Graf funkcie y 10x. Ako nakresliť funkciu. Vykreslenie lineárnej funkcie v Exceli

krása
26.09.2022

Žiaľ, nie všetci študenti a školáci poznajú a milujú algebru, ale každý si musí pripravovať domáce úlohy, riešiť testy a robiť skúšky. Pre mnohých je obzvlášť ťažké nájsť úlohy na vykresľovanie funkčných grafov: ak niekde niečomu nerozumiete, nedokončite to, vynecháte to, chyby sú nevyhnutné. Ale kto chce mať zlé známky?

Chceli by ste sa pridať do kohorty tailerov a porazených? Máte na to 2 spôsoby: sadnúť si za učebnice a doplniť medzery vo vedomostiach, alebo využiť virtuálnu asistentku – službu na automatické vykresľovanie grafov funkcií podľa zadaných podmienok. S rozhodnutím alebo bez neho. Dnes vám predstavíme niekoľko z nich.

Najlepšie na Desmos.com je vysoko prispôsobiteľné rozhranie, interaktivita, možnosť rozložiť výsledky do tabuliek a uložiť vašu prácu v databáze zdrojov zadarmo bez časového obmedzenia. A nevýhodou je, že služba nie je úplne preložená do ruštiny.

Grafikus.ru

Grafikus.ru je ďalšia pozoruhodná grafická kalkulačka v ruskom jazyku. Navyše ich stavia nielen v dvojrozmernom, ale aj trojrozmernom priestore.

Tu je neúplný zoznam úloh, s ktorými sa táto služba úspešne vyrovnáva:

  • Kreslenie 2D grafov jednoduchých funkcií: priamky, paraboly, hyperboly, trigonometrické, logaritmické atď.
  • Kreslenie 2D-grafov parametrických funkcií: kružnice, špirály, Lissajousove obrazce a iné.
  • Kreslenie 2D grafov v polárnych súradniciach.
  • Konštrukcia 3D plôch jednoduchých funkcií.
  • Konštrukcia 3D plôch parametrických funkcií.

Hotový výsledok sa otvorí v samostatnom okne. Používateľ má možnosť stiahnuť, vytlačiť a skopírovať odkaz naň. V druhom prípade sa budete musieť prihlásiť do služby pomocou tlačidiel sociálnych sietí.

Súradnicová rovina Grafikus.ru podporuje zmenu hraníc osí, ich označení, medzier mriežky, ako aj šírky a výšky samotnej roviny a veľkosti písma.

Najväčšou silou Grafikus.ru je schopnosť vytvárať 3D grafy. V opačnom prípade to nefunguje horšie a nie lepšie ako analógové zdroje.

Onlinecharts.ru

Online asistent Onlinecharts.ru nevytvára grafy, ale grafy takmer všetkých existujúcich typov. Počítajúc do toho:

  • Lineárne.
  • Stĺpcový.
  • Kruhový.
  • s plochami.
  • Radiálne.
  • XY grafov.
  • Bublina.
  • Bod.
  • Polárne býky.
  • Pyramídy.
  • Rýchlomery.
  • Stĺpcovo-lineárne.

Zdroj je veľmi ľahko použiteľný. Vzhľad grafu (farba pozadia, mriežka, čiary, ukazovatele, tvar rohov, písma, priehľadnosť, špeciálne efekty atď.) je úplne definovaný používateľom. Dáta pre stavbu je možné zadať buď ručne, alebo importovať z tabuľky v súbore CSV uloženom v počítači. Hotový výsledok je k dispozícii na stiahnutie do počítača ako obrázok, súbor PDF, CSV alebo SVG, ako aj na uloženie online na hosting fotografií ImageShack.Us alebo na váš osobný účet Onlinecharts.ru. Prvú možnosť môžu využiť všetci, druhú len registrovaní.

Najprv sa pokúste nájsť rozsah funkcie:

Zvládli ste to? Porovnajme odpovede:

V poriadku? Výborne!

Teraz sa pokúsime nájsť rozsah funkcie:

Nájdené? Porovnaj:

Súhlasilo to? Výborne!

Opäť pracujme s grafmi, len teraz je to trochu náročnejšie – nájsť aj definičný obor funkcie aj rozsah funkcie.

