Ποια είναι η βάση του παραλληλεπίπεδου. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Σε ποια στοιχεία μπορεί να χωριστεί αυτό το σχήμα

Σε αυτό το μάθημα, θα ορίσουμε ένα πλαίσιο, θα συζητήσουμε τη δομή του και τα στοιχεία του (τις διαγώνιες του κουτιού, τις πλευρές του κουτιού και τις ιδιότητές τους). Εξετάστε επίσης τις ιδιότητες των όψεων και των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου. Στη συνέχεια, θα λύσουμε ένα τυπικό πρόβλημα για την κατασκευή ενός τμήματος σε παραλληλεπίπεδο.

Θέμα: Παραλληλισμός ευθειών και επιπέδων

Μάθημα: Παραλληλεπίπεδο. Ιδιότητες όψεων και διαγωνίων ενός κουτιού

Σε αυτό το μάθημα, θα δώσουμε έναν ορισμό του παραλληλεπίπεδου, θα συζητήσουμε τη δομή, τις ιδιότητες και τα στοιχεία του (πλευρές, διαγώνιες).

Το παραλληλεπίπεδο σχηματίζεται χρησιμοποιώντας δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Ονομασία: ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 ή AD 1 (Εικ. 1.).

2. Φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών «Ανοιχτό μάθημα» ()

1. Γεωμετρία. Βαθμός 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές Εκπαιδευτικά ιδρύματα(βασικά και προφίλ) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδοση, διορθωμένη και συμπληρωμένη - Μ.: Mnemozina, 2008. - 288 σελ.: εικ.

Εργασίες 10, 11, 12 σελίδα 50

2. Κατασκευάστε ένα τμήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ABCDА1B1C1D1αεροπλάνο που διέρχεται από τα σημεία

α) Α, Γ, Β1

β) Β1, Δ1και το μέσο της πλευράς AA1.

3. Η άκρη του κύβου ισούται με α. Κατασκευάστε ένα τμήμα του κύβου με ένα επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα τριών άκρων που βγαίνουν από την ίδια κορυφή και υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του.

4. Ποια σχήματα μπορούν να ληφθούν ως αποτέλεσμα της τομής ενός παραλληλεπιπέδου με ένα επίπεδο;

