Graph ng y 10x function. Paano mag-graph ng isang function. Pag-plot ng Linear Function sa Excel

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng mga mag-aaral at mga mag-aaral ay alam at mahilig sa algebra, ngunit lahat ay kailangang maghanda ng takdang-aralin, lutasin ang mga pagsusulit at kumuha ng mga pagsusulit. Lalo na mahirap para sa marami na makahanap ng mga gawain para sa pag-plot ng mga function graph: kung sa isang lugar na hindi mo naiintindihan ang isang bagay, huwag tapusin ito, makaligtaan ito, ang mga pagkakamali ay hindi maiiwasan. Ngunit sino ang gustong makakuha ng masamang grado?

Gusto mo bang sumali sa cohort ng mga tailers at losers? Upang gawin ito, mayroon kang 2 mga paraan: umupo para sa mga aklat-aralin at punan ang mga puwang sa kaalaman, o gumamit ng isang virtual na katulong - isang serbisyo para sa awtomatikong pag-plot ng mga function graph ayon sa tinukoy na mga kondisyon. May desisyon man o wala. Ngayon ay ipakikilala namin sa iyo ang ilan sa kanila.

Ang pinakamagandang bagay tungkol sa Desmos.com ay isang lubos na napapasadyang interface, interaktibidad, ang kakayahang ikalat ang mga resulta sa mga talahanayan at iimbak ang iyong trabaho sa database ng mapagkukunan nang libre nang walang limitasyon sa oras. At ang kawalan ay ang serbisyo ay hindi ganap na isinalin sa Russian.

Grafikus.ru

Ang Grafikus.ru ay isa pang kapansin-pansing Russian-language charting calculator. Bukod dito, itinatayo niya ang mga ito hindi lamang sa dalawang-dimensional, kundi pati na rin sa tatlong-dimensional na espasyo.

Narito ang isang hindi kumpletong listahan ng mga gawain na matagumpay na nakayanan ng serbisyong ito:

• Pagguhit ng mga 2D na graph ng mga simpleng function: mga linya, parabola, hyperbola, trigonometric, logarithmic, atbp.
• Pagguhit ng 2D-graph ng mga parametric function: mga bilog, spiral, Lissajous figure at iba pa.
• Pagguhit ng mga 2D na graph sa mga polar coordinates.
• Konstruksyon ng mga 3D na ibabaw ng mga simpleng function.
• Konstruksyon ng mga 3D na ibabaw ng mga function ng parametric.

Ang natapos na resulta ay bubukas sa isang hiwalay na window. Ang gumagamit ay may mga pagpipilian upang i-download, i-print at kopyahin ang link dito. Para sa huli, kakailanganin mong mag-log in sa serbisyo sa pamamagitan ng mga pindutan ng mga social network.

Sinusuportahan ng Grafikus.ru coordinate plane ang pagbabago ng mga hangganan ng mga axes, ang kanilang mga label, ang grid spacing, pati na rin ang lapad at taas ng mismong eroplano at ang laki ng font.

Ang pinakamalaking lakas ng Grafikus.ru ay ang kakayahang lumikha ng mga 3D na graph. Kung hindi man, hindi ito gumagana nang mas masahol pa at hindi mas mahusay kaysa sa mga mapagkukunan ng analog.

Onlinecharts.ru

Ang Onlinecharts.ru online assistant ay hindi gumagawa ng mga chart, ngunit mga chart ng halos lahat ng umiiral na mga uri. Kasama ang:

• Linear.
• Kolumnar.
• Pabilog.
• may mga lugar.
• Radial.
• XY chart.
• Bubble.
• Punto.
• Mga Polar Bulls.
• Mga piramide.
• Mga speedometer.
• Column-linear.

Ang mapagkukunan ay napakadaling gamitin. Ang hitsura ng chart (kulay ng background, grid, mga linya, mga pointer, hugis ng sulok, mga font, transparency, mga espesyal na effect, atbp.) ay ganap na tinukoy ng gumagamit. Ang data para sa pagbuo ay maaaring ipasok nang manu-mano o i-import mula sa isang talahanayan sa isang CSV file na nakaimbak sa isang computer. Ang natapos na resulta ay magagamit para sa pag-download sa isang PC bilang isang imahe, PDF, CSV o SVG file, pati na rin para sa pag-save online sa ImageShack.Us photo hosting o sa iyong Onlinecharts.ru personal na account. Ang unang opsyon ay maaaring gamitin ng lahat, ang pangalawa - ang mga nakarehistro lamang.

Una, subukang hanapin ang saklaw ng pag-andar:

Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga sagot:

Lahat tama? Magaling!

Ngayon subukan nating hanapin ang hanay ng function:

Natagpuan? Ihambing:

Pumayag ba ito? Magaling!

Gawin nating muli ang mga graph, ngayon lang ay medyo mas mahirap - upang mahanap ang parehong domain ng function at ang saklaw ng function.

Paano Hanapin ang Parehong Domain at Saklaw ng isang Function (Advanced)

Narito ang nangyari:

Sa mga graphics, sa palagay ko naisip mo ito. Ngayon subukan nating hanapin ang domain ng function alinsunod sa mga formula (kung hindi mo alam kung paano gawin ito, basahin ang seksyon tungkol sa):

Inayos mo ba? Sinusuri mga sagot:

1. , dahil ang root expression ay dapat na mas malaki sa o katumbas ng zero.
2. , dahil imposibleng hatiin sa zero at ang radikal na expression ay hindi maaaring negatibo.
3. , dahil, ayon sa pagkakabanggit, para sa lahat.
4. dahil hindi mo ma-divide sa zero.

