y 10x функцийн график. Функцийн графикийг хэрхэн зурах вэ. Excel программ дээр шугаман функцийг зурах

Харамсалтай нь бүх оюутан, сурагчид алгебрийг мэддэг, хайрладаггүй ч хүн бүр гэрийн даалгавраа бэлдэж, тестүүдээ шийдэж, шалгалт өгөх ёстой. Олон хүмүүст функциональ график зурах даалгавруудыг олоход хэцүү байдаг: хэрэв та хаа нэгтээ ямар нэг зүйлийг ойлгохгүй байвал дуусгаж болохгүй, бүү алдаарай, алдаа гарах нь гарцаагүй. Гэхдээ хэн муу дүн авахыг хүсдэг вэ?

Та уяачид болон ялагдсан хүмүүсийн бүлэгт нэгдэхийг хүсч байна уу? Үүнийг хийхийн тулд танд 2 арга бий: сурах бичигт суугаад мэдлэгийн цоорхойг нөхөх эсвэл виртуал туслах - заасан нөхцлийн дагуу функцийн графикийг автоматаар зурах үйлчилгээ. Шийдвэртэй эсвэл шийдвэргүй. Өнөөдөр бид танд тэдгээрийн заримыг танилцуулах болно.

Desmos.com-ын хамгийн сайн зүйл бол тохируулсан интерфэйс, интерактив байдал, үр дүнг хүснэгтэд тарааж, нөөцийн мэдээллийн санд цаг хугацааны хязгаарлалтгүйгээр өөрийн ажлыг үнэ төлбөргүй хадгалах чадвар юм. Мөн сул тал нь үйлчилгээ нь орос хэл рүү бүрэн орчуулагдаагүй байна.

Grafikus.ru

Grafikus.ru бол орос хэл дээрх график тооцоолуур юм. Түүнээс гадна тэрээр тэдгээрийг зөвхөн хоёр хэмжээст төдийгүй гурван хэмжээст орон зайд бүтээдэг.

Энэхүү үйлчилгээ нь амжилттай даван туулж буй ажлуудын бүрэн бус жагсаалтыг энд оруулав.

• Энгийн функцүүдийн 2D графикийг зурах: шугам, парабол, гипербол, тригонометр, логарифм гэх мэт.
• Параметр функцүүдийн 2D графикийг зурах: тойрог, спираль, Лиссажугийн дүрс болон бусад.
• Туйлын координатаар 2 хэмжээст график зурах.
• Энгийн функцүүдийн 3D гадаргууг барих.
• Параметр функцүүдийн 3D гадаргууг бүтээх.

Дууссан үр дүн нь тусдаа цонхонд нээгдэнэ. Хэрэглэгч линкийг татаж авах, хэвлэх, хуулах сонголттой. Сүүлчийн хувьд та нийгмийн сүлжээнүүдийн товчлууруудаар дамжуулан үйлчилгээнд нэвтрэх шаардлагатай болно.

Grafikus.ru координатын хавтгай нь тэнхлэгүүдийн хил хязгаар, тэдгээрийн шошго, сүлжээ хоорондын зай, түүнчлэн онгоцны өргөн, өндөр, үсгийн хэмжээг өөрчлөх боломжийг олгодог.

Grafikus.ru-ийн хамгийн том хүч бол 3D график үүсгэх чадвар юм. Үгүй бол энэ нь аналоги нөөцөөс муу, илүү сайн ажилладаггүй.

Onlinecharts.ru

Onlinecharts.ru онлайн туслах нь диаграммыг бүтээдэггүй, гэхдээ одоо байгаа бараг бүх төрлийн диаграммуудыг хийдэг. Үүнд:

• Шугаман.
• Багана.
• Тойрог.
• бүс нутгуудтай.
• Радиаль.
• XY графикууд.
• Бөмбөлөг.
• Оноо.
• Цагаан бух.
• Пирамидууд.
• Хурд хэмжигч.
• Багана шугаман.

Нөөцийг ашиглахад тун хялбар. Графикийн харагдах байдал (арын өнгө, сүлжээ, шугам, заагч, булангийн хэлбэр, фонт, ил тод байдал, тусгай эффект гэх мэт) нь хэрэглэгчийн бүрэн тодорхойлогддог. Барилгын өгөгдлийг гараар оруулах эсвэл компьютер дээр хадгалагдсан CSV файл дахь хүснэгтээс импортлох боломжтой. Дууссан үр дүнг компьютер дээр зураг, PDF, CSV эсвэл SVG файл хэлбэрээр татаж авах боломжтой, мөн ImageShack.Us зураг байршуулах эсвэл Onlinecharts.ru хувийн дансанд онлайнаар хадгалах боломжтой. Эхний сонголтыг хүн бүр ашиглаж болно, хоёр дахь нь зөвхөн бүртгүүлсэн хүмүүс юм.

