Когато антипроизводната е нула на графиката. Урок “Праводипроизводни и определен интеграл на изпита. Преглед на USE заданията по темата „Антипримитив

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x) (която е начупена линия, съставена от три прави сегмента). Като използвате фигурата, изчислете F(9)-F(5), където F(x) е една от първоизводните на f(x).

Покажи решение

Решение

Според формулата на Нютон-Лайбниц разликата F(9)-F(5), където F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), е равна на площта на криволинейния трапец, ограничен по графиката на функцията y=f(x), прави y=0 , x=9 и x=5. Според графиката определяме, че посоченият криволинеен трапец е трапец с основи равни на 4 и 3 и височина 3.

Площта му е равна на \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Отговор

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

На фигурата е показана графика на функцията y=F(x) - една от първоизводните на някаква функция f(x), дефинирана на интервала (-5; 5). Като използвате фигурата, определете броя на решенията на уравнението f(x)=0 на отсечката [-3; четири].

Покажи решение

Решение

Според дефиницията на антипроизводната, равенството е в сила: F "(x) = f (x). Следователно уравнението f (x) = 0 може да бъде записано като F "(x) = 0. Тъй като фигурата показва графиката на функцията y=F(x), трябва да намерим тези интервални точки [-3; 4], в която производната на функцията F(x) е равна на нула. От фигурата се вижда, че това ще бъдат абсцисите на крайните точки (максимум или минимум) на графиката F(x). Те са точно 7 на посочения интервал (четири минимални точки и три максимални точки).

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x) (която е начупена линия, съставена от три прави сегмента). Като използвате фигурата, изчислете F(5)-F(0), където F(x) е една от първоизводните на f(x).

Покажи решение

Решение

Според формулата на Нютон-Лайбниц разликата F(5)-F(0), където F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), е равна на площта на криволинейния трапец, ограничен по графиката на функцията y=f(x), прави y=0 , x=5 и x=0. Според графиката определяме, че посоченият криволинеен трапец е трапец с основи равни на 5 и 3 и височина 3.

Площта му е равна на \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

На фигурата е показана графика на функцията y=F(x) — една от първообразните на някаква функция f(x), дефинирана на интервала (-5; 4). Като използвате фигурата, определете броя на решенията на уравнението f (x) = 0 на сегмента (-3; 3].

Покажи решение

Решение

Според дефиницията на антипроизводната, равенството е в сила: F "(x) = f (x). Следователно уравнението f (x) = 0 може да бъде записано като F "(x) = 0. Тъй като фигурата показва графиката на функцията y=F(x), трябва да намерим тези интервални точки [-3; 3], в която производната на функцията F(x) е равна на нула.

От фигурата се вижда, че това ще бъдат абсцисите на крайните точки (максимум или минимум) на графиката F(x). Те са точно 5 на посочения интервал (две минимални точки и три максимални точки).

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на някаква функция y=f(x). Функцията F(x)=-x^3+4.5x^2-7 е една от първоизводните на функцията f(x).

Намерете площта на защрихованата фигура.

Покажи решение

Решение

Защрихованата фигура е криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката на функцията y=f(x), правите линии y=0, x=1 и x=3. Според формулата на Нютон-Лайбниц неговата площ S е равна на разликата F(3)-F(1), където F(x) е първоизводната на функцията f(x), посочена в условието. Ето защо S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на някаква функция y=f(x). Функцията F(x)=x^3+6x^2+13x-5 е една от първоизводните на функцията f(x). Намерете площта на защрихованата фигура.

Здравейте приятели! В тази статия ще разгледаме задачи за примитивните. Тези задачи са включени в изпита по математика. Въпреки факта, че самите раздели - диференциация и интеграция са доста обемни в хода на алгебрата и изискват отговорен подход към разбирането, но самите задачи, които са включени в отворена банказадачи по математика и ще бъдат изключително прости на изпита и се решават в една или две стъпки.