Gayunpaman, mayroon pa tayong isa pang sandali na hindi naayos ...

Hayaan akong ulitin ang kahulugan at tumuon dito:

Napansin? Ang salitang "lamang" ay isang napaka, napakahalagang elemento ng aming kahulugan. Susubukan kong ipaliwanag sa iyo sa mga daliri.

Sabihin nating mayroon tayong function na ibinigay ng isang tuwid na linya. . Kailan, pinapalitan namin ang halagang ito sa aming "panuntunan" at makuha iyon. Ang isang halaga ay tumutugma sa isang halaga. Maaari din tayong gumawa ng isang talahanayan ng iba't ibang mga halaga at mag-plot ng isang naibigay na function upang i-verify ito.

"Tingnan mo! - sabi mo, - "" nagkikita ng dalawang beses!" Kaya marahil ang parabola ay hindi isang function? Hindi, ito ay!

Ang katotohanan na ang "" ay nangyari nang dalawang beses ay malayo sa isang dahilan upang akusahan ang parabola ng kalabuan!

Ang katotohanan ay, kapag nagkalkula para sa, nakakuha kami ng isang laro. At kapag nagkalkula gamit, nakakuha kami ng isang laro. Kaya tama, ang parabola ay isang function. Tingnan ang tsart:

Nakuha ko? Kung hindi, narito ang isang totoong buhay na halimbawa para sa iyo, malayo sa matematika!

Sabihin nating mayroon kaming grupo ng mga aplikante na nagkita noong nagsusumite ng mga dokumento, na ang bawat isa ay nagsabi sa isang pag-uusap kung saan siya nakatira:

Sumang-ayon, medyo makatotohanan na maraming mga lalaki ang nakatira sa parehong lungsod, ngunit imposible para sa isang tao na manirahan sa ilang mga lungsod sa parehong oras. Ito ay, kumbaga, isang lohikal na representasyon ng ating "parabola" - Maraming magkakaibang x ang tumutugma sa parehong y.

Ngayon ay gumawa tayo ng isang halimbawa kung saan ang dependency ay hindi isang function. Sabihin nating sinabi ng mga lalaking ito kung anong mga specialty ang kanilang inaplayan:

Narito mayroon kaming ganap na naiibang sitwasyon: ang isang tao ay madaling mag-aplay para sa isa o ilang mga direksyon. Yan ay isang elemento ang mga set ay inilalagay sa sulat maraming elemento set. Kaugnay nito, hindi ito isang function.

Subukan natin ang iyong kaalaman sa pagsasanay.

Tukuyin mula sa mga larawan kung ano ang isang function at kung ano ang hindi:

Nakuha ko? At narito mga sagot:

• Ang function ay - B, E.
• Hindi isang function - A, B, D, D.

Tinatanong mo kung bakit? Oo, narito kung bakit:

Sa lahat ng figure maliban sa AT) at E) mayroong ilang para sa isa!

Sigurado ako na ngayon ay madali mong makilala ang isang function mula sa isang non-function, sabihin kung ano ang isang argumento at kung ano ang isang dependent variable, at matukoy din ang saklaw ng argumento at ang saklaw ng function. Lumipat tayo sa susunod na seksyon - paano tukuyin ang isang function?

Mga paraan upang magtakda ng isang function

Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng mga salita "itakda ang function"? Iyan ay tama, nangangahulugan ito ng pagpapaliwanag sa lahat kung anong function ang pinag-uusapan natin sa kasong ito. Bukod dito, ipaliwanag sa paraang naiintindihan ka ng lahat nang tama at ang mga graph ng mga function na iginuhit ng mga tao ayon sa iyong paliwanag ay pareho.

Paano ko magagawa iyon? Paano magtakda ng isang function? Ang pinakamadaling paraan, na ginamit nang higit sa isang beses sa artikulong ito - gamit ang isang formula. Sumulat kami ng isang formula, at sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang halaga dito, kinakalkula namin ang halaga. At gaya ng naaalala mo, ang isang pormula ay isang batas, isang tuntunin kung saan nagiging malinaw sa atin at sa ibang tao kung paano nagiging Y ang isang X.

Karaniwan, ito mismo ang ginagawa nila - sa mga gawain nakikita natin ang mga yari na function na tinukoy ng mga formula, gayunpaman, may iba pang mga paraan upang magtakda ng isang function na nakalimutan ng lahat, at samakatuwid ang tanong na "paano ka pa makakapagtakda ng isang function?" nakakalito. Tingnan natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod, at magsimula sa analytical na pamamaraan.

Analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function

Ang analytical method ay ang gawain ng isang function gamit ang isang formula. Ito ang pinaka-unibersal at komprehensibo at hindi malabo na paraan. Kung mayroon kang isang formula, alam mo na ang lahat tungkol sa function - maaari kang gumawa ng isang talahanayan ng mga halaga dito, maaari kang bumuo ng isang graph, matukoy kung saan tumataas ang function at kung saan ito bumababa, sa pangkalahatan, galugarin ito. nang buo.

Isaalang-alang natin ang isang function. Ano ang mahalaga?

"Ano ang ibig sabihin nito?" - tanong mo. magpapaliwanag ako ngayon.