Ako nájsť doménu aj rozsah funkcie (pokročilé)

Tu je to, čo sa stalo:

S grafikou si myslím, že si na to prišiel. Teraz sa pokúsme nájsť doménu funkcie podľa vzorcov (ak neviete, ako to urobiť, prečítajte si časť o):

Zvládli ste to? Kontrola odpovede:

  1. , pretože koreňový výraz musí byť väčší alebo rovný nule.
  2. , pretože nie je možné deliť nulou a radikálny výraz nemôže byť záporný.
  3. , keďže, respektíve pre všetkých.
  4. pretože nulou sa deliť nedá.

Stále však máme ešte jeden moment, ktorý nie je vyriešený...

Dovoľte mi zopakovať definíciu a zamerať sa na ňu:

Všimli ste si? Slovo „iba“ je veľmi, veľmi dôležitým prvkom našej definície. Pokúsim sa vám to vysvetliť na prstoch.

Povedzme, že máme funkciu danú priamkou. . Kedy túto hodnotu dosadíme do nášho „pravidla“ a získame ju. Jedna hodnota zodpovedá jednej hodnote. Môžeme dokonca vytvoriť tabuľku rôznych hodnôt a vykresliť danú funkciu, aby sme to overili.

„Pozri! - poviete, - "" sa stretne dvakrát!" Takže možno parabola nie je funkcia? Nie, je!

Skutočnosť, že „“ sa vyskytuje dvakrát, nie je ani zďaleka dôvodom na obviňovanie paraboly z nejednoznačnosti!

Faktom je, že pri výpočte sme dostali jednu hru. A keď počítame s, dostali sme jednu hru. Takže je to tak, parabola je funkcia. Pozri sa na tabuľku:

Mám to? Ak nie, tu je skutočný príklad pre vás, ďaleko od matematiky!

Povedzme, že máme skupinu žiadateľov, ktorí sa stretli pri predkladaní dokumentov, pričom každý z nich v rozhovore povedal, kde žije:

Súhlasíte, je celkom reálne, že v tom istom meste žije niekoľko chlapov, ale je nemožné, aby jeden človek žil vo viacerých mestách súčasne. Toto je ako keby logické znázornenie našej "paraboly" - Niekoľko rôznych x zodpovedá rovnakému y.

Teraz si predstavme príklad, kde závislosť nie je funkciou. Povedzme, že tí istí chlapci povedali, o aké špeciality sa uchádzali:

Tu máme úplne inú situáciu: jedna osoba sa môže ľahko uchádzať o jeden alebo niekoľko smerov. Teda jeden prvok sady sú vložené do korešpondencie viac prvkov súpravy. resp. nie je to funkcia.

Otestujme si svoje znalosti v praxi.

Určte z obrázkov, čo je funkcia a čo nie:

Mám to? A tu je odpovede:

  • Funkcia je - B,E.
  • Nie je to funkcia - A, B, D, D.

Pýtate sa prečo? Áno, tu je dôvod:

Vo všetkých obrázkoch okrem AT) a E) je ich niekoľko na jedného!

Som si istý, že teraz môžete jednoducho rozlíšiť funkciu od nefunkcie, povedať, čo je argument a čo je závislá premenná, a tiež určiť rozsah argumentu a rozsah funkcie. Prejdime k ďalšej časti – ako definovať funkciu?

Spôsoby nastavenia funkcie

Čo si myslíte, že slová znamenajú "nastaviť funkciu"? Presne tak, znamená to všetkým vysvetliť, o akú funkciu v tomto prípade ide. Navyše vysvetľujte tak, aby vám každý správne rozumel a grafy funkcií nakreslené ľuďmi podľa vášho vysvetlenia boli rovnaké.

Ako to môžem spraviť? Ako nastaviť funkciu? Najjednoduchší spôsob, ktorý už bol v tomto článku použitý viac ako raz - pomocou vzorca. Napíšeme vzorec a dosadením hodnoty do neho vypočítame hodnotu. A ako si pamätáte, vzorec je zákon, pravidlo, podľa ktorého je nám a inej osobe jasné, ako sa X zmení na Y.

Zvyčajne to robia presne takto - v úlohách vidíme hotové funkcie definované vzorcami, existujú však aj iné spôsoby, ako nastaviť funkciu, na ktorú každý zabudne, a preto je tu otázka „ako inak sa dá funkcia nastaviť?“ mätie. Poďme sa pozrieť na všetko v poriadku a začnime s analytickou metódou.