Важно е да се разбере същността на първоизводната и по-специално геометричния смисъл на интеграла. Разгледайте накратко теоретичните основи.

Геометричният смисъл на интеграла

Накратко за интеграла можем да кажем следното: интегралът е площта.

Определение: Нека координатна равнинададена е графика на положителна функция f, дадена на сегмента. Подграф (или криволинеен трапец) е фигура, ограничена от графиката на функцията f, правите линии x \u003d a и x \u003d b и оста x.

Определение: Нека е дадена положителна функция f, дефинирана на краен интервал. Интегралът на функция f върху сегмент е площта на нейния подграф.

Както вече споменахме, F (x) = f (x).Какво можем да заключим?

Той е прост. Трябва да определим колко точки има на тази графика, в които F′(x) = 0. Знаем, че в тези точки, където допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста x. Нека покажем тези точки на интервала [–2;4]:

Това са точките на екстремум на дадената функция F(x). Те са десет.

Отговор: 10

323078. Фигурата показва графика на някаква функция y = f (x) (два лъча с обща начална точка). Като използвате фигурата, изчислете F(8) – F(2), където F(x) е една от първоизводните на f(x).

Нека пренапишем теоремата на Нютон-Лайбниц:Нека f дадена функция, F е неговата произволна първоизводна. Тогава

И това, както вече споменахме, е областта на подграфа на функцията.

По този начин задачата се свежда до намиране на площта на трапеца (интервал от 2 до 8):

Не е трудно да го изчислите по клетки. Получаваме 7. Знакът е положителен, тъй като фигурата е разположена над оста x (или в положителната полуравнина на оста y).

Също така в този случайможе да се каже следното: разликата в стойностите на антипроизводните в точките е площта на фигурата.

Отговор: 7

323079. Фигурата показва графика на някаква функция y = f (x). Функцията F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1,875 е една от първоизводните на функцията y \u003d f (x). Намерете площта на защрихованата фигура.

Както вече споменахме за геометричния смисъл на интеграла, това е площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията f (x), правите линии x \u003d a и x \u003d b и оста вол.

Теорема (Нютон–Лайбниц):

По този начин задачата се свежда до изчисляване на определения интеграл на тази функция в интервала от -11 до -9, или с други думи, трябва да намерим разликата между стойностите на антипроизводните, изчислени в посочените точки:

Отговор: 6

323080. Фигурата показва графика на някаква функция y = f (x).

Функцията F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 е една от първоизводните на функцията f (x). Намерете площта на защрихованата фигура.

Теорема (Нютон–Лайбниц):

Задачата се свежда до изчисляване на определения интеграл на тази функция в интервала от –10 до –8:

Отговор: 4 Можете да видите .

Производните и правилата за диференциация все още са в сила. Познаването им е необходимо не само за решаване на подобни задачи.

Можете също да видите обща информацияна уебсайта и

Вижте кратко видео, това е откъс от филма "The Blind Side". Можем да кажем, че това е филм за проучвания, за милост, за значението на предполагаемите „случайни“ срещи в живота ни ... Но тези думи няма да са достатъчни, препоръчвам да гледате самия филм, силно го препоръчвам.

Пожелавам ти успех!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Общинска автономна образователна институция

"Средно аритметично общообразователно училище№ 56 със задълбочено изучаване на математиката "на град Магнитогорск

Методическа разработкаурок

математика

Първопроизводни и определен интеграл на изпита. Преглед на USE заданията по темата "Антипримитив")

за ученици от 11 клас

(обобщен урок)

Филимонова Татяна Михайловна

Магнитогорск 2018 г

анотация

Урокът е предназначен за ученици от 11 клас. Темата на урока е „Правопроизводна и определен интеграл на изпита.Преглед на USE заданията по темата "Антипримитив". Етапът на обучение по тази тема е последният. Мотивацията за изучаване на тази тема се осигурява чрез използването на ИКТ, използването различни видовезадачи, привличане на ФИПИ задачи и задачи на сайт ще решавам изпита. Приоритетната цел в урока е прилагането на придобитите знания, развитието на уменията, решаването на задачи с изпита.