Ipaalala ko sa iyo na sa notasyon, ang expression sa mga bracket ay tinatawag na argumento. At ang argumentong ito ay maaaring maging anumang pagpapahayag, hindi kinakailangang simple. Alinsunod dito, anuman ang argumento (expression sa mga bracket), isusulat namin ito sa halip sa expression.

Sa aming halimbawa, magiging ganito ang hitsura:

Isaalang-alang ang isa pang gawain na nauugnay sa analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function na mayroon ka sa pagsusulit.

Hanapin ang halaga ng expression, sa.

Sigurado ako na noong una, natakot ka kapag nakakita ka ng ganoong ekspresyon, ngunit talagang walang nakakatakot dito!

Ang lahat ay pareho sa nakaraang halimbawa: anuman ang argumento (expression sa mga bracket), isusulat namin ito sa halip sa expression. Halimbawa, para sa isang function.

Ano ang dapat gawin sa ating halimbawa? Sa halip, kailangan mong magsulat, at sa halip na -:

paikliin ang resultang expression:

Iyon lang!

Pansariling gawain

Ngayon subukang hanapin ang kahulugan ng mga sumusunod na expression sa iyong sarili:

1. , kung
2. , kung

Inayos mo ba? Ihambing natin ang ating mga sagot: Nasanay tayo sa katotohanan na ang function ay may anyo

Kahit na sa aming mga halimbawa, tinukoy namin ang function sa paraang ito, ngunit sa analytically posible na tukuyin ang function nang walang laman, halimbawa.

Subukang buuin ang function na ito sa iyong sarili.

Inayos mo ba?

Narito kung paano ko ito binuo.

Anong equation ang natapos natin?

Tama! Linear, na nangangahulugan na ang graph ay magiging isang tuwid na linya. Gumawa tayo ng talahanayan upang matukoy kung aling mga punto ang kabilang sa ating linya:

Iyon lang ang pinag-uusapan natin ... Ang isa ay katumbas ng ilan.

Subukan nating iguhit ang nangyari:

May function ba ang nakuha natin?

Tama, hindi! Bakit? Subukang sagutin ang tanong na ito gamit ang isang larawan. Ano ang nakuha mo?

"Dahil ang isang halaga ay tumutugma sa ilang mga halaga!"

Anong konklusyon ang maaari nating makuha mula dito?

Iyan ay tama, ang isang function ay hindi palaging maaaring ipahayag nang tahasan, at kung ano ang "disguised" bilang isang function ay hindi palaging isang function!

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang pamamaraang ito ay isang simpleng plato. Oo Oo. Tulad ng ginawa na natin. Halimbawa:

Dito mo agad napansin ang isang pattern - ang Y ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa X. At ngayon ang gawaing "mag-isip nang mabuti": sa palagay mo ba ang isang function na ibinigay sa anyo ng isang talahanayan ay katumbas ng isang function?

Huwag na tayong mag-usap ng matagal, pero magdrawing tayo!

Kaya. Gumuhit kami ng isang function na ibinigay sa parehong paraan:

Nakikita mo ba ang pagkakaiba? Hindi ito tungkol sa mga markadong puntos! Tingnang mabuti:

Nakita mo na ba ito ngayon? Kapag itinakda namin ang function sa isang tabular na paraan, sinasalamin namin sa graph ang mga punto lamang na mayroon kami sa talahanayan at ang linya (tulad ng sa aming kaso) ay dumadaan lamang sa kanila. Kapag tinukoy namin ang isang function sa isang analytical na paraan, maaari kaming kumuha ng anumang mga punto, at ang aming function ay hindi limitado sa kanila. Narito ang gayong tampok. Tandaan!

Graphical na paraan upang bumuo ng isang function

Ang graphical na paraan ng pagbuo ng isang function ay hindi gaanong maginhawa. Iginuhit namin ang aming function, at mahahanap ng isa pang interesadong tao kung ano ang katumbas ng y sa isang tiyak na x, at iba pa. Ang mga graphical at analytical na pamamaraan ay kabilang sa mga pinakakaraniwan.

Gayunpaman, dito kailangan mong tandaan kung ano ang napag-usapan natin sa pinakadulo simula - hindi lahat ng "squiggle" na iginuhit sa coordinate system ay isang function! Naalala? Kung sakali, kokopyahin ko dito ang kahulugan ng kung ano ang isang function:

Bilang isang patakaran, karaniwang pinangalanan ng mga tao ang tatlong paraan ng pagtukoy ng isang function na nasuri namin - analytical (gamit ang isang formula), tabular at graphic, ganap na nakakalimutan na ang isang function ay maaaring ilarawan sa salita. Ganito? Oo, napakadali!

Verbal na paglalarawan ng function

Paano ilarawan ang function sa salita? Kunin natin ang ating kamakailang halimbawa - . Ang function na ito ay maaaring ilarawan bilang "bawat tunay na halaga ng x ay tumutugma sa triple na halaga nito." Iyon lang. Walang kumplikado. Siyempre, tututol ka - "mayroong mga kumplikadong pag-andar na imposibleng itakda nang pasalita!" Oo, may ilan, ngunit may mga function na mas madaling ilarawan sa salita kaysa itakda gamit ang isang formula. Halimbawa: "ang bawat natural na halaga ng x ay tumutugma sa pagkakaiba sa pagitan ng mga digit kung saan ito binubuo, habang ang pinakamalaking digit na nilalaman sa entry ng numero ay kinuha bilang minuend." Ngayon isaalang-alang kung paano ipinatupad ang aming pandiwang paglalarawan ng function sa pagsasanay:

Ang pinakamalaking digit sa isang naibigay na numero -, ayon sa pagkakabanggit, - ay nabawasan, pagkatapos ay:

Mga pangunahing uri ng pag-andar

Ngayon ay lumipat tayo sa pinaka-kawili-wili - isasaalang-alang namin ang mga pangunahing uri ng mga pag-andar kung saan ka nagtrabaho / nagtrabaho at gagana sa kurso ng paaralan at institute ng matematika, iyon ay, makikilala natin sila, wika nga, at bigyan sila ng maikling paglalarawan. Magbasa nang higit pa tungkol sa bawat function sa kaukulang seksyon.

