης σύμφωνα με τη μέθοδο αξιολόγησης από την παράλογη εξίσωση f(x)=C με το άθροισμα ή το γινόμενο στην αριστερή πλευρά σε ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων. Για να γίνει αυτό, λύνουμε μια σχετικά σύνθετη ανορθολογική εξίσωση, η αριστερή πλευρά της οποίας είναι το άθροισμα δύο παράλογων παραστάσεων, η μία από τις οποίες είναι το γινόμενο δύο παραστάσεων. Η αρχή της λύσης είναι η ίδια: λαμβάνουμε μια εκτίμηση που μας επιτρέπει να περάσουμε από την αρχική εξίσωση σε ένα ισοδύναμο σύστημα.

Ας προχωρήσουμε σε ανορθολογικές εξισώσεις της μορφής g(x)=h(x) .

Τα προηγούμενα παραδείγματα ήταν αρκετά απλά όσον αφορά την αξιολόγηση των τιμών των εκφράσεων και των συναρτήσεων. Ήρθε η ώρα να εργαστούμε για την πτυχή της αξιολόγησης με περισσότερες λεπτομέρειες. Για προφανείς λόγους, θα επικεντρωθούμε στις μεθόδους εκτίμησης που πρέπει να χρησιμοποιούνται συχνότερα κατά την επίλυση των παράλογων εξισώσεων με τη μέθοδο εκτίμησης. Ας ξεκινήσουμε με μεθόδους εκτίμησης που δεν απαιτούν την εύρεση της παραγώγου. Έτσι, για να λυθεί η ακόλουθη παράλογη εξίσωση, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν σχεδόν όλα τα γνωστά μέσα: από την ιδιότητα των δυνάμεων με άρτιο εκθέτη και την ιδιότητα της μονοτονίας της συνάρτησης εξαγωγής ρίζας έως τις εκτιμήσεις που βασίζονται στις ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων.

Οι μέθοδοι για τη λήψη εκτιμήσεων που χρησιμοποιήσαμε σε όλα τα προηγούμενα παραδείγματα δεν κλείνουν εντελώς το ζήτημα της εκτίμησης των τιμών. Με άλλα λόγια, δεν είναι πάντα δυνατό να αξιολογηθούν οι τιμές των συναρτήσεων και των εκφράσεων με τη βοήθειά τους. Ειδικότερα, οι εξεταζόμενες μέθοδοι δεν είναι καλές όταν το εύρος των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x για την ανορθολογική εξίσωση που επιλύεται είναι διαφορετικό από το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών R . Για παράδειγμα, δίνουμε μια εκτίμηση της ρίζας σε δύο περιπτώσεις: όταν το ODZ είναι το σύνολο R και όταν το ODZ είναι ένα τμήμα από το 3 έως το 5. Με βάση τις μεθόδους αξιολόγησης που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω, μπορούμε να λάβουμε μια εκτίμηση του . Για την περίπτωση που το ODZ είναι το σύνολο R , αυτή η εκτίμηση είναι πολύ καλή. Αλλά για την περίπτωση που το ODZ είναι ένα τμήμα , η γραπτή εκτίμηση είναι ήδη σχετικά πρόχειρη και είναι δυνατό να εκτιμηθεί η ρίζα με μεγαλύτερη ακρίβεια, δηλαδή ως . Αλλά δεν είναι μόνο το DHS που περιορίζει τις δυνατότητες απόκτησης εκτιμήσεων με τις μεθόδους που συζητήθηκαν παραπάνω. Συχνά αυτές οι μέθοδοι δεν καθιστούν δυνατή την εκτίμηση των τιμών μιας συνάρτησης λόγω του τύπου της συνάρτησης που αξιολογείται. Για παράδειγμα, οι μέθοδοι εκτίμησης για τις οποίες μιλάμε μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε τις τιμές των ριζών και, καθώς και το άθροισμά τους: , , από όπου και πέρα . Αλλά αυτές οι μέθοδοι αξιολόγησης δεν επιτρέπουν πλέον την εκτίμηση των τιμών της διαφοράς των υποδεικνυόμενων ριζών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να καταφύγει κανείς στη μελέτη της συνάρτησης, βρίσκοντας τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της, μέσω των οποίων θα αξιολογηθούν οι τιμές της συνάρτησης. Μερικές φορές είναι βολικό να συνδυάζονται διαφορετικές μέθοδοι απόκτησης εκτιμήσεων. Ας δείξουμε τη λύση μιας χαρακτηριστικής παράλογης εξίσωσης.

Ολοκληρώνοντας τη συζήτηση σχετικά με την επίλυση παράλογων εξισώσεων με τη συναρτησιακή-γραφική μέθοδο και τη μέθοδο αξιολόγησης ειδικότερα, ας θυμηθούμε μια υπόσχεση που δόθηκε στο τέλος της παραγράφου για . Θυμηθείτε, λύσαμε την παράλογη εξίσωση με έναν μάλλον εξωτικό τρόπο μέσω της εισαγωγής δύο νέων μεταβλητών (που έπρεπε ακόμη να σκεφτούν) και υποσχέθηκαν να δείξουν τη λύση του με πιο τυπικό τρόπο. Σε αυτή την περίπτωση, είναι η μέθοδος αξιολόγησης που λειτουργεί ως τέτοια μέθοδος. Ας κρατήσουμε λοιπόν την υπόσχεση.

Επίλυση παράλογων εξισώσεων μέσω ODZ

Πολύ συχνά, μέρος της διαδικασίας επίλυσης εξισώσεων είναι. Οι λόγοι για την αναζήτηση ODZ μπορεί να είναι διαφορετικοί: απαιτείται να πραγματοποιηθούν μετασχηματισμοί της εξίσωσης και, όπως γνωρίζετε, πραγματοποιούνται στο ODZ, η επιλεγμένη μέθοδος λύσης συνεπάγεται την εύρεση ODZ, την εκτέλεση ελέγχου στο ODZ κ.λπ. . Και σε ορισμένες περιπτώσεις, το ODZ δεν λειτουργεί μόνο ως βοηθητικό εργαλείο ή εργαλείο ελέγχου, αλλά σας επιτρέπει επίσης να βρείτε μια λύση στην εξίσωση. Εδώ έχουμε δύο καταστάσεις κατά νου: όταν το ODZ είναι ένα κενό σύνολο και όταν το ODZ είναι ένα πεπερασμένο σύνολο αριθμών.

Είναι σαφές ότι εάν το ODZ μιας εξίσωσης, συγκεκριμένα μιας παράλογης, είναι κενό σύνολο, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις. Άρα το ODZ της μεταβλητής x για την παρακάτω ανορθολογική εξίσωση είναι ένα κενό σύνολο, που σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Όταν το ODZ μιας μεταβλητής για μια εξίσωση είναι ένα πεπερασμένο σύνολο αριθμών, τότε ελέγχοντας διαδοχικά αντικαθιστώντας αυτούς τους αριθμούς, μπορείτε να πάρετε μια λύση στην εξίσωση. Για παράδειγμα, θεωρήστε μια παράλογη εξίσωση, η ODZ της οποίας αποτελείται από δύο αριθμούς και η αντικατάσταση δείχνει ότι μόνο ένας από αυτούς είναι η ρίζα της εξίσωσης, από την οποία συμπεραίνεται ότι αυτή η ρίζα είναι η μόνη λύση της εξίσωσης.

Λύση παράλογων εξισώσεων της μορφής "κλάσμα ισούται με μηδέν"

Ανορθολογικές Εξισώσεις Αναγωγή σε Αριθμητικές Εξισώσεις

Μετάβαση στις ενότητες

Εάν στην εγγραφή μιας παράλογης εξίσωσης, κάτω από το πρόσημο της ρίζας ενός άρτιου βαθμού, υπάρχει ένας βαθμός κάποιας έκφρασης με εκθέτη ίσο με τον εκθέτη της ρίζας, τότε μπορούμε να κάνουμε τη μετάβαση στη μονάδα. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός λαμβάνει χώρα λόγω ενός από , που αντιστοιχεί στον τύπο , όπου 2·m είναι ζυγός αριθμός, a είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτός ο μετασχηματισμός ισοδυναμεί με τον μετασχηματισμό της εξίσωσης . Πράγματι, με έναν τέτοιο μετασχηματισμό, η ρίζα αντικαθίσταται από μια πανομοιότυπη ενότητα, ενώ το ODZ δεν αλλάζει.