Обяснителна бележка

Методическата разработка е разработването на конкретен урок по математика с помощта на ИКТ средства. Уместността на разработката се крие във факта, че учениците решават проблема за намиране на площта на фигурата, използвайки различни методи.Различните начини за решаване на един проблем, видимостта, историческата информация и наличието на междудисциплинарни връзки допринасят за развитие на познавателен интерес към математиката, осъзнаване на значението на математиката в ежедневието.

По време на контролната работа учениците повтарят теоретични сведения за първопроизводната и интеграла, което ще им помогне да систематизират теорията по тази тема и да се подготвят за предстоящия изпит.

Обобщение на урока

Тип урок: обобщителен урок.

Цели:

Образователни:

Формиране на образователни и познавателни и информационни компетенции, чрез обобщаване, систематизиране на знанията по темата "Примитивен.Интеграл".

Образователни:

Формиране на информация, общи културни компетенции чрез развитие на познавателна активност, интерес към предмета, креативностученици, разширяване на кръгозора им, развиване на математическата реч.

Образователни:

Формирането на комуникативна компетентност и компетентността за личностно самоусъвършенстване, чрез работа върху комуникационните умения, способността за работа в сътрудничество, върху обучението на такива лични качествакато организиран и дисциплиниран.

Оборудване:Компютър, проектор, екран.

По време на часовете

I. Организационен момент:

Здравейте момчета! Радвам се да ви приветствам в урока.° Сцелта на нашия урок е да обобщим, систематизираме знанията по темата „Антипримитивен. Интеграл”, за подготовка за предстоящия изпит.

II . Проверка на домашното:

Намерете площта на фигура, ограничена от линииг= х2 , y=. Решението е на слайда.

На дъската е предварително подготвена задача за извеждане на формулата за обем на топка.

Двама души се редуват да идват до дъската и накратко да обясняват решението, което

Останалите проверяват.

аз II . Загрявка.

На всеки ученик се дава тест.

Съберете попълнени тестове.

Разборът на задачите се извършва фронтално според показаните задачи на екрана.

аз V . Математическо реле.

Сега на път! Изкачването на "Върха на знанието" няма да е лесно, може да има задръствания, срутвания и преспи. Но има и спирки, където ви чакат не само задачи. За да продължиш напред, трябва да покажеш знания.

Учениците за всяко бюро получават листове със задачи по темата „Антипримитив“.

1. Стойността на антипроизводнотоЕ( х) функцииf( х)=11 х+5 при 0 е равно на 6. НамеретеЕ(-3).

2. Стойността на антипроизводнотоЕ( х) функцииf( х)=8 cosхв точката -π е равно на 13. НамеретеЕ( π /6).

3. Стойността на първоизводната функцияЕ( х) функцииf( х)=6 в точка 0 е равно на -18. намирамF(ln3).

4. На фигурата е показана графика на първоизводнатаг= Е( х) функцииf( х) и осем точки по оста x: , , …, . В колко от тези точки работи функциятаf( х) е положителен?

5. Фигурата показва графика на антипроизводната y \u003dЕ( х) функцииf( х) и осем точки по оста x: , , , …,. В колко от тези точки работи функциятаf(x)отрицателен?

V . Спиране.

„Щастлив случай се пада само на подготвените умове“ (Луи Пастьор).

Прочита се информация от историята на интегралното смятане. Показани са вестници, подготвени от студенти за историята на интегралното смятане. Вестниците са посветени на Нютон и Лайбниц.

VI. Най-трудното изкачване.

Следващата задача се изпълнява писмено, така че учениците работят в тетрадки.