Linear function

Isang function ng form, kung saan, ay mga tunay na numero.

Ang graph ng function na ito ay isang tuwid na linya, kaya ang pagbuo ng isang linear function ay nabawasan sa paghahanap ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Ang posisyon ng tuwid na linya sa coordinate plane ay depende sa slope.

Saklaw ng pag-andar (aka hanay ng argumento) - .

Ang hanay ng mga halaga ay .

quadratic function

Function ng form, kung saan

Ang graph ng function ay isang parabola, kapag ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa, kapag - pataas.

Maraming katangian ng isang quadratic function ang nakadepende sa halaga ng discriminant. Ang discriminant ay kinakalkula ng formula

Ang posisyon ng parabola sa coordinate plane na nauugnay sa halaga at koepisyent ay ipinapakita sa figure:

Domain

Ang saklaw ng mga halaga ay nakasalalay sa sukdulan ng ibinigay na function (ang vertex ng parabola) at ang koepisyent (ang direksyon ng mga sanga ng parabola)

Inverse proportionality

Ang function na ibinigay ng formula, kung saan

Ang numero ay tinatawag na inverse proportionality factor. Depende sa kung anong halaga, ang mga sanga ng hyperbola ay nasa iba't ibang mga parisukat:

Domain - .

Ang hanay ng mga halaga ay .

BUOD AT BATAYANG FORMULA

1. Ang function ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat elemento ng isang set ay itinalaga ng isang natatanging elemento ng set.

• - ito ay isang formula na nagsasaad ng isang function, iyon ay, ang pagtitiwala ng isang variable sa isa pa;
• - variable, o argumento;
• - dependent value - nagbabago kapag nagbago ang argumento, ibig sabihin, ayon sa ilang partikular na formula na sumasalamin sa dependence ng isang value sa isa pa.

2. Mga wastong halaga ng argumento, o ang saklaw ng isang function, ay kung ano ang nauugnay sa posibleng sa ilalim kung saan ang function ay may katuturan.

3. Saklaw ng mga halaga ng function- ito ang mga halaga na kinakailangan, na may wastong mga halaga.

4. Mayroong 4 na paraan para itakda ang function:

• analytical (gamit ang mga formula);
• tabular;
• graphic
• pandiwang paglalarawan.

5. Pangunahing uri ng mga function:

• : , kung saan, ang mga tunay na numero;
• : , saan;
• : , saan.

Ang function graph ay isang visual na representasyon ng pag-uugali ng ilang function sa coordinate plane. Nakakatulong ang mga plot na maunawaan ang iba't ibang aspeto ng isang function na hindi matukoy mula sa mismong function. Maaari kang bumuo ng mga graph ng maraming mga function, at bawat isa sa kanila ay bibigyan ng isang partikular na formula. Ang graph ng anumang function ay binuo ayon sa isang tiyak na algorithm (kung nakalimutan mo ang eksaktong proseso ng pag-plot ng isang graph ng isang partikular na function).

Mga hakbang

Pag-plot ng Linear Function

Tukuyin kung linear ang function. Ang isang linear na function ay ibinibigay ng isang formula ng form F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) o y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(halimbawa, ), at ang graph nito ay isang tuwid na linya. Kaya, ang formula ay kinabibilangan ng isang variable at isang pare-pareho (constant) nang walang anumang exponents, root sign, at mga katulad nito. Dahil sa isang function ng isang katulad na form, ang pag-plot ng naturang function ay medyo simple. Narito ang iba pang mga halimbawa ng mga linear na function:

Gumamit ng isang pare-pareho upang markahan ang isang punto sa y-axis. Ang pare-pareho (b) ay ang "y" coordinate ng intersection point ng graph na may Y-axis. Iyon ay, ito ay isang punto na ang "x" coordinate ay 0. Kaya, kung ang x = 0 ay pinapalitan sa formula , pagkatapos ay y = b (constant). Sa ating halimbawa y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) ang pare-pareho ay 5, iyon ay, ang punto ng intersection sa Y-axis ay may mga coordinate (0,5). I-plot ang puntong ito sa coordinate plane.

Hanapin ang slope ng linya. Ito ay katumbas ng multiplier ng variable. Sa ating halimbawa y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) na may variable na "x" ay isang kadahilanan ng 2; kaya, ang slope ay 2. Tinutukoy ng slope ang anggulo ng inclination ng tuwid na linya sa X-axis, iyon ay, mas malaki ang slope, mas mabilis ang pagtaas o pagbaba ng function.

Isulat ang slope bilang isang fraction. Ang slope ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig, iyon ay, ang ratio ng vertical na distansya (sa pagitan ng dalawang puntos sa isang tuwid na linya) sa pahalang na distansya (sa pagitan ng parehong mga punto). Sa aming halimbawa, ang slope ay 2, kaya masasabi nating ang vertical na distansya ay 2 at ang pahalang na distansya ay 1. Isulat ito bilang isang fraction: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Kung negatibo ang slope, bumababa ang function.