Analytický spôsob definovania funkcie

Analytická metóda je úlohou funkcie pomocou vzorca. Toto je najuniverzálnejší a najkomplexnejší a jednoznačný spôsob. Ak máte vzorec, viete o funkcii úplne všetko - môžete na nej vytvoriť tabuľku hodnôt, môžete vytvoriť graf, určiť, kde funkcia rastie a kde klesá, vo všeobecnosti ju preskúmajte plne.

Uvažujme o funkcii. Čo na tom záleží?

"Čo to znamená?" - pýtaš sa. Teraz to vysvetlím.

Pripomínam, že v zápise sa výraz v zátvorkách nazýva argument. A tento argument môže byť akýkoľvek výraz, nie nevyhnutne jednoduchý. Podľa toho, bez ohľadu na argument (výraz v zátvorkách), napíšeme ho namiesto toho do výrazu.

V našom príklade to bude vyzerať takto:

Zvážte ďalšiu úlohu súvisiacu s analytickou metódou špecifikácie funkcie, ktorú budete mať na skúške.

Nájdite hodnotu výrazu, at.

Som si istý, že ste sa najprv báli, keď ste videli takýto výraz, ale nie je v tom absolútne nič strašidelné!

Všetko je rovnaké ako v predchádzajúcom príklade: akýkoľvek argument (výraz v zátvorkách), napíšeme ho namiesto toho do výrazu. Napríklad pre funkciu.

Čo treba urobiť v našom príklade? Namiesto toho musíte napísať a namiesto -:

skrátiť výsledný výraz:

To je všetko!

Samostatná práca

Teraz sa pokúste sami nájsť význam nasledujúcich výrazov:

  1. , ak
  2. , ak

Zvládli ste to? Porovnajme naše odpovede: Sme zvyknutí, že funkcia má tvar

Aj v našich príkladoch takto definujeme funkciu, ale analyticky je možné definovať funkciu implicitne napr.

Skúste si vytvoriť túto funkciu sami.

Zvládli ste to?

Tu je návod, ako som to postavil.

S akou rovnicou sme skončili?

Správne! Lineárne, čo znamená, že graf bude priamka. Urobme tabuľku, aby sme určili, ktoré body patria do našej čiary:

To je to, o čom sme hovorili... Jeden zodpovedá viacerým.

Skúsme nakresliť, čo sa stalo:

Je to, čo máme, funkciou?

Presne tak, nie! prečo? Skúste na túto otázku odpovedať obrázkom. Čo si dostal?

"Pretože jedna hodnota zodpovedá viacerým hodnotám!"

Aký záver z toho môžeme vyvodiť?

Presne tak, funkcia nemôže byť vždy vyjadrená explicitne a to, čo je „prezlečené“ za funkciu, nie je vždy funkciou!

Tabuľkový spôsob definovania funkcie

Ako už názov napovedá, táto metóda je jednoduchý tanier. Áno áno. Ako ten, ktorý sme už vyrobili. Napríklad:

Tu ste si okamžite všimli vzor - Y je trikrát väčšie ako X. A teraz úloha „veľmi dobre premýšľať“: myslíte si, že funkcia zadaná vo forme tabuľky je ekvivalentná funkcii?

Nehovorme dlho, ale poďme kresliť!

Takže. Nakreslíme funkciu zadanú oboma spôsobmi:

Vidíš ten rozdiel? Nejde o označené body! Pozrieť sa na to bližšie:

Videli ste to teraz? Keď funkciu nastavíme tabuľkovým spôsobom, do grafu premietneme len tie body, ktoré máme v tabuľke a priamka (ako v našom prípade) prechádza len nimi. Keď definujeme funkciu analytickým spôsobom, môžeme vziať ľubovoľné body a naša funkcia nie je na ne obmedzená. Tu je taká funkcia. Pamätajte!

Grafický spôsob zostavenia funkcie

Nemenej pohodlný je aj grafický spôsob konštrukcie funkcie. Nakreslíme našu funkciu a ďalší záujemca môže nájsť to, čomu sa rovná y pri určitom x atď. Medzi najbežnejšie patria grafické a analytické metódy.