Θεωρήστε μια χαρακτηριστική ανορθολογική εξίσωση, η οποία μπορεί να λυθεί περνώντας στο συντελεστή.

Αξίζει πάντα η μετάβαση σε ενότητες όταν είναι δυνατόν; Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων, μια τέτοια μετάβαση δικαιολογείται. Εξαίρεση αποτελούν εκείνες οι περιπτώσεις όπου είναι προφανές ότι οι εναλλακτικές μέθοδοι για την επίλυση μιας παράλογης εξίσωσης απαιτούν σχετικά λιγότερη εργασία. Ας πάρουμε μια παράλογη εξίσωση που μπορεί να λυθεί τόσο πηγαίνοντας σε ενότητες όσο και με κάποιες άλλες μεθόδους, για παράδειγμα, τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ή προσδιορίζοντας τη ρίζα, και να δούμε ποια από τις λύσεις θα είναι η απλούστερη και πιο συμπαγής.

Στο λυμένο παράδειγμα, η πιο προτιμώμενη λύση είναι να προσδιοριστεί η ρίζα: είναι συντομότερη και απλούστερη από τη λύση μέσω της μετάβασης στο μέτρο, και τη λύση με τη μέθοδο τετραγωνισμού και των δύο πλευρών της εξίσωσης. Θα μπορούσαμε να το γνωρίζουμε αυτό πριν λύσουμε την εξίσωση και με τις τρεις μεθόδους; Ας το παραδεχτούμε, δεν ήταν προφανές. Έτσι, όταν προβάλλονται πολλές μέθοδοι λύσης και δεν είναι αμέσως σαφές ποια να προτιμήσετε, αξίζει να προσπαθήσετε να βρείτε μια λύση με οποιαδήποτε από αυτές. Αν αυτό πετύχει, τότε καλό. Εάν η επιλεγμένη μέθοδος δεν οδηγεί σε αποτέλεσμα ή η λύση αποδειχθεί πολύ δύσκολη, τότε αξίζει να δοκιμάσετε μια άλλη μέθοδο.

Για να ολοκληρώσουμε αυτήν την παράγραφο, ας επιστρέψουμε στην παράλογη εξίσωση. Στην προηγούμενη παράγραφο, το λύσαμε ήδη και είδαμε ότι μια προσπάθεια επίλυσής του μέσω της απομόνωσης της ρίζας και του τετραγωνισμού και των δύο μερών της εξίσωσης οδήγησε στην αριθμητική ισότητα 0=0 και στην αδυναμία εξαγωγής συμπερασμάτων για τις ρίζες. Και η απόφαση για τον προσδιορισμό της ρίζας συνδέθηκε με τη λύση μιας παράλογης ανισότητας, η οποία από μόνη της είναι αρκετά δύσκολη. Μια καλή μέθοδος για την επίλυση αυτής της παράλογης εξίσωσης είναι να πάτε σε ενότητες. Ας δώσουμε μια αναλυτική λύση.

Μετασχηματισμός παράλογων εξισώσεων

Η επίλυση παράλογων εξισώσεων δεν είναι σχεδόν ποτέ ολοκληρωμένη χωρίς τον μετασχηματισμό τους. Μέχρι τη στιγμή της μελέτης των παράλογων εξισώσεων, είμαστε ήδη εξοικειωμένοι με τους ισοδύναμους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, χρησιμοποιούνται με τον ίδιο τρόπο όπως όταν λύνονται προηγουμένως μελετημένοι τύποι εξισώσεων. Παραδείγματα τέτοιων μετασχηματισμών παράλογων εξισώσεων είδατε στις προηγούμενες παραγράφους και, θα συμφωνήσετε, έγιναν απολύτως φυσιολογικά αντιληπτοί, αφού μας είναι πολύ γνωστοί. Παραπάνω, μάθαμε επίσης για έναν νέο μετασχηματισμό για εμάς - ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης στην ίδια ισχύ, η οποία είναι τυπική για τις παράλογες εξισώσεις, στη γενική περίπτωση δεν είναι ισοδύναμο. Αξίζει να μιλήσουμε για όλους αυτούς τους μετασχηματισμούς λεπτομερώς για να γνωρίζουμε όλα τα λεπτά σημεία που προκύπτουν κατά την εφαρμογή τους και να αποφύγουμε λάθη.

Θα αναλύσουμε τους μετασχηματισμούς των παράλογων εξισώσεων με την ακόλουθη σειρά:

1. Αντικατάσταση παραστάσεων με πανομοιότυπα ίσες εκφράσεις που δεν αλλάζουν το DPV.
2. Προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές μιας εξίσωσης ή αφαιρώντας τον ίδιο αριθμό και από τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης.
3. Προσθέτοντας την ίδια έκφραση που δεν αλλάζει το DPV και στις δύο πλευρές της εξίσωσης ή αφαιρώντας την ίδια έκφραση που δεν αλλάζει το DPV και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.
4. Η μεταφορά όρων από το ένα μέρος της εξίσωσης σε ένα άλλο με το αντίθετο πρόσημο.
5. Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.
6. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης με την ίδια έκφραση, η οποία δεν αλλάζει το εύρος των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής και δεν εξαφανίζεται σε αυτήν.
7. Ανυψώστε και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης στην ίδια δύναμη.

Έτσι, σκιαγραφείται ο κύκλος των ερωτήσεων. Ας ξεκινήσουμε με παραδείγματα.

Ο πρώτος μετασχηματισμός που μας ενδιαφέρει είναι η αντικατάσταση των εκφράσεων στην εξίσωση με πανομοιότυπα ίσες εκφράσεις. Γνωρίζουμε ότι είναι ισοδύναμο εάν το ODZ για την εξίσωση που προκύπτει ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι το ίδιο με το ODZ για την αρχική εξίσωση. Από αυτό είναι σαφές ότι υπάρχουν δύο κύριοι λόγοι για την εμφάνιση σφαλμάτων κατά τη διάρκεια αυτού του μετασχηματισμού: ο πρώτος είναι μια αλλαγή στο ODZ που συμβαίνει ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού, ο δεύτερος είναι η αντικατάσταση μιας έκφρασης με μια έκφραση που είναι όχι πανομοιότυπα ίσα με αυτό. Ας αναλύσουμε αυτές τις πτυχές λεπτομερώς και με τη σειρά, εξετάζοντας παραδείγματα τυπικών μετασχηματισμών αυτού του τύπου.

Αρχικά, ας εξετάσουμε τους τυπικούς μετασχηματισμούς των εξισώσεων, οι οποίοι συνίστανται στην αντικατάσταση μιας παράστασης με μια έκφραση που είναι πανομοιότυπη με αυτήν, οι οποίες είναι πάντα ισοδύναμες. Ακολουθεί η σχετική λίστα.