1. Mula sa punto kung saan nag-intersect ang linya sa Y axis, gumuhit ng pangalawang punto gamit ang patayo at pahalang na mga distansya. Ang isang linear na function ay maaaring i-plot gamit ang dalawang puntos. Sa aming halimbawa, ang punto ng intersection sa Y-axis ay may mga coordinate (0.5); mula sa puntong ito ilipat ang 2 puwang pataas at pagkatapos ay 1 puwang sa kanan. Markahan ang isang punto; magkakaroon ito ng mga coordinate (1,7). Ngayon ay maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya.

   Gumamit ng isang ruler upang gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng dalawang puntos. Upang maiwasan ang mga pagkakamali, hanapin ang pangatlong punto, ngunit sa karamihan ng mga kaso ay maaaring buuin ang graph gamit ang dalawang puntos. Kaya, naka-plot ka ng linear function.

   Pagguhit ng mga punto sa coordinate plane

   1. Tukuyin ang isang function. Ang function ay tinutukoy bilang f(x). Ang lahat ng posibleng halaga ng variable na "y" ay tinatawag na saklaw ng function, at ang lahat ng posibleng halaga ng variable na "x" ay tinatawag na domain ng function. Halimbawa, isaalang-alang ang function na y = x+2, ibig sabihin f(x) = x+2.

      Gumuhit ng dalawang intersecting na patayong linya. Ang pahalang na linya ay ang X-axis. Ang patayong linya ay ang Y-axis.

      Lagyan ng label ang coordinate axes. Hatiin ang bawat axis sa pantay na mga segment at bilangin ang mga ito. Ang intersection point ng mga axes ay 0. Para sa X axis: ang mga positibong numero ay naka-plot sa kanan (mula sa 0), at mga negatibong numero sa kaliwa. Para sa Y-axis: ang mga positibong numero ay naka-plot sa itaas (mula sa 0), at mga negatibong numero sa ibaba.

      Hanapin ang mga halaga ng "y" mula sa mga halaga ng "x". Sa aming halimbawa f(x) = x+2. Palitan ang ilang mga halaga ng "x" sa formula na ito upang kalkulahin ang kaukulang mga halaga ng "y". Kung bibigyan ng kumplikadong function, pasimplehin ito sa pamamagitan ng paghihiwalay ng "y" sa isang bahagi ng equation.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Gumuhit ng mga puntos sa coordinate plane. Para sa bawat pares ng mga coordinate, gawin ang sumusunod: hanapin ang katumbas na halaga sa x-axis at gumuhit ng patayong linya (dotted line); hanapin ang katumbas na halaga sa y-axis at gumuhit ng pahalang na linya (may tuldok na linya). Markahan ang punto ng intersection ng dalawang tuldok na linya; kaya, nag-plot ka ng graph point.

      Burahin ang mga tuldok na linya. Gawin ito pagkatapos i-plot ang lahat ng mga graph point sa coordinate plane. Tandaan: ang graph ng function na f(x) = x ay isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng mga coordinate [punto na may mga coordinate (0,0)]; ang graph na f(x) = x + 2 ay isang linyang parallel sa linyang f(x) = x, ngunit inilipat pataas ng dalawang unit at samakatuwid ay dumadaan sa punto na may mga coordinate (0,2) (dahil ang pare-pareho ay 2) .

   Pag-plot ng isang kumplikadong function

   Hanapin ang mga zero ng function. Ang mga zero ng isang function ay ang mga halaga ng variable na "x" kung saan ang y = 0, ibig sabihin, ito ang mga punto ng intersection ng graph sa x-axis. Tandaan na hindi lahat ng function ay may mga zero, ngunit ito ang unang hakbang sa proseso ng paglalagay ng graph ng anumang function. Upang mahanap ang mga zero ng isang function, itakda ito na katumbas ng zero. Halimbawa:

   Hanapin at lagyan ng label ang mga pahalang na asymptotes. Ang asymptote ay isang linya na ang graph ng isang function ay lumalapit ngunit hindi kailanman tumatawid (iyon ay, ang function ay hindi tinukoy sa lugar na ito, halimbawa, kapag hinati sa 0). Markahan ang asymptote na may tuldok na linya. Kung ang variable na "x" ay nasa denominator ng isang fraction (halimbawa, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), itakda ang denominator sa zero at hanapin ang "x". Sa nakuha na mga halaga ng variable na "x", ang function ay hindi tinukoy (sa aming halimbawa, gumuhit ng mga dashed na linya sa pamamagitan ng x = 2 at x = -2), dahil hindi mo maaaring hatiin sa 0. Ngunit ang mga asymptotes ay umiiral hindi lamang sa mga kaso kung saan ang function ay naglalaman ng fractional expression. Samakatuwid, inirerekumenda na gumamit ng sentido komun:

Pumili kami ng isang hugis-parihaba na coordinate system sa eroplano at i-plot ang mga halaga ng argumento sa abscissa axis X, at sa y-axis - ang mga halaga ng function y = f(x).

Function Graph y = f(x) ang hanay ng lahat ng mga punto ay tinatawag, kung saan ang mga abscissas ay nabibilang sa domain ng function, at ang mga ordinates ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function.

Sa madaling salita, ang graph ng function na y \u003d f (x) ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano, ang mga coordinate X, sa na nagbibigay-kasiyahan sa relasyon y = f(x).