Παραλληλεπίπεδο είναι ένα πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι παραλληλόγραμμα. Σε αυτή την περίπτωση, όλα τα άκρα θα παραλληλόγραμμα.
Κάθε παραλληλεπίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως πρίσμα με τρεις διαφορετικούς τρόπους, αφού κάθε δύο αντίθετες όψεις μπορούν να ληφθούν ως βάσεις (στο Σχ. 5, όψεις ABCD και A "B" C "D", ή ABA "B" και CDC "D », ή π.Χ. «Γ» και ΑΔΑ «Δ»).
Το σώμα που εξετάζουμε έχει δώδεκα άκρες, τέσσερις ίσες και παράλληλες μεταξύ τους.
Θεώρημα 3 . Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο, συμπίπτοντας με το μέσο του καθενός από αυτά.
Το παραλληλεπίπεδο ABCDA"B"C"D" (Εικ. 5) έχει τέσσερις διαγώνιες AC", BD", CA", DB". Πρέπει να αποδείξουμε ότι τα μέσα οποιωνδήποτε δύο εξ αυτών, για παράδειγμα, AC και BD, συμπίπτουν. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το σχήμα ABC "D", που έχει ίσες και παράλληλες πλευρές AB και C "D", είναι παραλληλόγραμμο .
Ορισμός 7 . Ένα ορθό παραλληλεπίπεδο είναι ένα παραλληλεπίπεδο που είναι επίσης ένα ευθύ πρίσμα, δηλαδή ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στο επίπεδο βάσης.
Ορισμός 8 . Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ένα ορθογώνιο. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι όψεις του θα είναι ορθογώνιες.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι ένα ορθογώνιο πρίσμα, ανεξάρτητα από το ποια από τις όψεις του λαμβάνουμε ως βάση, καθώς κάθε άκρο του είναι κάθετη στις ακμές που εξέρχονται από την ίδια κορυφή με αυτό, και επομένως θα είναι κάθετη στα επίπεδα του τις όψεις που ορίζονται από αυτές τις άκρες. Σε αντίθεση με αυτό, ένα ευθύ, αλλά όχι ορθογώνιο, παραλληλεπίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως ορθό πρίσμα με έναν μόνο τρόπο.
Ορισμός 9 . Τα μήκη τριών άκρων ενός κυβοειδούς, από τα οποία καμία δεν είναι παράλληλη μεταξύ τους (για παράδειγμα, τρεις ακμές που βγαίνουν από την ίδια κορυφή), ονομάζονται διαστάσεις του. Δύο |ορθογώνια παραλληλεπίπεδα που έχουν αντίστοιχα ίσες διαστάσεις είναι προφανώς ίσα μεταξύ τους.
Ορισμός 10 Ο κύβος είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, του οποίου και οι τρεις διαστάσεις είναι ίσες μεταξύ τους, έτσι ώστε όλες οι όψεις του να είναι τετράγωνες. Δύο κύβοι των οποίων οι άκρες είναι ίσες είναι ίσοι.
Ορισμός 11 . Ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο στο οποίο όλες οι ακμές είναι ίσες και οι γωνίες όλων των επιφανειών είναι ίσες ή συμπληρωματικές ονομάζεται ρομβοέδρο.
Όλες οι όψεις ενός ρομβοέδρου είναι ίσοι ρόμβοι. (Το σχήμα ενός ρομβοέδρου βρίσκεται σε μερικούς κρυστάλλους μεγάλης σημασίας, όπως κρυστάλλους Ισλανδικής ράχης). .
Θεώρημα 4 . Οι διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες μεταξύ τους. Το τετράγωνο της διαγωνίου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων.
Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ABCDA "B" C "D" (Εικ. 6), οι διαγώνιοι AC "και BD" είναι ίσες, αφού το τετράπλευρο ABC "D" είναι ορθογώνιο (η ευθεία AB είναι κάθετη στο επίπεδο BC "C" , στο οποίο βρίσκεται π.Χ.»).
Επιπλέον, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 με βάση το θεώρημα του τετραγώνου της υποτείνουσας. Αλλά με βάση το ίδιο θεώρημα AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2, επομένως έχουμε:
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.

Σε αυτό το μάθημα, όλοι θα μπορούν να μελετήσουν το θέμα "Ορθογώνιο κουτί". Στην αρχή του μαθήματος, θα επαναλάβουμε τι είναι τα αυθαίρετα και ευθύγραμμα παραλληλεπίπεδα, υπενθυμίζουμε τις ιδιότητες των απέναντι όψεών τους και τις διαγώνιες του παραλληλεπίπεδου. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τι είναι ένα κυβοειδές και θα συζητήσουμε τις κύριες ιδιότητές του.

Θέμα: Καθετότητα ευθειών και επιπέδων

Μάθημα: Κυβοειδές

Μια επιφάνεια που αποτελείται από δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 και τέσσερα παραλληλόγραμμα ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ονομάζεται παραλληλεπίπεδο(Εικ. 1).

Ρύζι. 1 Παραλληλεπίπεδο

Δηλαδή: έχουμε δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 (βάσεις), βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα έτσι ώστε οι πλευρικές ακμές AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 να είναι παράλληλες. Έτσι, μια επιφάνεια που αποτελείται από παραλληλόγραμμα ονομάζεται παραλληλεπίπεδο.

Έτσι, η επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα όλων των παραλληλόγραμμων που αποτελούν το παραλληλεπίπεδο.

1. Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.