• Αναδιάταξη όρων και παραγόντων. Αυτός ο μετασχηματισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο στην αριστερή όσο και στη δεξιά πλευρά της παράλογης εξίσωσης. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί, για παράδειγμα, για την ομαδοποίηση και στη συνέχεια τη μείωση παρόμοιων όρων προκειμένου να απλοποιηθεί η μορφή της εξίσωσης. Η εναλλαγή όρων ή παραγόντων είναι προφανώς ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός της εξίσωσης. Είναι κατανοητό: η αρχική έκφραση και η έκφραση με όρους ή παράγοντες που έχουν αναδιαταχθεί είναι πανομοιότυπα ίσες (εκτός φυσικά εάν η μετάθεση εκτελείται σωστά) και είναι προφανές ότι ένας τέτοιος μετασχηματισμός δεν αλλάζει το ODZ. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Στην αριστερή πλευρά της παράλογης εξίσωσης στο γινόμενο x 3 x, μπορείτε να ανταλλάξετε τον πρώτο και τον δεύτερο παράγοντα x και 3, οι οποίοι στο μέλλον θα σας επιτρέψουν να αναπαραστήσετε το πολυώνυμο κάτω από το σύμβολο της ρίζας στην τυπική μορφή. Και στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στο άθροισμα 4 + x + 5, μπορείτε να αναδιατάξετε τους όρους 4 και x, οι οποίοι στο μέλλον θα σας επιτρέψουν να προσθέσετε τους αριθμούς 4 και 5. Μετά από αυτές τις μεταθέσεις, η παράλογη εξίσωση θα πάρει τη μορφή , η εξίσωση που προκύπτει είναι ισοδύναμη με την αρχική.
• Άνοιγμα βραχίονα. Η ισοδυναμία αυτού του μετασχηματισμού των εξισώσεων είναι προφανής: οι εκφράσεις πριν και μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων είναι πανομοιότυπα ίσες και έχουν το ίδιο εύρος έγκυρων τιμών. Για παράδειγμα, πάρτε την παράλογη εξίσωση . Η λύση του απαιτεί άνοιγμα παρενθέσεων. Ανοίγοντας τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, καθώς και στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, καταλήγουμε σε μια ισοδύναμη εξίσωση.
• Ομαδοποίηση όρων ή/και παραγόντων. Αυτός ο μετασχηματισμός μιας εξίσωσης, στην ουσία της, είναι η αντικατάσταση οποιασδήποτε έκφρασης που αποτελεί μέρος της εξίσωσης με μια έκφραση που είναι ταυτόσημη με αυτήν με ομαδοποιημένους όρους ή παράγοντες. Προφανώς, αυτό δεν αλλάζει το ODZ. Επομένως, ο υποδεικνυόμενος μετασχηματισμός της εξίσωσης είναι ισοδύναμος. Για να το δείξουμε, ας πάρουμε μια παράλογη εξίσωση. Η μετάθεση των όρων (μιλήσαμε για αυτό δύο παραγράφους παραπάνω) και η ομαδοποίηση των όρων μας επιτρέπει να πάμε σε μια ισοδύναμη εξίσωση. Ο σκοπός μιας τέτοιας ομαδοποίησης όρων είναι σαφώς ορατός - να πραγματοποιηθεί ο ακόλουθος ισοδύναμος μετασχηματισμός, ο οποίος θα μας επιτρέψει να εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή.
• Bracketing τον κοινό παράγοντα. Είναι σαφές ότι οι εκφράσεις πριν από τον κοινό παράγοντα και μετά τον κοινό παράγοντα είναι πανομοιότυπα ίσες. Είναι επίσης σαφές ότι η απομάκρυνση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων δεν αλλάζει το ODZ. Επομένως, η αφαίρεση του κοινού παράγοντα από αγκύλες σε μια έκφραση που είναι μέρος μιας εξίσωσης είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός της εξίσωσης. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, για να αναπαραστήσει την αριστερή πλευρά μιας εξίσωσης ως γινόμενο προκειμένου να λυθεί με τη μέθοδο παραγοντοποίησης. Εδώ είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Θεωρήστε μια παράλογη εξίσωση. Η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο, για αυτό πρέπει να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων. Ως αποτέλεσμα αυτού του μετασχηματισμού, θα προκύψει μια παράλογη εξίσωση , ισοδύναμο με το αρχικό, το οποίο μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο παραγοντοποίησης.
• Αντικατάσταση αριθμητικών παραστάσεων με τις τιμές τους. Είναι σαφές ότι εάν υπάρχει κάποια αριθμητική έκφραση στην εγγραφή της εξίσωσης και αντικαταστήσουμε αυτήν την αριθμητική παράσταση με την τιμή της (σωστά υπολογισμένη), τότε μια τέτοια αντικατάσταση θα είναι ισοδύναμη. Πράγματι, στην πραγματικότητα, η έκφραση αντικαθίσταται από μια έκφραση πανομοιότυπα ίση με αυτήν, και ταυτόχρονα το ODZ της εξίσωσης δεν αλλάζει. Άρα, αντικατάσταση στην παράλογη εξίσωση το άθροισμα δύο αριθμών -3 και 1 με την τιμή αυτού του αθροίσματος, που ισούται με -2, παίρνουμε μια ισοδύναμη παράλογη εξίσωση. Ομοίως, μπορούμε να πραγματοποιήσουμε έναν ισοδύναμο μετασχηματισμό της παράλογης εξίσωσης , εκτελώντας πράξεις με αριθμούς κάτω από το σύμβολο της ρίζας (1+2=3 και ), αυτός ο μετασχηματισμός θα μας οδηγήσει στην ισοδύναμη εξίσωση .
• Εκτέλεση ενεργειών με μονοώνυμα και πολυώνυμα που βρίσκονται στην εγγραφή μιας παράλογης εξίσωσης. Είναι σαφές ότι η σωστή εκτέλεση αυτών των ενεργειών θα οδηγήσει σε μια ισοδύναμη εξίσωση. Πράγματι, σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση θα αντικατασταθεί από μια έκφραση που είναι πανομοιότυπη με αυτήν και το DPV δεν θα αλλάξει. Για παράδειγμα, στην παράλογη εξίσωση μπορείτε να προσθέσετε τα μονώνυμα x 2 και 3 x 2 και να πάτε σε μια ισοδύναμη εξίσωση . Ένα άλλο παράδειγμα: η αφαίρεση πολυωνύμων στην αριστερή πλευρά μιας παράλογης εξίσωσης είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός που οδηγεί σε μια ισοδύναμη εξίσωση .

Συνεχίζουμε να εξετάζουμε μετασχηματισμούς εξισώσεων, οι οποίοι συνίστανται στην αντικατάσταση παραστάσεων με πανομοιότυπα ίσες εκφράσεις. Τέτοιοι μετασχηματισμοί μπορεί επίσης να είναι άνισοι, αφού μπορούν να αλλάξουν το ODZ. Συγκεκριμένα, μπορεί να γίνει επέκταση του ODZ. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν προσθέτουμε παρόμοιους όρους, όταν μειώνουμε κλάσματα, όταν μηδενίζουμε ένα προϊόν με πολλούς μηδενικούς παράγοντες ή ένα κλάσμα με μηδενικό αριθμητή και πιο συχνά όταν χρησιμοποιούνται τύποι που αντιστοιχούν στις ιδιότητες των ριζών. Παρεμπιπτόντως, η απρόσεκτη χρήση των ιδιοτήτων των ριζών μπορεί επίσης να οδηγήσει σε στένωση του ODZ. Και αν οι μετασχηματισμοί που επεκτείνουν το ODZ είναι αποδεκτοί κατά την επίλυση εξισώσεων (μπορούν να προκαλέσουν την εμφάνιση εξωτερικών ριζών, οι οποίες εξαλείφονται με συγκεκριμένο τρόπο), τότε οι μετασχηματισμοί που περιορίζουν το ODZ πρέπει να εγκαταλειφθούν χωρίς αποτυχία, καθώς μπορούν να προκαλέσουν απώλεια ριζών. Ας σταθούμε σε αυτά τα σημεία.

Η πρώτη παράλογη εξίσωση είναι . Η επίλυσή του ξεκινά με τη μετατροπή της εξίσωσης στη μορφή με βάση μια από τις ιδιότητες των βαθμών. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος, αφού η έκφραση αντικαθίσταται από μια πανομοιότυπα ίση έκφραση και το DPV δεν αλλάζει. Αλλά η επόμενη μετάβαση στην εξίσωση, που πραγματοποιείται με βάση τον ορισμό της ρίζας, μπορεί να είναι ήδη ένας μη ισοδύναμος μετασχηματισμός της εξίσωσης, αφού με έναν τέτοιο μετασχηματισμό το ODZ επεκτείνεται. Ας δείξουμε την πλήρη λύση αυτής της εξίσωσης.