Sa fig. Ang 45 at 46 ay mga graph ng mga function y = 2x + 1 at y \u003d x 2 - 2x.

Sa mahigpit na pagsasalita, dapat na makilala ng isa ang pagitan ng graph ng isang function (ang eksaktong mathematical na kahulugan kung saan ibinigay sa itaas) at ang iginuhit na curve, na palaging nagbibigay lamang ng higit pa o hindi gaanong tumpak na sketch ng graph (at kahit na, bilang panuntunan, hindi ang buong graph, ngunit ang bahagi lamang nito na matatagpuan sa mga huling bahagi ng eroplano). Sa mga sumusunod, gayunpaman, karaniwang tinutukoy namin ang "chart" sa halip na "chart sketch".

Gamit ang isang graph, mahahanap mo ang halaga ng isang function sa isang punto. Namely, kung ang punto x = a nabibilang sa saklaw ng function y = f(x), pagkatapos ay upang mahanap ang numero f(a)(ibig sabihin, ang mga halaga ng function sa punto x = a) dapat gawin ito. Kailangan sa pamamagitan ng isang tuldok na may abscissa x = a gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa y-axis; ang linyang ito ay magsa-intersect sa graph ng function y = f(x) sa isang punto; ang ordinate ng puntong ito ay magiging, sa bisa ng kahulugan ng graph, katumbas ng f(a)(Larawan 47).

Halimbawa, para sa function f(x) = x 2 - 2x gamit ang graph (Larawan 46) makikita natin ang f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, atbp.

Ang isang function graph ay biswal na naglalarawan ng pag-uugali at mga katangian ng isang function. Halimbawa, mula sa isang pagsasaalang-alang ng Fig. 46 ito ay malinaw na ang function y \u003d x 2 - 2x tumatagal ng mga positibong halaga kapag X< 0 at sa x > 2, negatibo - sa 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x tumatanggap sa x = 1.

Upang magplano ng isang function f(x) kailangan mong hanapin ang lahat ng mga punto ng eroplano, mga coordinate X,sa na nagbibigay-kasiyahan sa equation y = f(x). Sa karamihan ng mga kaso, ito ay imposible, dahil mayroong walang katapusang maraming mga punto. Samakatuwid, ang graph ng function ay inilalarawan nang humigit-kumulang - na may mas malaki o mas kaunting katumpakan. Ang pinakasimpleng ay ang multi-point plotting method. Ito ay binubuo sa katotohanan na ang argumento X magbigay ng isang tiyak na bilang ng mga halaga - sabihin, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k at gumawa ng isang talahanayan na kinabibilangan ng mga napiling halaga ng function.

Ang talahanayan ay ganito ang hitsura:

Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang isang talahanayan, maaari naming balangkasin ang ilang mga punto sa graph ng function y = f(x). Pagkatapos, ikinonekta ang mga puntong ito sa isang makinis na linya, nakakakuha kami ng tinatayang view ng graph ng function y = f(x).

Gayunpaman, dapat tandaan na ang paraan ng multi-point plotting ay hindi maaasahan. Sa katunayan, ang pag-uugali ng graph sa pagitan ng mga minarkahang punto at ang pag-uugali nito sa labas ng segment sa pagitan ng mga matinding puntos na kinuha ay nananatiling hindi alam.

Halimbawa 1. Upang magplano ng isang function y = f(x) may nag-compile ng isang talahanayan ng argumento at mga halaga ng pag-andar:

Ang kaukulang limang puntos ay ipinapakita sa Fig. 48.

Batay sa lokasyon ng mga puntong ito, napagpasyahan niya na ang graph ng function ay isang tuwid na linya (ipinapakita sa Fig. 48 ng isang tuldok na linya). Maaari bang ituring na maaasahan ang konklusyong ito? Maliban kung may mga karagdagang pagsasaalang-alang upang suportahan ang konklusyong ito, halos hindi ito maituturing na maaasahan. maaasahan.

Upang patunayan ang aming assertion, isaalang-alang ang function

.

Ipinapakita ng mga kalkulasyon na ang mga halaga ng function na ito sa mga punto -2, -1, 0, 1, 2 ay inilarawan lamang ng talahanayan sa itaas. Gayunpaman, ang graph ng function na ito ay hindi sa lahat ng isang tuwid na linya (ito ay ipinapakita sa Fig. 49). Ang isa pang halimbawa ay ang pag-andar y = x + l + sinx; ang mga kahulugan nito ay inilarawan din sa talahanayan sa itaas.

Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na sa kanyang "dalisay" na anyo, ang multi-point plotting na paraan ay hindi maaasahan. Samakatuwid, upang magplano ng isang naibigay na function, bilang isang panuntunan, magpatuloy bilang mga sumusunod. Una, pinag-aaralan ang mga katangian ng pagpapaandar na ito, sa tulong kung saan posible na bumuo ng isang sketch ng graph. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng function sa ilang mga punto (ang pagpili kung saan ay depende sa mga set na katangian ng function), ang mga kaukulang punto ng graph ay matatagpuan. At, sa wakas, ang isang kurba ay iginuhit sa pamamagitan ng mga itinayong punto gamit ang mga katangian ng pagpapaandar na ito.

Isasaalang-alang namin ang ilan (ang pinakasimple at madalas na ginagamit) na mga katangian ng mga function na ginamit upang makahanap ng sketch ng isang graph sa ibang pagkakataon, at ngayon ay susuriin namin ang ilang karaniwang ginagamit na mga pamamaraan para sa pag-plot ng mga graph.