Задача. По колко начина можете да намерите площта на фигура, ограничена от линии (слайд)

Кой има предложения? (фигурата се състои от два криволинейни трапеца и правоъгълник) (изберете метод на решение, слайд)

След обсъждане на този проблем, на слайда се появява запис

1 начин: S=S1 +S2 +S

2 начин: S=S1 +SABCD-СOCD

Двама ученици решават на дъската, последвано от обяснение на решението, останалите ученици работят в тетрадки, като избират едно от решенията.

Заключение (учениците правят): намерихме два начина за решаване на този проблем, получавайки същия резултат. Обсъдете кой начин е по-лесен.

Всички са много уморени, но колкото по-близо до целта, задачите стават все по-лесни.

VSH. Обобщение на урока (слайдове)

„Мисленето започва с изненада“, отбелязва Аристотел преди 2500 години. Нашият сънародник Сухомлински вярваше, че „чувството на изненада е мощен източник на желание да се знае; от изненадата до знанието - една стъпка. А математиката е прекрасен предмет за изненада.

Интегралите се използват за:

решаване на задачи от областта на физиката;

решение икономически задачи(за оптимизиране на работата на компанията в конкурентна среда, изчисляване на доходността на потребителски кредит);

решаване на социално-демографски проблеми (математически модел на населението на Земята и др.).

IX . Домашна работа. (пързалка)

Задачата, съставена от учителя в сайта "Ще реша изпита".

х . Поставяне на знаци.

Библиография

Виленкин Н.Я. и т.н. Алгебра и начала математически анализ. 11 клас. V. Ch.2. (ниво на профил). - М.: Мнемозина, 2009. - 264 с.

Александрова Л.А. Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. Самостоятелна работа. - М.: Мнемозина, 2009. - 100 с.

3. Шипова Т.А. Алгебра и началото на анализа: Производна. Определен интеграл. Тестове. - М .: School-Press, 1996. - 64 с.

4. Уебсайт metaschool.ru за разработване на уроци.

5. Сайт Ще решавам Единния държавен изпит, каталог на задачите, примитивен.

51. Фигурата показва графика y=f "(x)- производна функция f(x),определени на интервала (− 4; 6). Намерете абсцисата на точката, където е допирателната към графиката на функцията y=f(x) е успоредна на правата y=3xили съвпада с него.

Отговор: 5

52. Фигурата показва графика y=F(x) f(x) f(x)положителен?

Отговор: 7

53. Фигурата показва графика y=F(x)едно от антипроизводните на някаква функция f(x) и осем точки са отбелязани на оста x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8.В колко от тези точки работи функцията f(x)отрицателен?

Отговор: 3

54. Фигурата показва графика y=F(x)едно от антипроизводните на някаква функция f(x)и десет точки на оста x са маркирани: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. В колко от тези точки работи функцията f(x)положителен?

Отговор: 6

55. Фигурата показва графика y=F(x f(x),определени на интервала (− 7; 5). Като използвате фигурата, определете броя на решенията на уравнението f(x)=0на интервала [− 5; 2].

Отговор: 3

56. Фигурата показва графика y=F(x)една от първоизводните на някаква функция f (х),определени на интервала (− 8; 7). Като използвате фигурата, определете броя на решенията на уравнението f(x)= 0 на интервала [− 5; 5].

Отговор: 4

57. Фигурата показва графика y=F(х) една от антипроизводните на някаква функция f(х), определени на интервала (1;13). Като използвате фигурата, определете броя на решенията на уравнението f (х)=0 на отсечката .

Отговор: 4

58. На фигурата е показана графика на някаква функция y=f(x)(два лъча с обща начална точка). Използвайки фигурата, изчислете F(−1)−F(−8),където F(x) f(x).

Отговор: 20

59. На фигурата е показана графика на някаква функция y=f(x) (два лъча с обща начална точка). Използвайки фигурата, изчислете F(−1)−F(−9),където F(x)- една от първопроизводните на функцията f(x).