Η δεύτερη παράλογη εξίσωση, που είναι κατάλληλη για να δείξει ότι οι μετασχηματισμοί των παράλογων εξισώσεων που χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των ριζών και τον ορισμό μιας ρίζας μπορεί να είναι μη ισοδύναμοι, είναι . Λοιπόν, αν δεν επιτρέψετε στον εαυτό σας να ξεκινήσει την απόφαση έτσι

Ή έτσι

Ξεκινάμε με την πρώτη περίπτωση. Ο πρώτος μετασχηματισμός είναι η μετάβαση από την αρχική παράλογη εξίσωση στην εξίσωση συνίσταται στην αντικατάσταση της παράστασης x+3 με την παράσταση . Αυτές οι εκφράσεις είναι πανομοιότυπα ίσες. Αλλά με μια τέτοια αντικατάσταση, το ODZ περιορίζεται από το σύνολο (−∞, −3)∪[−1, +∞) στο σύνολο [−1, +∞) . Και συμφωνήσαμε να απόσχουμε από μεταρρυθμίσεις που περιορίζουν το ODZ, καθώς μπορούν να οδηγήσουν σε απώλεια ριζών.

Τι φταίει η δεύτερη περίπτωση; Επέκταση ODZ στην τελευταία μετάβαση από στον αριθμό −3 ; Όχι μόνο αυτό. Μεγάλη ανησυχία προκαλεί η πρώτη μετάβαση από την αρχική παράλογη εξίσωση στην εξίσωση . Η ουσία αυτής της μετάβασης είναι η αντικατάσταση της έκφρασης x + 3 από την έκφραση . Αλλά αυτές οι εκφράσεις δεν είναι πανομοιότυπα ίσες: για x + 3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , από όπου προκύπτει ότι .

Πώς λοιπόν να λύσουμε αυτή την παράλογη εξίσωση ? Εδώ είναι καλύτερο να εισαγάγετε αμέσως μια νέα μεταβλητή , ενώ (x+3) (x+1)=t 2 . Ας δώσουμε μια αναλυτική λύση.

Ας συνοψίσουμε τον πρώτο από τους εξεταζόμενους μετασχηματισμούς των εξισώσεων - την αντικατάσταση μιας παράστασης που είναι μέρος της εξίσωσης με μια παράσταση που είναι πανομοιότυπα ίση με αυτήν. Κάθε φορά που εκτελείται, πρέπει να πληρούνται δύο προϋποθέσεις: η πρώτη είναι ότι η έκφραση αντικαθίσταται από την ίδια ακριβώς ίση έκφραση και η δεύτερη είναι ότι δεν συμβαίνει στένωση του ODZ. Εάν, με μια τέτοια αντικατάσταση, το ODZ δεν αλλάξει, τότε ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού, θα προκύψει μια ισοδύναμη εξίσωση. Εάν με μια τέτοια αντικατάσταση το ODZ επεκταθεί, τότε μπορεί να εμφανιστούν εξωτερικές ρίζες και πρέπει να ληφθεί μέριμνα για τον έλεγχο τους.

Γυρίζουμε στον δεύτερο μετασχηματισμό της λίστας - προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές της εξίσωσης και αφαιρώντας τον ίδιο αριθμό και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτός είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός της εξίσωσης. Συνήθως καταφεύγουμε σε αυτό όταν υπάρχουν πανομοιότυποι αριθμοί στην αριστερή και στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, η αφαίρεση αυτών των αριθμών και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης μας επιτρέπει να τους ξεφορτωθούμε στο μέλλον. Για παράδειγμα, τόσο στην αριστερή όσο και στη δεξιά πλευρά της παράλογης εξίσωσης υπάρχει όρος 3 . Η αφαίρεση του τριπλού και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης οδηγεί στην εξίσωση, η οποία, αφού εκτελέσει χειρισμούς με αριθμούς, παίρνει τη μορφή και απλοποιεί περαιτέρω σε . Σύμφωνα με το αποτέλεσμα, ο υπό εξέταση μετασχηματισμός έχει κάτι κοινό με τη μεταφορά ενός όρου από ένα μέρος της εξίσωσης σε άλλο με το αντίθετο πρόσημο, αλλά σχετικά με αυτόν τον μετασχηματισμό λίγο αργότερα. Υπάρχουν άλλα παραδείγματα εφαρμογής αυτού του μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, σε μια παράλογη εξίσωση, η προσθήκη του αριθμού 3 και στις δύο πλευρές είναι απαραίτητη για να οργανωθεί ένα πλήρες τετράγωνο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και να μετατραπεί περαιτέρω η εξίσωση στη μορφή προκειμένου να εισαχθεί μια νέα μεταβλητή.

Μια γενίκευση του μετασχηματισμού που μόλις εξετάστηκε είναι η προσθήκη και στα δύο μέρη της εξίσωσης ή η αφαίρεση και από τα δύο μέρη της εξίσωσης της ίδιας έκφρασης. Αυτός ο μετασχηματισμός των εξισώσεων είναι ισοδύναμος όταν το ODZ δεν αλλάζει. Αυτός ο μετασχηματισμός πραγματοποιείται κυρίως για να απαλλαγούμε περαιτέρω από τους ίδιους όρους που βρίσκονται ταυτόχρονα στην αριστερή και στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια παράλογη εξίσωση. Προφανώς, υπάρχει ένας όρος και στην αριστερή και στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Είναι λογικό να αφαιρέσουμε αυτή την έκφραση και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης: . Στην περίπτωσή μας, κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας μετάβασης, το ODZ δεν αλλάζει, επομένως ο μετασχηματισμός που πραγματοποιείται είναι ισοδύναμος. Και γίνεται για να περάσουμε σε μια απλούστερη παράλογη εξίσωση.

Ο επόμενος μετασχηματισμός των εξισώσεων, που θα θίξουμε σε αυτή την παράγραφο, είναι η μεταφορά όρων από το ένα μέρος της εξίσωσης σε ένα άλλο με το αντίθετο πρόσημο. Αυτός ο μετασχηματισμός της εξίσωσης είναι πάντα ισοδύναμος. Το πεδίο εφαρμογής του είναι αρκετά ευρύ. Με τη βοήθειά του, μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να απομονώσει τη ρίζα ή να συλλέξει παρόμοιους όρους σε ένα μέρος της εξίσωσης, έτσι ώστε αργότερα να μειωθούν και έτσι να απλοποιηθεί η μορφή της εξίσωσης. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Για να λύσετε μια παράλογη εξίσωση είναι δυνατό να μεταφερθούν οι όροι −1 στη δεξιά πλευρά αλλάζοντας το πρόσημο τους, αυτό θα δώσει μια ισοδύναμη εξίσωση , το οποίο μπορεί να λυθεί περαιτέρω, για παράδειγμα, τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

Προχωράμε περαιτέρω στην πορεία εξέτασης των μετασχηματισμών των εξισώσεων στον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός της εξίσωσης. Ο πολλαπλασιασμός και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό χρησιμοποιείται κυρίως για τη μετάβαση από κλάσματα σε ακέραιους αριθμούς. Για παράδειγμα, σε μια παράλογη εξίσωση για να απαλλαγείτε από τα κλάσματα, πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη του με 8, που δίνει μια ισοδύναμη εξίσωση , η οποία μειώνεται περαιτέρω στη μορφή . Η διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης πραγματοποιείται κυρίως για τη μείωση των αριθμητικών συντελεστών. Για παράδειγμα, και οι δύο πλευρές της παράλογης εξίσωσης είναι σκόπιμο να διαιρεθεί με τους αριθμητικούς συντελεστές 18 και 12, δηλαδή με το 6, μια τέτοια διαίρεση δίνει μια ισοδύναμη εξίσωση , από την οποία μπορούμε αργότερα να περάσουμε στην εξίσωση , που έχει μικρότερους, αλλά και ακέραιους συντελεστές.