Graph ng function na y = |f(x)|.

Kadalasan kinakailangan na magplano ng isang function y = |f(x)|, saan f(x) - ibinigay na function. Alalahanin kung paano ito ginagawa. Sa pamamagitan ng kahulugan ng ganap na halaga ng isang numero, maaaring magsulat ang isa

Nangangahulugan ito na ang graph ng function y=|f(x)| maaaring makuha mula sa graph, function y = f(x) tulad ng sumusunod: lahat ng mga punto ng graph ng function y = f(x), na ang mga ordinate ay hindi negatibo, ay dapat iwanang hindi nagbabago; higit pa, sa halip na ang mga punto ng graph ng function y = f(x), pagkakaroon ng mga negatibong coordinate, dapat isa ay bumuo ng mga kaukulang punto ng graph ng function y = -f(x)(ibig sabihin, bahagi ng function graph
y = f(x), na nasa ibaba ng axis X, ay dapat na maipakita nang simetriko tungkol sa axis X).

Halimbawa 2 I-plot ang isang function y = |x|.

Kinukuha namin ang graph ng function y = x(Fig. 50, a) at bahagi ng graph na ito kung kailan X< 0 (nakahiga sa ilalim ng axis X) ay simetriko na sinasalamin tungkol sa axis X. Bilang resulta, nakukuha namin ang graph ng function y = |x|(Larawan 50, b).

Halimbawa 3. I-plot ang isang function y = |x 2 - 2x|.

Una naming i-plot ang function y = x 2 - 2x. Ang graph ng function na ito ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, ang tuktok ng parabola ay may mga coordinate (1; -1), ang graph nito ay nag-intersect sa abscissa axis sa mga puntos na 0 at 2. Sa pagitan (0; 2). ) ang function ay tumatagal ng mga negatibong halaga, samakatuwid ang bahaging ito ng graph ay sumasalamin sa simetriko tungkol sa x-axis. Ipinapakita ng Figure 51 ang isang graph ng function y \u003d |x 2 -2x |, batay sa graph ng function y = x 2 - 2x

Graph ng function na y = f(x) + g(x)

Isaalang-alang ang problema ng pag-plot ng function y = f(x) + g(x). kung ang mga graph ng mga function ay ibinigay y = f(x) at y = g(x).

Tandaan na ang domain ng function na y = |f(x) + g(х)| ay ang hanay ng lahat ng mga halaga ng x kung saan ang parehong mga function na y = f(x) at y = g(x) ay tinukoy, ibig sabihin, ang domain na ito ng kahulugan ay ang intersection ng mga domain ng kahulugan, ang mga function na f(x ) at g(x).

Hayaan ang mga puntos (x 0, y 1) at (x 0, y 2) ayon sa pagkakabanggit ay kabilang sa mga function graph y = f(x) at y = g(x), ibig sabihin, y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Pagkatapos ang punto (x0;. y1 + y2) ay kabilang sa graph ng function y = f(x) + g(x)(para sa f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. at anumang punto ng graph ng function y = f(x) + g(x) maaaring makuha sa ganitong paraan. Samakatuwid, ang graph ng function y = f(x) + g(x) maaaring makuha mula sa mga function graph y = f(x). at y = g(x) sa pamamagitan ng pagpapalit ng bawat punto ( x n, y 1) function na graphics y = f(x) tuldok (x n, y 1 + y 2), saan y 2 = g(x n), ibig sabihin, sa pamamagitan ng paglilipat ng bawat punto ( x n, y 1) function graph y = f(x) kasama ang axis sa sa dami y 1 \u003d g (x n). Sa kasong ito, ang mga naturang punto lamang ang isinasaalang-alang. X n kung saan ang parehong mga function ay tinukoy y = f(x) at y = g(x).

Ang pamamaraang ito ng pag-plot ng function graph y = f(x) + g(x) ay tinatawag na pagdaragdag ng mga graph ng mga function y = f(x) at y = g(x)

Halimbawa 4. Sa figure, sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag ng mga graph, ang isang graph ng function ay binuo
y = x + sinx.

Kapag nagpaplano ng isang function y = x + sinx inakala namin yun f(x) = x, a g(x) = sinx. Upang bumuo ng isang function graph, pumili kami ng mga puntos na may abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Values f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx kakalkulahin namin ang mga napiling punto at ilagay ang mga resulta sa talahanayan.

Ang pagtatayo ng mga graph ng mga function na naglalaman ng mga module ay kadalasang nagdudulot ng malaking paghihirap para sa mga mag-aaral. Gayunpaman, ang lahat ay hindi masyadong masama. Ito ay sapat na upang matandaan ang ilang mga algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, at maaari mong madaling i-plot kahit na ang pinaka tila kumplikadong pag-andar. Tingnan natin kung ano ang mga algorithm na ito.

1. Pag-plot ng function na y = |f(x)|

Tandaan na ang hanay ng mga halaga ng function ​​y = |f(x)| : y ≥ 0. Kaya, ang mga graph ng naturang mga function ay palaging ganap na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano.

Pag-plot ng function na y = |f(x)| ay binubuo ng sumusunod na simpleng apat na hakbang.

1) Buuin nang mabuti at maingat ang graph ng function na y = f(x).

2) Iwanang hindi nagbabago ang lahat ng punto ng graph na nasa itaas o sa 0x axis.

3) Ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng 0x axis, ay nagpapakita ng simetriko tungkol sa 0x axis.