(οι αριθμοί είναι ίσοι, δηλαδή μπορούν να συνδυαστούν με επικάλυψη)

Για παράδειγμα:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (ίσα παραλληλόγραμμα εξ ορισμού),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 B 1 B και DD 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 D 1 D και BB 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου).

2. Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούν το σημείο αυτό.

Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B τέμνονται σε ένα σημείο O, και κάθε διαγώνιος διαιρείται στο μισό με αυτό το σημείο (Εικ. 2).

Ρύζι. 2 Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνουν και διχοτομούν το σημείο τομής.

3. Υπάρχουν τρία τετραπλά ίσα και παράλληλα άκρα του παραλληλεπιπέδου: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Ορισμός. Ένα παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις.

Αφήστε το πλευρικό άκρο AA 1 να είναι κάθετο στη βάση (Εικ. 3). Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία ΑΑ 1 είναι κάθετη στις ευθείες ΑΔ και ΑΒ, που βρίσκονται στο επίπεδο της βάσης. Και, επομένως, τα ορθογώνια βρίσκονται στις πλευρικές όψεις. Και οι βάσεις είναι αυθαίρετα παραλληλόγραμμα. Σημειώστε, ∠BAD = φ, η γωνία φ μπορεί να είναι οποιαδήποτε.

Ρύζι. 3 Δεξί κουτί

Έτσι, ένα δεξιό κουτί είναι ένα κουτί στο οποίο οι πλευρικές άκρες είναι κάθετες στις βάσεις του κουτιού.

Ορισμός. Το παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ορθογώνιο,αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση. Οι βάσεις είναι ορθογώνιες.

Το παραλληλεπίπεδο АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 είναι ορθογώνιο (Εικ. 4) εάν:

1. AA 1 ⊥ ABCD (το πλευρικό άκρο είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης, δηλαδή ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο).

2. ∠BAD = 90°, δηλ. η βάση είναι ορθογώνιο.

Ρύζι. 4 Κυβοειδές

Ένα ορθογώνιο κουτί έχει όλες τις ιδιότητες ενός αυθαίρετου κουτιού.Υπάρχουν όμως πρόσθετες ιδιότητες που προέρχονται από τον ορισμό του κυβοειδούς.

Ετσι, κυβοειδέςείναι ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στη βάση. Η βάση ενός κυβοειδούς είναι ένα ορθογώνιο.

1. Σε ένα κυβοειδές, και οι έξι όψεις είναι ορθογώνια.

Το ABCD και το A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνια εξ ορισμού.

2. Οι πλευρικές νευρώσεις είναι κάθετες στη βάση. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές όψεις ενός κυβοειδούς είναι ορθογώνια.

3. Όλες οι δίεδρες γωνίες ενός κυβοειδούς είναι ορθές.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη διεδρική γωνία ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με ακμή ΑΒ, δηλαδή τη διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων ABB 1 και ABC.

Το AB είναι μια ακμή, το σημείο A 1 βρίσκεται σε ένα επίπεδο - στο επίπεδο ABB 1, και το σημείο D στο άλλο - στο επίπεδο A 1 B 1 C 1 D 1. Τότε η εξεταζόμενη διεδρική γωνία μπορεί επίσης να συμβολιστεί ως εξής: ∠А 1 АВD.

Πάρτε το σημείο Α στην άκρη ΑΒ. Το AA 1 είναι κάθετο στο άκρο AB στο επίπεδο ABB-1, το AD είναι κάθετο στο άκρο AB στο επίπεδο ABC. Επομένως, ∠A 1 AD είναι η γραμμική γωνία της δεδομένης διεδρικής γωνίας. ∠A 1 AD \u003d 90 °, που σημαίνει ότι η διεδρική γωνία στο άκρο AB είναι 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι οποιεσδήποτε δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.

Το τετράγωνο της διαγωνίου ενός κυβοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του.