Tu si však musíte pamätať, o čom sme hovorili na úplnom začiatku - nie každá „krivka“ nakreslená v súradnicovom systéme je funkcia! Spomenul si? Pre každý prípad tu skopírujem definíciu funkcie:

Ľudia spravidla pomenujú presne tie tri spôsoby špecifikácie funkcie, ktoré sme analyzovali - analytický (pomocou vzorca), tabuľkový a grafický, pričom úplne zabúdame, že funkciu možno opísať slovne. Páči sa ti to? Áno, veľmi jednoduché!

Slovný popis funkcie

Ako opísať funkciu slovne? Vezmime si náš nedávny príklad – . Túto funkciu možno opísať ako "každá skutočná hodnota x zodpovedá jej trojitej hodnote." To je všetko. Nič zložité. Samozrejme, budete namietať - "existujú také zložité funkcie, že je jednoducho nemožné nastaviť verbálne!" Áno, nejaké sú, ale sú funkcie, ktoré je jednoduchšie opísať slovne, ako nastaviť pomocou vzorca. Napríklad: "každá prirodzená hodnota x zodpovedá rozdielu medzi číslicami, z ktorých pozostáva, pričom najväčšia číslica v číselnom zápise sa považuje za mínus." Teraz zvážte, ako je náš slovný popis funkcie implementovaný v praxi:

Najväčšia číslica v danom čísle -, respektíve - sa zníži, potom:

Hlavné typy funkcií

Teraz prejdime k najzaujímavejšiemu - zvážime hlavné typy funkcií, s ktorými ste pracovali / pracujete a budete pracovať v priebehu školskej a ústavnej matematiky, to znamená, že ich takpovediac spoznáme a daj im stručný popis. Prečítajte si viac o každej funkcii v príslušnej časti.

Lineárna funkcia

Funkcia tvaru, kde sú reálne čísla.

Graf tejto funkcie je priamka, takže konštrukcia lineárnej funkcie sa redukuje na nájdenie súradníc dvoch bodov.

Poloha priamky na rovine súradníc závisí od sklonu.

Rozsah funkcie (aka rozsah argumentov) - .

Rozsah hodnôt je .

kvadratickej funkcie

Funkcia formulára, kde

Grafom funkcie je parabola, keď vetvy paraboly smerujú dole, keď - hore.

Mnohé vlastnosti kvadratickej funkcie závisia od hodnoty diskriminantu. Diskriminant sa vypočíta podľa vzorca

Poloha paraboly v súradnicovej rovine vzhľadom na hodnotu a koeficient je znázornená na obrázku:

doména

Rozsah hodnôt závisí od extrému danej funkcie (vrchol paraboly) a koeficientu (smer vetiev paraboly)

Inverzná úmernosť

Funkcia daná vzorcom, kde

Číslo sa nazýva faktor inverznej úmernosti. V závislosti od hodnoty sú vetvy hyperboly v rôznych štvorcoch:

Doména - .

Rozsah hodnôt je .

SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

1. Funkcia je pravidlo, podľa ktorého je každému prvku množiny priradený jedinečný prvok množiny.

  • - ide o vzorec označujúci funkciu, teda závislosť jednej premennej od druhej;
  • - premenná alebo argument;
  • - závislá hodnota - mení sa pri zmene argumentu, teda podľa nejakého špecifického vzorca, ktorý odráža závislosť jednej hodnoty od druhej.

2. Platné hodnoty argumentov, alebo rozsah funkcie, je to, čo súvisí s možným, pod ktorým má funkcia zmysel.

3. Rozsah funkčných hodnôt- to je to, aké hodnoty to má, s platnými hodnotami.

4. Existujú 4 spôsoby nastavenia funkcie:

  • analytické (pomocou vzorcov);
  • tabuľkový;
  • grafický
  • slovný popis.

5. Hlavné typy funkcií:

  • : , kde, sú reálne čísla;
  • : , kde;
  • : , kde.

Funkčný graf je vizuálna reprezentácia správania sa nejakej funkcie v rovine súradníc. Grafy pomáhajú pochopiť rôzne aspekty funkcie, ktoré sa nedajú určiť zo samotnej funkcie. Môžete zostaviť grafy mnohých funkcií a každá z nich bude daná špecifickým vzorcom. Graf akejkoľvek funkcie je zostavený podľa určitého algoritmu (ak ste zabudli na presný postup vykresľovania grafu konkrétnej funkcie).