Halimbawa 1. Gumuhit ng graph ng function na y = |x 2 - 4x + 3|

1) Bumubuo kami ng graph ng function y \u003d x 2 - 4x + 3. Malinaw na ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hanapin natin ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng intersection ng parabola na may mga coordinate axes at mga coordinate ng vertex ng parabola.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Samakatuwid, ang parabola ay nag-intersect sa 0x axis sa mga punto (3, 0) at (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Samakatuwid, ang parabola ay nag-intersect sa 0y axis sa punto (0, 3).

Mga coordinate ng parabola vertex:

x sa \u003d - (-4/2) \u003d 2, y sa \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Samakatuwid, ang punto (2, -1) ay ang vertex ng parabola na ito.

Gumuhit ng parabola gamit ang natanggap na data (Larawan 1)

2) Ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng 0x axis ay ipinapakita nang simetriko kaugnay ng 0x axis.

3) Nakukuha namin ang graph ng orihinal na function ( kanin. 2, ipinapakita ng may tuldok na linya).

2. Pag-plot ng function na y = f(|x|)

Tandaan na ang mga function ng anyong y = f(|x|) ay pantay:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Nangangahulugan ito na ang mga graph ng naturang mga function ay simetriko tungkol sa 0y axis.

Ang pag-plot ng function na y = f(|x|) ay binubuo ng mga sumusunod na simpleng hanay ng mga aksyon.

1) I-plot ang function na y = f(x).

2) Iwanan ang bahaging iyon ng graph kung saan ang x ≥ 0, iyon ay, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

3) Ipakita ang bahagi ng graph na tinukoy sa talata (2) nang simetriko sa 0y axis.

4) Bilang panghuling graph, piliin ang unyon ng mga kurba na nakuha sa mga talata (2) at (3).

Halimbawa 2. Gumuhit ng graph ng function na y = x 2 – 4 · |x| + 3

Dahil x 2 = |x| 2 , kung gayon ang orihinal na function ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. At ngayon maaari naming ilapat ang algorithm na iminungkahi sa itaas.

1) Maingat at maingat naming binuo ang graph ng function y \u003d x 2 - 4 x + 3 (tingnan din kanin. isa).

2) Iniiwan namin ang bahaging iyon ng graph kung saan ang x ≥ 0, iyon ay, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

3) Ipakita ang kanang bahagi ng graph nang simetriko sa 0y axis.

(Larawan 3).

Halimbawa 3. Gumuhit ng graph ng function na y = log 2 |x|

Inilapat namin ang scheme na ibinigay sa itaas.

1) I-plot namin ang function na y = log 2 x (Larawan 4).

3. Pag-plot ng function na y = |f(|x|)|

Tandaan na ang mga function ng form na y = |f(|x|)| ay pantay din. Sa katunayan, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), at samakatuwid, ang kanilang mga graph ay simetriko tungkol sa 0y axis. Ang hanay ng mga halaga ng naturang mga pag-andar: y ≥ 0. Samakatuwid, ang mga graph ng naturang mga function ay ganap na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano.

Upang i-plot ang function na y = |f(|x|)|, kailangan mong:

1) Bumuo ng maayos na graph ng function na y = f(|x|).

2) Iwanang hindi nagbabago ang bahagi ng graph na nasa itaas o sa 0x axis.

3) Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay dapat ipakita sa simetriko na may paggalang sa 0x axis.

4) Bilang panghuling graph, piliin ang unyon ng mga kurba na nakuha sa mga talata (2) at (3).

Halimbawa 4. Gumuhit ng graph ng function na y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Tandaan na x 2 = |x| 2. Kaya, sa halip na ang orihinal na function y = -x 2 + 2|x| - isa

maaari mong gamitin ang function na y = -|x| 2 + 2|x| – 1, dahil pareho ang kanilang mga graph.

Bumubuo kami ng graph na y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Para dito, ginagamit namin ang algorithm 2.

a) Pinulot namin ang function y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Larawan 6).

b) Iniiwan namin ang bahaging iyon ng graph, na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

c) Ipakita ang resultang bahagi ng graph nang simetriko sa 0y axis.

d) Ang resultang graph ay ipinapakita sa figure na may tuldok na linya (Larawan 7).

2) Walang mga puntos sa itaas ng 0x axis, iniiwan namin ang mga puntos sa 0x axis na hindi nagbabago.

3) Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay ipinapakita sa simetriko na may kinalaman sa 0x.

4) Ang resultang graph ay ipinapakita sa figure sa pamamagitan ng isang tuldok na linya (Larawan 8).

Halimbawa 5. I-plot ang function na y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Una kailangan mong i-plot ang function na y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Upang gawin ito, bumalik kami sa algorithm 2.

a) Maingat na i-plot ang function na y = (2x – 4) / (x + 3) (Larawan 9).

Tandaan na ang function na ito ay linear-fractional at ang graph nito ay hyperbola. Upang bumuo ng isang curve, kailangan mo munang hanapin ang mga asymptotes ng graph. Pahalang - y \u003d 2/1 (ang ratio ng mga coefficient sa x sa numerator at denominator ng isang fraction), patayo - x \u003d -3.

2) Ang bahagi ng tsart na nasa itaas o sa 0x axis ay iiwang hindi magbabago.

3) Ang bahagi ng tsart na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay ipapakita sa simetriko na may paggalang sa 0x.

4) Ang huling graph ay ipinapakita sa figure (Larawan 11).

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.