Ο επόμενος μετασχηματισμός της εξίσωσης είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με την ίδια έκφραση. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος όταν η έκφραση με την οποία εκτελείται ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση δεν αλλάζει το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής και δεν εξαφανίζεται σε αυτήν. Συνήθως, ο πολλαπλασιασμός και των δύο πλευρών με την ίδια έκφραση είναι, κατά σκοπούς, όπως ο πολλαπλασιασμός και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό. Τις περισσότερες φορές, αυτός ο μετασχηματισμός καταφεύγει για να απαλλαγούμε από τα κλάσματα με περαιτέρω μετασχηματισμούς. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Δεν θα παρακάμψουμε τις παράλογες εξισώσεις, για τη λύση των οποίων πρέπει να καταφύγουμε στη διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης με την ίδια έκφραση. Λίγο πιο πάνω, σημειώσαμε ότι μια τέτοια διαίρεση είναι ισοδύναμος μετασχηματισμός εάν δεν επηρεάζει το ODZ και αυτή η έκφραση στο ODZ δεν εξαφανίζεται. Αλλά μερικές φορές η διαίρεση πρέπει να γίνει σε μια έκφραση που εξαφανίζεται στο ODZ. Είναι πολύ πιθανό να γίνει αυτό εάν, ταυτόχρονα, τα μηδενικά αυτής της έκφρασης ελέγχονται χωριστά για να δούμε αν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης που επιλύονται μεταξύ τους, διαφορετικά αυτές οι ρίζες μπορεί να χαθούν κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας διαίρεσης.

Ο τελευταίος μετασχηματισμός των παράλογων εξισώσεων, τον οποίο θα θίξουμε σε αυτή την ενότητα, είναι να ανυψωθούν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης στην ίδια δύναμη. Αυτός ο μετασχηματισμός μπορεί να ονομαστεί τυπικός για παράλογες εξισώσεις, καθώς πρακτικά δεν χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων άλλων τύπων. Έχουμε ήδη αναφέρει αυτόν τον μετασχηματισμό στο τρέχον άρθρο όταν αναλύσαμε. Υπάρχουν επίσης πολλά παραδείγματα αυτής της μεταμόρφωσης. Δεν θα επαναλάβουμε τους εαυτούς μας εδώ, αλλά μόνο υπενθυμίζουμε ότι στη γενική περίπτωση αυτός ο μετασχηματισμός δεν είναι ισοδύναμος. Μπορεί να οδηγήσει στην εμφάνιση ξένων ριζών. Επομένως, εάν στη διαδικασία της επίλυσης στραφήκαμε σε αυτόν τον μετασχηματισμό, τότε οι ρίζες που βρέθηκαν πρέπει να ελεγχθούν για την παρουσία ξένων ριζών μεταξύ τους.

Σχετικά με την απώλεια ριζών

Τι μπορεί να προκαλέσει την απώλεια ριζών κατά την επίλυση μιας εξίσωσης; Ο κύριος λόγος για την απώλεια των ριζών είναι ο μετασχηματισμός της εξίσωσης, στην οποία το ODZ στενεύει. Για να κατανοήσουμε αυτό το σημείο, ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Ας πάρουμε μια παράλογη εξίσωση , το οποίο έχουμε ήδη λύσει στο τρέχον άρθρο. Ξεκινήσαμε να το λύνουμε προειδοποιώντας για τους ακόλουθους μετασχηματισμούς της εξίσωσης

Ο πρώτος μετασχηματισμός είναι η μετάβαση από την εξίσωση στην εξίσωση - στενεύει το ODZ. Πράγματι, το ODZ για την αρχική εξίσωση είναι (−∞, −3)∪[−1, +∞) , και για την εξίσωση που προκύπτει είναι [−1, +∞) . Αυτό συνεπάγεται την απώλεια του διαστήματος (−∞, −3) από την εξέταση και, κατά συνέπεια, την απώλεια όλων των ριζών της εξίσωσης από αυτό το διάστημα. Στην περίπτωσή μας, κατά την εκτέλεση του υποδεικνυόμενου μετασχηματισμού, όλες οι ρίζες της εξίσωσης, που είναι δύο και , θα χαθούν.

Έτσι, εάν ο μετασχηματισμός της εξίσωσης οδηγήσει σε στένωση του ODZ, τότε θα χαθούν όλες οι ρίζες της εξίσωσης που βρίσκονται στο τμήμα στο οποίο συνέβη η στένωση. Γι' αυτό προτρέπουμε να μην καταφύγουμε σε μεταρρυθμίσεις που περιορίζουν το DHS. Ωστόσο, υπάρχει μια προειδοποίηση.

Αυτή η κράτηση ισχύει για μετασχηματισμούς στους οποίους το ODZ περιορίζεται κατά έναν ή περισσότερους αριθμούς. Ο πιο χαρακτηριστικός μετασχηματισμός, στον οποίο αρκετοί ξεχωριστοί αριθμοί πέφτουν έξω από το ODZ, είναι η διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια έκφραση. Είναι σαφές ότι κατά τη διεξαγωγή ενός τέτοιου μετασχηματισμού, μπορούν να χαθούν μόνο οι ρίζες που βρίσκονται ανάμεσα σε αυτό το πεπερασμένο σύνολο αριθμών, οι οποίες πέφτουν όταν περιορίζεται το ODZ. Επομένως, εάν ελέγξετε ξεχωριστά όλους τους αριθμούς αυτού του συνόλου για να δείτε εάν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης που λύνονται μεταξύ τους, για παράδειγμα, με αντικατάσταση, και συμπεριλάβετε τις ρίζες που βρέθηκαν στην απάντηση, τότε μπορείτε να συνεχίσετε να πραγματοποιείτε την επιθυμητή μεταμόρφωση χωρίς φόβο να χάσουν τις ρίζες. Ας επεξηγήσουμε τα παραπάνω με ένα παράδειγμα.

Εξετάστε την παράλογη εξίσωση , η οποία επίσης είχε ήδη λυθεί στην προηγούμενη παράγραφο. Για να λύσετε αυτήν την εξίσωση εισάγοντας μια νέα μεταβλητή, είναι χρήσιμο να διαιρέσετε πρώτα και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 1+x. Με μια τέτοια διαίρεση, ο αριθμός -1 πέφτει εκτός ΟΔΖ. Η αντικατάσταση αυτής της τιμής στην αρχική εξίσωση δίνει μια εσφαλμένη αριθμητική ισότητα (), που σημαίνει ότι το −1 δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης. Μετά από έναν τέτοιο έλεγχο, μπορείτε να πραγματοποιήσετε με ασφάλεια την προβλεπόμενη διαίρεση χωρίς φόβο να χάσετε τη ρίζα.

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, σημειώνουμε ότι τις περισσότερες φορές, κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, η διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης με την ίδια έκφραση, καθώς και οι μετασχηματισμοί που βασίζονται στις ιδιότητες των ριζών, οδηγεί σε στένωση του ODZ. Επομένως, πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί όταν πραγματοποιείτε τέτοιους μετασχηματισμούς και να μην επιτρέπετε την απώλεια ριζών.

Σχετικά με τις ξένες ρίζες και τρόπους εξάλειψής τους

Η λύση της συντριπτικής πλειοψηφίας των εξισώσεων πραγματοποιείται μέσω του μετασχηματισμού των εξισώσεων. Ορισμένοι μετασχηματισμοί μπορούν να οδηγήσουν σε συνεπακόλουθες εξισώσεις και μεταξύ των λύσεων της εξίσωσης συμπερασμάτων μπορεί να υπάρχουν ρίζες που είναι ξένες προς την αρχική εξίσωση. Οι ξένες ρίζες δεν είναι ρίζες της αρχικής εξίσωσης, επομένως δεν πρέπει να περιλαμβάνονται στην απάντηση. Με άλλα λόγια, πρέπει να ξεριζωθούν.