Kroky

Vykreslenie lineárnej funkcie

    Zistite, či je funkcia lineárna. Lineárna funkcia je daná vzorcom tvaru F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) alebo y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(napríklad ) a jeho graf je priamka. Vzorec teda obsahuje jednu premennú a jednu konštantu (konštantu) bez akýchkoľvek exponentov, koreňových znamienok a podobne. Vzhľadom na funkciu podobného tvaru je vykreslenie takejto funkcie celkom jednoduché. Tu sú ďalšie príklady lineárnych funkcií:

    Na označenie bodu na osi y použite konštantu. Konštanta (b) je súradnicou „y“ priesečníka grafu s osou Y. To znamená, že ide o bod, ktorého súradnica „x“ je 0. Ak sa teda do vzorca dosadí x = 0 , potom y = b (konštanta). V našom príklade y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konštanta je 5, to znamená, že priesečník s osou Y má súradnice (0,5). Nakreslite tento bod na rovinu súradníc.

    Nájdite sklon čiary. Rovná sa násobiteľu premennej. V našom príklade y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s premennou "x" je faktor 2; sklon je teda 2. Sklon určuje uhol sklonu priamky k osi X, to znamená, že čím väčší je sklon, tým rýchlejšie sa funkcia zvyšuje alebo znižuje.

    Napíšte sklon ako zlomok. Sklon sa rovná dotyčnici uhla sklonu, to znamená pomeru vertikálnej vzdialenosti (medzi dvoma bodmi na priamke) k horizontálnej vzdialenosti (medzi rovnakými bodmi). V našom príklade je sklon 2, takže môžeme povedať, že vertikálna vzdialenosť je 2 a horizontálna vzdialenosť je 1. Napíšte to zlomkom: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

    • Ak je sklon záporný, funkcia klesá.

  1. Z bodu, kde sa čiara pretína s osou Y, nakreslite druhý bod pomocou zvislých a vodorovných vzdialeností. Lineárnu funkciu je možné vykresliť pomocou dvoch bodov. V našom príklade má priesečník s osou Y súradnice (0,5); z tohto bodu sa posuňte o 2 polia nahor a potom o 1 pole doprava. Označte bod; bude mať súradnice (1,7). Teraz môžete nakresliť priamku.

    Pomocou pravítka nakreslite priamku cez dva body. Aby ste sa vyhli chybám, nájdite tretí bod, no vo väčšine prípadov je možné graf zostaviť pomocou dvoch bodov. Takto ste nakreslili lineárnu funkciu.

    Kreslenie bodov v súradnicovej rovine

    1. Definujte funkciu. Funkciu označujeme ako f(x). Všetky možné hodnoty premennej "y" sa nazývajú rozsah funkcie a všetky možné hodnoty premennej "x" sa nazývajú doména funkcie. Uvažujme napríklad funkciu y = x+2, konkrétne f(x) = x+2.

      Nakreslite dve pretínajúce sa kolmé čiary. Vodorovná čiara je os X. Zvislá čiara je os Y.

      Označte súradnicové osi. Rozdeľte každú os na rovnaké segmenty a očíslujte ich. Priesečník osí je 0. Pre os X: kladné čísla sú vynesené vpravo (od 0) a záporné čísla vľavo. Pre os Y: kladné čísla sú vynesené hore (od 0) a záporné čísla dole.

      Nájdite hodnoty "y" z hodnôt "x". V našom príklade f(x) = x+2. Nahradením určitých hodnôt "x" do tohto vzorca vypočítate zodpovedajúce hodnoty "y". Ak je zadaná komplexná funkcia, zjednodušte ju izoláciou "y" na jednej strane rovnice.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

    2. Nakreslite body v rovine súradníc. Pre každý pár súradníc vykonajte nasledovné: nájdite zodpovedajúcu hodnotu na osi x a nakreslite zvislú čiaru (bodkovaná čiara); nájdite zodpovedajúcu hodnotu na osi y a nakreslite vodorovnú čiaru (bodkovaná čiara). Označte priesečník dvoch bodkovaných čiar; tak ste nakreslili bod grafu.

      Vymažte bodkované čiary. Urobte to po vynesení všetkých bodov grafu do roviny súradníc. Poznámka: graf funkcie f(x) = x je priamka prechádzajúca stredom súradníc [bod so súradnicami (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je priamka rovnobežná s priamkou f(x) = x, ale posunutá o dve jednotky nahor a teda prechádzajúca bodom so súradnicami (0,2) (pretože konštanta je 2) .