Σημείωση. Τα μήκη των τριών άκρων που προέρχονται από την ίδια κορυφή του κυβοειδούς είναι οι μετρήσεις του κυβοειδούς. Μερικές φορές ονομάζονται μήκος, πλάτος, ύψος.

Δίνεται: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (Εικ. 5).

Απόδειξη: .

Ρύζι. 5 Κυβοειδές

Απόδειξη:

Η ευθεία CC 1 είναι κάθετη στο επίπεδο ABC και ως εκ τούτου στην ευθεία AC. Άρα το τρίγωνο CC 1 A είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Σκεφτείτε ορθογώνιο τρίγωνοΑΛΦΑΒΗΤΟ. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αλλά π.Χ. και μ.Χ. είναι οι αντίθετες πλευρές του ορθογωνίου. Άρα π.Χ. = μ.Χ. Επειτα:

Επειδή , ένα , έπειτα. Αφού CC 1 = AA 1, τότε τι έπρεπε να αποδειχθεί.

Οι διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες.

Ας ορίσουμε τις διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου ABC ως a, b, c (βλ. Εικ. 6), μετά AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Θεώρημα. Σε κάθε παραλληλεπίπεδο, οι απέναντι όψεις είναι ίσες και παράλληλες.

Έτσι, οι όψεις (Εικ.) BB 1 C 1 C και AA 1 D 1 D είναι παράλληλες, επειδή δύο τεμνόμενες ευθείες BB 1 και B 1 C 1 μιας όψης είναι παράλληλες σε δύο τεμνόμενες ευθείες AA 1 και A 1 D 1 του το άλλο. Αυτές οι όψεις είναι ίσες, αφού B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (ως απέναντι πλευρές των παραλληλογραμμών) και ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Θεώρημα. Σε οποιοδήποτε παραλληλεπίπεδο, και οι τέσσερις διαγώνιοι τέμνονται σε ένα σημείο και χωρίζονται στο μισό σε αυτό.

Πάρτε (εικ.) σε παραλληλεπίπεδο οποιεσδήποτε δύο διαγώνιες, για παράδειγμα, AC 1 και DB 1, και σχεδιάστε ευθείες γραμμές AB 1 και DC 1.

Δεδομένου ότι οι ακμές AD και B 1 C 1 είναι αντίστοιχα ίσες και παράλληλες με την ακμή BC, είναι ίσες και παράλληλες μεταξύ τους.

Ως αποτέλεσμα, το σχήμα ADC 1 B 1 είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο τα C 1 A και DB 1 είναι διαγώνιες και στο παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι τέμνονται στο μισό.

Αυτή η απόδειξη μπορεί να επαναληφθεί για κάθε δύο διαγώνιους.

Επομένως, η διαγώνιος AC 1 τέμνεται με το BD 1 στο μισό, η διαγώνιος BD 1 με το A 1 C στο μισό.

Έτσι, όλες οι διαγώνιοι τέμνονται στο μισό και, επομένως, σε ένα σημείο.

Θεώρημα. Σε ένα κυβοειδές, το τετράγωνο οποιασδήποτε διαγώνιου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του.

Έστω (εικ.) AC 1 κάποια διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου.

Αφού σχεδιάσουμε το AC, έχουμε δύο τρίγωνα: AC 1 C και ACB. Και τα δύο είναι ορθογώνια.

το πρώτο επειδή το κουτί είναι ίσιο και επομένως η άκρη CC 1 είναι κάθετη στη βάση,

το δεύτερο γιατί το παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνιο, που σημαίνει ότι έχει ένα ορθογώνιο στη βάση του.

Από αυτά τα τρίγωνα βρίσκουμε:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 και AC 2 = AB 2 + BC 2

Επομένως, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Συνέπεια. Σε ένα κυβοειδές, όλες οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ταυτοποίηση ενός συγκεκριμένου ατόμου ή για επικοινωνία μαζί του.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημοσίων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.