Έτσι, εάν υπάρχει τουλάχιστον μία εξίσωση συνέπειας στην αλυσίδα των μετασχηματισμών της εξίσωσης που επιλύεται, τότε πρέπει να φροντίσετε να ανιχνεύσετε και να ξεχωρίσετε εξωτερικές ρίζες.

Οι μέθοδοι για τον εντοπισμό και την εξάλειψη των ξένων ριζών εξαρτώνται από τους λόγους που προκαλούν την πιθανή εμφάνισή τους. Και υπάρχουν δύο λόγοι για την πιθανή εμφάνιση εξωτερικών ριζών κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων: ο πρώτος είναι η επέκταση του ODZ ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού της εξίσωσης, ο δεύτερος είναι η αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε άρτια ισχύ . Ας ρίξουμε μια ματιά στις σχετικές μεθόδους.

Ας ξεκινήσουμε με τις μεθόδους για το κοσκίνισμα των ξένων ριζών, όταν ο μόνος λόγος για την πιθανή εμφάνισή τους είναι η επέκταση του ODZ. Σε αυτή την περίπτωση, η απομάκρυνση των ξένων ριζών πραγματοποιείται με έναν από τους ακόλουθους τρεις τρόπους:

• Σύμφωνα με την ODZ. Για να γίνει αυτό, βρίσκεται το ODZ της μεταβλητής για την αρχική εξίσωση και ελέγχεται η αναγωγή των ριζών που βρέθηκαν σε αυτήν. Αυτές οι ρίζες που ανήκουν στο ODZ είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης και αυτές που δεν ανήκουν στο ODZ είναι ξένες ρίζες για την αρχική εξίσωση.
• Μέσω των όρων της ΟΔΖ. Γράφονται οι συνθήκες που καθορίζουν το ODV της μεταβλητής για την αρχική εξίσωση και οι ρίζες που βρέθηκαν αντικαθίστανται με τη σειρά τους. Αυτές οι ρίζες που ικανοποιούν όλες τις συνθήκες είναι ρίζες και αυτές που δεν ικανοποιούν τουλάχιστον μία συνθήκη είναι ξένες ρίζες για την αρχική εξίσωση.
• Μέσω αντικατάστασης στην αρχική εξίσωση (ή σε οποιαδήποτε εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν). Οι ρίζες που βρέθηκαν αντικαθίστανται με τη σειρά τους στην αρχική εξίσωση, αυτές, όταν αντικαθιστούν τις οποίες η εξίσωση μετατρέπεται στη σωστή αριθμητική ισότητα, είναι ρίζες και αυτές, όταν αντικαθιστούν μια έκφραση που δεν έχει νόημα, είναι ξένες ρίζες για την αρχική εξίσωση.

Όταν λύνουμε την ακόλουθη παράλογη εξίσωση, ας εξαλείψουμε τις ξένες ρίζες με καθέναν από τους υποδεικνυόμενους τρόπους, προκειμένου να πάρουμε μια γενική ιδέα για τον καθένα από αυτούς.

Είναι σαφές ότι δεν θα εντοπίζουμε και δεν θα εξαλείφουμε κάθε φορά τις ξένες ρίζες με όλες τις γνωστές μεθόδους. Για να φιλτράρουμε τις ξένες ρίζες, θα επιλέξουμε την καταλληλότερη μέθοδο σε κάθε περίπτωση. Για παράδειγμα, στο ακόλουθο παράδειγμα, είναι πιο βολικό να φιλτράρετε τις ξένες ρίζες μέσω των συνθηκών του ODZ, καθώς κάτω από αυτές τις συνθήκες είναι δύσκολο να βρείτε το ODZ με τη μορφή αριθμητικού συνόλου.

Τώρα ας μιλήσουμε για τον έλεγχο εξωγενών ριζών, όταν η λύση μιας παράλογης εξίσωσης πραγματοποιείται ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης σε άρτια ισχύ. Εδώ, ο έλεγχος μέσω του ODZ ή μέσω των συνθηκών του ODZ δεν θα βοηθήσει πλέον, καθώς δεν θα μας επιτρέπει να εξαλείψουμε τις ξένες ρίζες που προκύπτουν για άλλο λόγο - λόγω της αύξησης και των δύο μερών της εξίσωσης στην ίδια ομοιόμορφη ισχύ . Γιατί εμφανίζονται εξωτερικές ρίζες όταν και οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης έχουν την ίδια άρτια ισχύ; Η εμφάνιση εξωτερικών ριζών σε αυτή την περίπτωση προκύπτει από το γεγονός ότι η αύξηση και των δύο μερών μιας λανθασμένης αριθμητικής ισότητας στην ίδια άρτια ισχύ μπορεί να δώσει μια σωστή αριθμητική ισότητα. Για παράδειγμα, η λανθασμένη αριθμητική ισότητα 3=−3, αφού τετραγωνιστούν και οι δύο πλευρές της, γίνεται η σωστή αριθμητική ισότητα 3 2 =(−3) 2 , που είναι ίδια με 9=9 .

Οι λόγοι για την εμφάνιση ξένων ριζών όταν και τα δύο μέρη της εξίσωσης ανυψώνονται στον ίδιο βαθμό έχουν διευθετηθεί. Απομένει να υποδείξουμε πώς εξαλείφονται οι ξένες ρίζες σε αυτή την περίπτωση. Ο έλεγχος πραγματοποιείται κυρίως με την αντικατάσταση των δυνητικών ριζών που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση ή σε οποιαδήποτε εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Αλλά αξίζει να έχετε κατά νου μια άλλη μέθοδο που σας επιτρέπει να εξαλείψετε τις ξένες ρίζες σε περιπτώσεις όπου και τα δύο μέρη μιας παράλογης εξίσωσης με μια μοναχική ρίζα ανεβαίνουν στην ίδια ομοιόμορφη ισχύ. Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων , όπου το 2·k είναι ένας ζυγός αριθμός, ανεβάζοντας και τα δύο μέρη των εξισώσεων στην ίδια ισχύ, το κοσκίνισμα των εξωτερικών ριζών μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω της συνθήκης g(x)≥0 (δηλαδή, λύνοντας στην πραγματικότητα μια παράλογη εξίσωση με τον προσδιορισμό η ρίζα). Αυτή η μέθοδος έρχεται συχνά στη διάσωση όταν το κοσκίνισμα των ξένων ριζών μέσω αντικατάστασης αποδεικνύεται ότι σχετίζεται με πολύπλοκους υπολογισμούς. Το ακόλουθο παράδειγμα είναι μια καλή απεικόνιση των όσων ειπώθηκαν.

Βιβλιογραφία

1. Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 8η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Ένα εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Mnemozina, 2009. - 215 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Mordkovich A. G.Άλγεβρα και αρχή μαθηματικής ανάλυσης. Βαθμός 11. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Ένα εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων (επίπεδο προφίλ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 287 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 σελ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Αλγεβρακαι η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης. 10η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα: βασικά και προφίλ. επίπεδα / [Γιού. Μ. Kolyagin, Μ. V. Tkacheva, Ν. Ε. Fedorova, Μ. Ι. Shabunin]; εκδ. A. B. Zhizhchenko. - 3η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 2010.- 368 σελ.: Ιλ.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Μαθηματικά. Αυξημένο επίπεδο USE-2012 (C1, C3). Θεματικά τεστ. Εξισώσεις, ανισότητες, συστήματα / επιμέλεια F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Rostov-on-Don: Legion-M, 2011. - 112 σελ. - (Getting for the exam) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Απόφοιτος 2004. Μαθηματικά. Συλλογή εργασιών για podkotovka στην εξέταση. Μέρος 1. I. V. Boikov, L. D. Romanova.

Όπως είναι ήδη γνωστό (Κεφάλαιο II, § 2), η εξίσωση

λέγεται παράλογο αν υπάρχει παράλογη συνάρτηση αγνώστων.