    Vykreslenie komplexnej funkcie

      Nájdite nuly funkcie. Nuly funkcie sú hodnoty premennej „x“, pri ktorej y = 0, to znamená, že ide o priesečníky grafu s osou x. Majte na pamäti, že nie všetky funkcie majú nuly, ale toto je prvý krok v procese vykresľovania grafu akejkoľvek funkcie. Ak chcete nájsť nuly funkcie, nastavte ju na nulu. Napríklad:

      Nájdite a označte horizontálne asymptoty. Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf funkcie približuje, ale nikdy ju nepretína (to znamená, že funkcia nie je v tejto oblasti definovaná, napríklad pri delení 0). Označte asymptotu bodkovanou čiarou. Ak je premenná "x" v menovateli zlomku (napr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nastavte menovateľa na nulu a nájdite "x". V získaných hodnotách premennej "x" funkcia nie je definovaná (v našom príklade nakreslite prerušované čiary cez x = 2 a x = -2), pretože nemôžete deliť 0. Ale asymptoty existujú nielen v prípadoch, keď funkcia obsahuje zlomkový výraz. Preto sa odporúča používať zdravý rozum:

Vyberieme si pravouhlý súradnicový systém v rovine a vykreslíme hodnoty argumentu na osi x. X a na osi y - hodnoty funkcie y = f(x).

Graf funkcií y = f(x) volá sa množina všetkých bodov, pre ktoré úsečky patria do oblasti funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Inými slovami, graf funkcie y \u003d f (x) je množina všetkých bodov v rovine, súradnice X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x).



Na obr. 45 a 46 sú grafy funkcií y = 2x + 1 a y \u003d x 2 – 2x.

Prísne vzaté, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (ktorej presná matematická definícia bola uvedená vyššie) a nakreslenou krivkou, ktorá vždy poskytuje len viac-menej presný náčrt grafu (a aj vtedy spravidla nie celý graf, ale iba jeho časť nachádzajúcu sa v koncových častiach roviny). V nasledujúcom texte sa však zvyčajne budeme odvolávať na „graf“ a nie na „náčrt grafu“.

Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do rozsahu funkcie y = f(x) a potom nájsť číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a) by tak mal urobiť. Treba cez bodku s osou x x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou y; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).



Napríklad pre funkciu f(x) = x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.

Funkčný graf vizuálne znázorňuje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z úvahy na obr. 46 je zrejmé, že funkcia y \u003d x 2 – 2x nadobúda kladné hodnoty, keď X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 – 2x prijíma na x = 1.

Na vykreslenie funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X,pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov je to nemožné, pretože takýchto bodov je nekonečne veľa. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchšia je metóda viacbodového vykresľovania. Spočíva v tom, že argument X zadajte konečný počet hodnôt - povedzme x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje vybrané hodnoty funkcie.

Tabuľka vyzerá takto:



Po zostavení takejto tabuľky môžeme na grafe funkcie načrtnúť niekoľko bodov y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).

Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti správanie grafu medzi označenými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi zachytenými krajnými bodmi zostáva neznáme.

Príklad 1. Na vykreslenie funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:

Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.



Na základe umiestnenia týchto bodov usúdil, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 znázornená bodkovanou čiarou). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.

Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu

.

Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú práve opísané vyššie uvedenou tabuľkou. Graf tejto funkcie však vôbec nie je rovný (je znázornený na obr. 49). Ďalším príkladom je funkcia y = x + l + sinx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.

Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda viacbodového vykresľovania nespoľahlivá. Preto na vykreslenie danej funkcie spravidla postupujte nasledovne. Najprv sa študujú vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej je možné zostrojiť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od nastavených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.

Niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií používaných na nájdenie náčrtu grafu zvážime neskôr a teraz rozoberieme niektoré bežne používané metódy vykresľovania grafov.


Graf funkcie y = |f(x)|.

Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) - danú funkciu. Pripomeňme si, ako sa to robí. Definíciou absolútnej hodnoty čísla možno písať

To znamená, že graf funkcie y=|f(x)| možno získať z grafu, funkcií y = f(x) takto: všetky body grafu funkcie y = f(x), ktorého ordináty nie sú záporné, by mali zostať nezmenené; ďalej, namiesto bodov grafu funkcie y = f(x), ktoré majú záporné súradnice, by sa mali zostrojiť zodpovedajúce body grafu funkcie y = -f(x)(t.j. časť funkčného grafu
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).