Отговор: 24

60. На фигурата е показана графика на някаква функция y=f(x). функция

-една от първоизводните на функцията f(x).Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор: 6

61. На фигурата е показана графика на някаква функция y=f(x).функция

Една от първоизводните на функцията f(x). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор: 14.5

успоредна на допирателната към графиката на функцията

Отговор: 0,5

Намерете абсцисата на точката на контакт.

Отговор: -1

е допирателна към графиката на функцията

намирам ° С.

Отговор: 20

е допирателна към графиката на функцията

намирам а.

Отговор: 0,125

е допирателна към графиката на функцията

намирам b, като се има предвид, че абсцисата на точката на допир е по-голяма от 0.

Отговор: -33

67. Материална точка се движи по права линия според закона

където х T- време в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент от време (в секунди) нейната скорост е била равна на 96 m/s?

Отговор: 18

68. Материална точка се движи по права линия според закона

където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. В кой момент от време (в секунди) нейната скорост е била равна на 48 m/s?

Отговор: 9

69. Материална точка се движи по права линия според закона

където х T T=6 с.

Отговор: 20

70. Материална точка се движи по права линия според закона

където х- разстояние от референтната точка в метри, T- време в секунди, измерено от началото на движението. Намерете неговата скорост (в m/s) в момента T=3 с.

Отговор: 59

Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирната точка е по-малка от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика.

Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията, така и на тангенс, т.е. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Получаваме система от уравнения \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Съгласно състоянието на абсцисата точките на допир са по-малки от нула, следователно x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Отговор

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x) (която е начупена линия, съставена от три прави сегмента). Като използвате фигурата, изчислете F(9)-F(5), където F(x) е една от първоизводните на f(x).

Покажи решение

Решение

Според формулата на Нютон-Лайбниц разликата F(9)-F(5), където F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), е равна на площта на криволинейния трапец, ограничен по графиката на функцията y=f(x), прави y=0 , x=9 и x=5. Според графиката определяме, че посоченият криволинеен трапец е трапец с основи равни на 4 и 3 и височина 3.

Площта му е равна на \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

Фигурата показва графика на y \u003d f "(x) - производната на функцията f (x), определена в интервала (-4; 10). Намерете интервалите на намаляваща функция f (x). Във вашия отговор , посочете дължината на най-големия от тях.

Покажи решение

Решение

Както знаете, функцията f (x) намалява на тези интервали, във всяка точка от които производната f "(x) е по-малка от нула. Като се има предвид, че е необходимо да се намери дължината на най-големия от тях, три такива интервала се разграничават естествено от фигурата: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Дължината на най-голямата от тях - (5; 9) е равна на 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

Фигурата показва графика на y \u003d f "(x) - производната на функцията f (x), определена на интервала (-8; 7). Намерете броя на максималните точки на функцията f (x), принадлежащи към интервала [-6; -2].

Покажи решение

Решение

Графиката показва, че производната f "(x) на функцията f (x) променя знака от плюс на минус (ще има максимум в такива точки) точно в една точка (между -5 и -4) от интервала [ -6; -2 Следователно има точно една максимална точка на интервала [-6;-2].

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2; 8). Определете броя на точките, в които производната на функцията f(x) е равна на 0 .

Покажи решение

Решение

Ако производната в дадена точка е равна на нула, тогава допирателната към графиката на функцията, начертана в тази точка, е успоредна на оста Ox. Следователно намираме такива точки, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста Ox. На тази диаграма такива точки са екстремни точки (максимални или минимални точки). Както можете да видите, има 5 точки на екстремум.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

Правата y=-3x+4 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=-x^2+5x-7. Намерете абсцисата на точката на контакт.

Покажи решение

Решение

Наклонът на правата към графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е y"(x_0). Но y"=-2x+5, така че y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Ъгловият коефициент на правата y=-3x+4, определен в условието, е -3.

Получаваме: x_0 = 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x) и отбелязани точки -6, -1, 1, 4 по оста x. В коя от тези точки стойността на производната е най-малка? Моля, посочете тази точка в отговора си.