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων και συστημάτων που περιλαμβάνουν παράλογες εξισώσεις, στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, αυτά και μόνο εκείνα τα συστήματα πραγματικών τιμών θεωρούνται αποδεκτά συστήματα τιμών για τα οποία οι τιμές των ριζικών εκφράσεων όλων Οι ρίζες άρτιου βαθμού είναι μη αρνητικές. οι τιμές των ριζών ενός ζυγού βαθμού σημαίνουν τις αριθμητικές τους τιμές και οι τιμές των ριζών ενός περιττού βαθμού - οι πραγματικές τιμές αυτών των ριζών. Εξετάστε αλγεβρικές μεθόδους για την επίλυση παράλογων εξισώσεων.

1. Απελευθέρωση μιας παράλογης εξίσωσης από ρίζες ανεβάζοντας και τα δύο μέρη της στην ίδια ισχύ. Κατά την επίλυση μιας παράλογης εξίσωσης με αυτόν τον τρόπο, κατά κανόνα, μια ρίζα ξεχωρίζει διαδοχικά (δηλαδή, η επιλεγμένη ρίζα αφήνεται σε ένα μέρος και όλοι οι άλλοι όροι της εξίσωσης μεταφέρονται στο άλλο μέρος της) και στη συνέχεια και τα δύο μέρη του η εξίσωση αυξάνεται σε μια ισχύ της οποίας ο εκθέτης είναι ίσος με τον δείκτη της απομονωμένης ρίζας. Συνήθως η πιο πολύπλοκη ρίζα απομονώνεται κάθε φορά. Αυτό συνεχίζεται μέχρι να απελευθερωθούν πλήρως οι ρίζες. Ως αποτέλεσμα αυτού, προκύπτει μια αλγεβρική εξίσωση, η οποία είναι συνέπεια μιας δεδομένης παράλογης. Στη συνέχεια λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.

Σε ορισμένες περιπτώσεις (βλ. παράδειγμα 4 παρακάτω), για να απαλλαγείτε γρήγορα από τις ρίζες, συνιστάται να διαχωρίσετε όχι μία, αλλά δύο ρίζες ταυτόχρονα.

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο, το πεδίο ορισμού της εξίσωσης μπορεί να επεκταθεί, καθώς για ορισμένα συστήματα τιμών των αγνώστων

ορισμένες ρίζες που περιλαμβάνονται σε μια δεδομένη εξίσωση μπορεί να μην έχουν νόημα στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, αλλά αυτά τα συστήματα τιμών των αγνώστων μπορεί να είναι αποδεκτά για την προκύπτουσα αλγεβρική εξίσωση. Η επέκταση του πεδίου ορισμού μιας εξίσωσης, όπως είναι γνωστό, μπορεί να οδηγήσει στην εμφάνιση εξωτερικών λύσεων που δεν θα ανήκουν στο πεδίο ορισμού μιας δεδομένης εξίσωσης (βλ. Παράδειγμα 2 παρακάτω).

Επιπλέον, η αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε άρτια ισχύ μπορεί επίσης να οδηγήσει στην εμφάνιση εξωτερικών λύσεων που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της δεδομένης εξίσωσης. Η εμφάνιση αυτών των εξωτερικών λύσεων δεν θα προκληθεί από την επέκταση του πεδίου ορισμού αυτής της εξίσωσης, αλλά από λόγους διαφορετικής φύσης (βλ. παράδειγμα 3 παρακάτω).

Επομένως, έχοντας βρει λύσεις σε μια αλγεβρική εξίσωση που λαμβάνεται από μια δεδομένη παράλογη εξίσωση, είναι επιτακτική ανάγκη αντικαθιστώντας καθεμία από αυτές σε μια δεδομένη εξίσωση, να ελεγχθεί ποια από αυτές την ικανοποιούν και ποια είναι ξένα για αυτήν.

Παραδείγματα. 1. Λύστε την εξίσωση

Λύση. Επιλέγουμε τη ρίζα, δηλ. την αφήνουμε στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και μεταφέρουμε τη ρίζα στη δεξιά πλευρά. Θα έχουμε: ή μετά από απλοποιήσεις: Μείωση κατά 2 και πάλι διαχωρισμό της ρίζας, θα έχουμε:

Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης, παίρνουμε:

Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης αντικαθιστούν τη δεδομένη εξίσωση, βεβαιωνόμαστε ότι κάθε μία από αυτές τις λύσεις την ικανοποιεί.

2. Λύστε την εξίσωση

Λύση. Μετακινώντας το V στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, έχουμε:

Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης:

Τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης που προκύπτει, παίρνουμε: ή μετά από απλοποιήσεις:

Άρα οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι:

Η δεύτερη από αυτές τις λύσεις ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση και η πρώτη είναι ξένη για αυτήν.

Η εμφάνιση μιας ξένης λύσης προκαλείται από την επέκταση του πεδίου ορισμού της εξίσωσης. Πράγματι, ο αριθμός 0 δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού της δεδομένης εξίσωσης, αλλά περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης. Η τιμή δεν μπορεί να είναι λύση στη δεδομένη εξίσωση γιατί δεν ανήκει στον τομέα της.

3. Λύστε την εξίσωση

Λύση. Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, έχουμε:

Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι Η πρώτη από αυτές τις λύσεις ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση και η δεύτερη είναι ξένη για αυτήν.

Η εμφάνιση μιας εξωτερικής λύσης προκαλείται όχι από την επέκταση του πεδίου ορισμού της δεδομένης εξίσωσης, αλλά από το γεγονός ότι η εξίσωση δεν είναι ισοδύναμη με την αρχική, αλλά μόνο

αντλούμε από αυτό. Είναι συνέπεια όχι μόνο της δεδομένης εξίσωσης, αλλά και της εξίσωσης

Η λύση ικανοποιεί την εξίσωση. Η λύση για αυτή την εξίσωση είναι ξένη.

4. Λύστε την εξίσωση

Λύση. Ας μετακινήσουμε τις ρίζες σε μία συχνότητα

Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης, παίρνουμε:

ή μετά από απλοποιήσεις:

Η δοκιμή δείχνει ότι ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση.

2. Αναγωγή μιας παράλογης εξίσωσης σε μικτό ορθολογικό σύστημα με την εισαγωγή νέων αγνώστων.

Το σύνολο μιας ή περισσότερων εξισώσεων της φόρμας

και μία ή περισσότερες ανισότητες της μορφής

ονομάζεται μικτό σύστημα εάν η απαίτηση είναι να καθοριστεί ποια συστήματα τιμών των αγνώστων ικανοποιούν ταυτόχρονα όλες αυτές τις εξισώσεις και ανισότητες. Το σύστημα τιμών των αγνώστων που ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις και τις ανισότητες του μικτού συστήματος ονομάζεται λύση του μικτού συστήματος. Το να λύνεις ένα μικτό σύστημα σημαίνει να μάθεις αν έχει λύσεις ή όχι, και αν έχει, τότε να τις βρεις όλες.

Θεώρημα. Οποιαδήποτε παράλογη εξίσωση

(κάντε κλικ για προβολή σάρωσης)

Δεδομένου ότι στην εξίσωση (1) για οποιοδήποτε αποδεκτό σύστημα τιμών των αγνώστων, η ρίζα ζυγού βαθμού υποδηλώνει την αριθμητική τιμή της ρίζας και ο περιττός βαθμός - τη μόνη πραγματική τιμή της ρίζας, τότε τα βοηθητικά άγνωστα μπορούν να πάρουν μόνο πραγματικές αξίες και, επιπλέον,

Προσθέτουμε ανισότητες στο σύστημα (2). Παίρνουμε ένα μικτό ορθολογικό σύστημα

(δείτε σάρωση)

Ας αποδείξουμε τώρα ότι η λύση της ανορθολογικής εξίσωσης (1) ανάγεται στη λύση του μικτού ορθολογικού συστήματος (3).