Príklad 2 Nakreslite funkciu y = |x|.

Zoberieme graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu kedy X< 0 (ležiace pod osou X) sa symetricky odráža okolo osi X. Výsledkom je, že dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).

Príklad 3. Nakreslite funkciu y = |x 2 - 2x|.


Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. Na intervale (0; 2 ) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu odráža symetricky okolo osi x. Obrázok 51 zobrazuje graf funkcie y \u003d |x 2 -2x | na základe grafu funkcie y = x 2 - 2x

Graf funkcie y = f(x) + g(x)

Zvážte problém vykreslenia funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené grafy funkcií y = f(x) a y = g(x).

Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(х)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto definičná oblasť je priesečníkom definičných oblastí, funkcií f(x) ) a g(x).

Nechajte body (x 0, y 1) a (x 0, y 2) patria medzi funkčné grafy y = f(x) a y = g(x), t.j 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. a ľubovoľný bod grafu funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). a y = g(x) nahradením každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy y 1 \u003d g (x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body. X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x).

Tento spôsob vykresľovania funkčného grafu y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie grafov funkcií y = f(x) a y = g(x)

Príklad 4. Na obrázku je metódou pridávania grafov zostrojený graf funkcie
y = x + sinx.

Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx predpokladali sme to f(x) = x, a g(x) = sinx. Na vytvorenie funkčného grafu vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx spočítame vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.


Konštrukcia grafov funkcií obsahujúcich moduly zvyčajne spôsobuje školákom značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko vykresliť aj tie zdanlivo zložité funkcie. Pozrime sa, aké sú tieto algoritmy.

1. Vykreslenie funkcie y = |f(x)|

Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené úplne v hornej polrovine.

Vykreslenie funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.

1) Starostlivo a starostlivo zostrojte graf funkcie y = f(x).

2) Ponechajte nezmenené všetky body grafu, ktoré sú nad alebo na osi 0x.

3) Časť grafu, ktorá leží pod osou 0x, zobrazte symetricky okolo osi 0x.

Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 - 4x + 3|

1) Zostavíme graf funkcie y \u003d x 2 - 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.

x 2 - 4 x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Preto parabola pretína os 0y v bode (0, 3).

Súradnice vrcholov paraboly:

x v \u003d - (-4/2) \u003d 2, y v \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.

Nakreslite parabolu pomocou prijatých údajov (obr. 1)

2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.

3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, znázornené bodkovanou čiarou).

2. Vykreslenie funkcie y = f(|x|)

Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.

Vykreslenie funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.

1) Nakreslite funkciu y = f(x).

2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v odseku (2) symetricky k osi 0y.

4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v odsekoch (2) a (3).

Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3

Pretože x 2 = |x| 2 , potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná takto: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. A teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.

1) Starostlivo a starostlivo zostavujeme graf funkcie y \u003d x 2 - 4 x + 3 (pozri tiež ryža. jeden).

2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

3) Zobrazte pravú stranu grafu symetricky k osi 0y.

(obr. 3).

Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|

Aplikujeme schému uvedenú vyššie.

1) Nakreslíme funkciu y = log 2 x (obr. 4).

3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|

Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda umiestnené úplne v hornej polrovine.

Ak chcete vykresliť funkciu y = |f(|x|)|, musíte:

1) Zostrojte úhľadný graf funkcie y = f(|x|).

2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.

3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x by mala byť zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.

4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v odsekoch (2) a (3).

Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. Preto namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - jeden

môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sú rovnaké.

Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.

a) Nakreslíme funkciu y \u003d -x 2 + 2x - 1 (obr. 6).

b) Necháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.

c) Zobrazte výslednú časť grafu symetricky k osi 0y.

d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).

2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.

3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.

4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).

Príklad 5. Nakreslite funkciu y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.

a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).

Všimnite si, že táto funkcia je lineárne zlomková a jej graf je hyperbola. Ak chcete vytvoriť krivku, musíte najprv nájsť asymptoty grafu. Horizontálne - y \u003d 2/1 (pomer koeficientov v x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne - x \u003d -3.

2) Časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x, zostane nezmenená.

3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.

4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (Obr. 11).

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.