Эхлээд функцийн хамрах хүрээг олохыг хичээ:

Та удирдаж чадсан уу? Хариултуудыг харьцуулж үзье:

Зүгээр үү? Сайн хийлээ!

Одоо функцийн хүрээг олохыг хичээцгээе:

Олдсон уу? Харьцуулах:

Зөвшөөрсөн үү? Сайн хийлээ!

Графикуудтай дахин ажиллацгаая, зөвхөн одоо энэ нь арай илүү хэцүү байна - функцийн домэйн болон функцийн мужийг хоёуланг нь олох.

Функцийн домэйн болон мужийг хоёуланг нь хэрхэн олох вэ (дэвшилтэт)

Юу болсныг энд харуулав.

Графикийн тусламжтайгаар та үүнийг ойлгосон гэж бодож байна. Одоо томъёоны дагуу функцийн домэйныг олохыг хичээцгээе (хэрэв та үүнийг яаж хийхээ мэдэхгүй байгаа бол энэ хэсгийг уншина уу):

Та удирдаж чадсан уу? Шалгаж байна хариултууд:

1. , учир нь язгуур илэрхийлэл нь тэгээс их буюу тэнцүү байх ёстой.
2. , учир нь тэгээр хуваах боломжгүй бөгөөд радикал илэрхийлэл нь сөрөг байж болохгүй.
3. , оноос хойш, тус тус, бүх.
4. Учир нь та тэгээр хувааж болохгүй.

Гэсэн хэдий ч бидэнд шийдэгдээгүй өөр нэг мөч байна ...

Тодорхойлолтыг дахин давтаж, үүн дээр анхаарлаа хандуулъя:

Анхаарсан уу? "Зөвхөн" гэдэг үг нь бидний тодорхойлолтын маш чухал элемент юм. Би та нарт хуруугаараа тайлбарлахыг хичээх болно.

Шулуун шугамаар өгөгдсөн функц байна гэж бодъё. . Хэзээ, бид энэ утгыг "дүрэм"-дээ орлуулж, үүнийг авна. Нэг утга нь нэг утгатай тохирч байна. Үүнийг шалгахын тулд бид янз бүрийн утгын хүснэгтийг хийж, өгөгдсөн функцийг зурж болно.

"Хараач! - чи "" хоёр удаа уулздаг!" Тэгэхээр парабола функц биш юм болов уу? Үгүй энэ бол!

"" хоёр удаа тохиолддог нь параболыг хоёрдмол утгатай гэж буруутгах шалтгаан биш юм!

Тооцоолоход бид нэг тоглолттой болсон. Тооцоолоход бид нэг тоглоом авсан. Энэ нь зөв, парабол бол функц юм. Графикийг харна уу:

Авчихсан? Хэрэв тийм биш бол танд математикаас хол бодит жишээг хэлье!

Бичиг баримтаа бүрдүүлж өгөхдөө уулзсан өргөдөл гаргагчид тус бүр нь хаана амьдардаг тухай яриандаа хэлсэн гэж бодъё.

Хэд хэдэн залуус нэг хотод амьдардаг нь бодитой зүйл боловч нэг хүн хэд хэдэн хотод нэгэн зэрэг амьдрах боломжгүй юм. Энэ бол бидний "парабол" -ын логик дүрслэл юм. Хэд хэдэн өөр x нь ижил y-тэй тохирч байна.

Одоо хамаарал нь функц биш болох жишээг гаргая. Эдгээр залуус ямар мэргэжлээр бүртгүүлсэн тухайгаа хэлье гэж бодъё.

Энд бид огт өөр нөхцөл байдалтай байна: нэг хүн нэг эсвэл хэд хэдэн чиглэлд хялбархан өргөдөл гаргаж болно. Тэр бол нэг элементбагцыг захидал харилцаанд оруулсан болно олон элементбагц. тус тус, энэ нь функц биш юм.

Таны мэдлэгийг практик дээр туршиж үзье.

Функц гэж юу болох, юу нь биш болохыг зурагнаас тодорхойл.

Авчихсан? Тэгээд энд байна хариултууд:

• Функц нь - B, E.
• Функц биш - A, B, D, D.