Πράγματι, αν υπάρχει λύση στην εξίσωση (1), τότε

είναι ένα διάλυμα στο μικτό σύστημα (3).

Αντίστροφα, αν το σύστημα των πραγματικών αριθμών είναι λύση στο μικτό σύστημα (3), τότε

Επιπλέον, αφού αυτή είναι η αριθμητική τιμή της ρίζας της δύναμης του

Ομοίως, ένας πραγματικός αριθμός είναι η μόνη πραγματική τιμή της Ρίζας του i.e.

Οι σχέσεις (4), (5) και (6) υπονοούν ότι

και, επομένως, το σύστημα των αριθμών είναι λύση της εξίσωσης (1).

Από όσα ειπώθηκαν προκύπτει ότι για να λυθεί η εξίσωση (1) αρκεί να βρεθούν όλες οι λύσεις του μικτού συστήματος (3). Τα συστήματα τιμών των αγνώστων που περιλαμβάνονται στις λύσεις που βρέθηκαν του συστήματος (3) θα είναι οι λύσεις της εξίσωσης (1) και όλες οι λύσεις της εξίσωσης (1) εξαντλούνται από αυτές. Εάν αποδειχθεί ότι το μικτό σύστημα (3) είναι ασυνεπές, τότε η εξίσωση (1) δεν έχει λύσεις. Στην εξεταζόμενη περίπτωση, η σύνθεση της παράλογης εξίσωσης

περιελάμβανε μόνο απλές ρίζες. Εάν η αριστερή πλευρά μιας παράλογης εξίσωσης περιέχει ρίζες, οι ριζικές εκφράσεις των οποίων, με τη σειρά τους, περιέχουν ρίζες, αλλά η λειτουργία εξαγωγής της ρίζας εκτελείται πεπερασμένος αριθμός φορές, τότε εισάγοντας διαδοχικά βοηθητικούς αγνώστους, η λύση ενός τέτοιου Η εξίσωση ανάγεται επίσης στη λύση ενός μικτού ορθολογικού συστήματος.

Παραδείγματα. 1. Λύστε την εξίσωση:

Λύση. Υποθέτοντας ότι

σχηματίζουν ένα μικτό ορθολογικό σύστημα

Αντικαθιστώντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε ένα σύστημα ισοδύναμο με το σύστημα (7):

Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (8), αφαιρούμε την τρίτη εξίσωση κατά μέρη, η οποία δίνει μια εξίσωση με ακέραιους συντελεστές:

Ένας άμεσος έλεγχος δείχνει ότι ο διαιρέτης 2 του ελεύθερου όρου ικανοποιεί την εξίσωση, δηλ. η εξίσωση (9) έχει μια λύση. Επομένως, η εξίσωση (9) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

και ως εκ τούτου

Οι λύσεις της εξίσωσης (10) είναι και επομένως η εξίσωση (9) στο πεδίο των πραγματικών αριθμών έχει μόνο μία λύση.Η λύση αυτή ικανοποιεί την ανισότητα

Αντικαθιστώντας την τιμή στις εξισώσεις, βρίσκουμε τις τιμές, δηλαδή:

Έτσι, το μικτό ορθολογικό σύστημα (7) έχει μια μοναδική λύση.Επάγεται ότι η δεδομένη ανορθολογική εξίσωση έχει επίσης μια μοναδική λύση στο πεδίο των πραγματικών αριθμών

2. Λύστε την εξίσωση

Λύση. Βάζοντας

σχηματίζουν ένα μικτό ορθολογικό σύστημα

Λύνοντας την πρώτη εξίσωση σε σχέση με και αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε στην τρίτη εξίσωση, λαμβάνουμε ένα μικτό σύστημα ισοδύναμο με το σύστημα (11):

Αντικαθιστώντας τις τιμές από τη δεύτερη και την τέταρτη εξίσωση στην τρίτη εξίσωση (12), παίρνουμε ένα σύστημα ισοδύναμο με το σύστημα (12):

Τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της τρίτης εξίσωσης του συστήματος (13), παίρνουμε ένα σύστημα που είναι συνέπεια του συστήματος (13):

Από τις τρεις τελευταίες εξισώσεις αυτού του συστήματος λαμβάνουμε: ή μετά από απλοποιήσεις:

Είναι προφανές ότι μπορεί να είναι μια λύση στη δεδομένη εξίσωση, αφού κανένα σύστημα τιμών δεν μπορεί να ικανοποιήσει την τρίτη εξίσωση του συστήματος που ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση. Επομένως, η δεδομένη ανορθολογική εξίσωση έχει μια μοναδική λύση στο πεδίο των πραγματικών αριθμών

Μερικές φορές, κατά την επίλυση μιας παράλογης εξίσωσης, είναι σκόπιμο να συνδυαστεί η μέθοδος εισαγωγής νέων αγνώστων με τη μέθοδο ανύψωσης και των δύο μερών της εξίσωσης σε ισχύ.

Παράδειγμα. λύσει την εξίσωση

Λύση. Υποθέτοντας ότι έχουμε:

Η εξίσωση (15) αντικαθίσταται από ένα μικτό σύστημα

Διαχωρίζοντας τη ρίζα στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (16) και τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης, παίρνουμε: ή μετά από απλοποιήσεις:

Επομένως και οι δύο αυτές λύσεις ικανοποιούν την εξίσωση και την ανισότητα Αντικαθιστώντας τις τιμές στην πρώτη εξίσωση του συστήματος (16), λαμβάνουμε τις ακόλουθες δύο εξισώσεις:

Επομένως, το μικτό σύστημα (16) έχει τέσσερις λύσεις:

και, επομένως, η εξίσωση (15) έχει επίσης τέσσερις λύσεις, και συγκεκριμένα:

τεχνητά κόλπα.Στην πρακτική της επίλυσης παράλογων εξισώσεων, μερικές φορές χρησιμοποιούνται με επιτυχία ξεχωριστές, αποκαλούμενες τεχνητές μέθοδοι. Ας δούμε μερικά από αυτά με παραδείγματα.

α) Λύστε την εξίσωση

Λύση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συζυγή παράγοντα στην αριστερή πλευρά της. Θα έχω:

ή μετά από μετασχηματισμούς:

Προσθέτοντας τις εξισώσεις (17) και (18) ανά μέρη, παίρνουμε:

Και οι δύο λύσεις ικανοποιούν τη δεδομένη εξίσωση, η οποία είναι εύκολο να επαληθευτεί αντικαθιστώντας τες στην εξίσωση,

β) Λύστε την εξίσωση

Λύση. Ας πάρουμε την ταυτότητα

και γράψε το ως εξής:

Η ισότητα (20) ικανοποιείται για οποιεσδήποτε τιμές, ειδικότερα, και για τιμές που ικανοποιούν την εξίσωση (19). Επομένως, αν αντικαταστήσουμε τον δεύτερο παράγοντα του στην αριστερή πλευρά της ταυτότητας (20), που είναι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (19), με την έκφραση, παίρνουμε την εξίσωση

που θα ικανοποιηθούν από όλες τις λύσεις της Εξ. (19).

Η εξίσωση (21) είναι επομένως συνέπεια της εξίσωσης (19) και, επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης (19) θα πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των λύσεων της εξίσωσης (21). Γράφουμε την εξίσωση (21) ως εξής:

Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση (21) χωρίζεται σε δύο εξισώσεις:

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι λύσεις της εξίσωσης (19) πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των λύσεων της εξίσωσης (22) και των λύσεων της εξίσωσης (23). Η λύση της εξίσωσης (22) είναι Αυτή η λύση ικανοποιεί επίσης τη δεδομένη εξίσωση (19). Για να βρούμε άλλες λύσεις στην εξίσωση (19), προσθέτουμε τις εξισώσεις (19) και (23) ανά μέρη. Παίρνουμε την εξίσωση

που θα ικανοποιηθούν από όλες τις λύσεις της Εξ. (19) εκτός από τη λύση