Та яагаад гэж асууж байна уу? Тийм ээ, яагаад гэвэл:

Бусад бүх тоогоор AT)болон E)нэг нь хэд хэдэн байна!

Одоо та функцийг функцгүйгээс хялбархан ялгаж, аргумент гэж юу болох, хамааралтай хувьсагч гэж юу болохыг хэлэх, мөн аргументийн хүрээ, функцийн хамрах хүрээг тодорхойлох боломжтой гэдэгт би итгэлтэй байна. Дараагийн хэсэг рүү шилжье - функцийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Функцийг тохируулах арга замууд

Энэ үгс нь ямар утгатай гэж та бодож байна "функцийг тохируулах"? Энэ нь зөв, энэ тохиолдолд бид ямар функцын тухай ярьж байгааг хүн бүрт тайлбарлах гэсэн үг юм. Түүнээс гадна хүн бүр таныг зөвөөр ойлгох, таны тайлбарын дагуу хүмүүсийн зурсан функцүүдийн графикууд ижил байхаар тайлбарла.

Би яаж үүнийг хийх вэ? Функцийг хэрхэн тохируулах вэ?Энэ нийтлэлд нэгээс олон удаа ашиглагдсан хамгийн хялбар арга бол - томъёог ашиглан.Бид томьёо бичиж, түүнд утгыг орлуулж утгыг тооцоолно. Таны санаж байгаагаар томьёо бол хууль, дүрэм бөгөөд үүний дагуу X нь хэрхэн Y болж хувирдаг нь бидэнд болон өөр хүнд тодорхой болно.

Ихэвчлэн энэ нь тэдний хийдэг зүйл юм - даалгаврууд дээр бид томъёогоор тодорхойлогдсон бэлэн функцуудыг хардаг, гэхдээ хүн бүр мартдаг функцийг тохируулах өөр аргууд байдаг тул "өөр функцийг яаж тохируулах вэ?" Гэсэн асуулт гарч ирдэг. төөрөгдүүлдэг. Бүгдийг дарааллаар нь авч үзээд аналитик аргаар эхэлье.

Функцийг тодорхойлох аналитик арга

Аналитик арга нь томьёо ашиглан функцийн даалгавар юм. Энэ бол хамгийн түгээмэл бөгөөд өргөн хүрээтэй, хоёрдмол утгагүй арга юм. Хэрэв танд томьёо байгаа бол та функцийн талаар бүх зүйлийг мэддэг - та үүн дээр утгын хүснэгт хийж, график байгуулж, функц хаана нэмэгдэж, хаана буурч байгааг тодорхойлох боломжтой, ерөнхийдөө үүнийг судалж болно. бүрэн.

Функцийг авч үзье. Ямар хамаатай юм бэ?

"Юу гэсэн үг вэ?" - Та асуух. Би одоо тайлбарлая.

Тэмдэглэгээнд хаалтанд байгаа илэрхийллийг аргумент гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя. Мөн энэ аргумент нь энгийн байх албагүй ямар ч илэрхийлэл байж болно. Үүний дагуу ямар ч аргумент (хаалтанд байгаа илэрхийлэл) бид илэрхийлэлд оронд нь бичнэ.

Бидний жишээнд энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Шалгалтанд өгөх функцийг тодорхойлох аналитик аргатай холбоотой өөр нэг ажлыг авч үзье.

илэрхийллийн утгыг ол, at.

Та ийм илэрхийлэлийг хараад эхэндээ айж байсан гэдэгт би итгэлтэй байна, гэхдээ үүнд ямар ч аймшигтай зүйл байхгүй!

Өмнөх жишээн дээрх бүх зүйл ижил байна: ямар ч аргумент (хаалтанд байгаа илэрхийлэл) бид үүнийг илэрхийлэлд бичнэ. Жишээлбэл, функцийн хувьд.

Бидний жишээн дээр юу хийх ёстой вэ? Үүний оронд та бичих хэрэгтэй бөгөөд оронд нь -:

үүссэн илэрхийллийг богиносго:

Тэгээд л болоо!

Бие даасан ажил

Одоо дараах хэллэгүүдийн утгыг өөрөө олохыг хичээ.

1. , хэрэв
2. , хэрэв

Та удирдаж чадсан уу? Хариултуудаа харьцуулж үзье: Функц нь хэлбэртэй байдагт бид дассан

Бидний жишээн дээр ч гэсэн функцийг ийм байдлаар тодорхойлдог боловч аналитик байдлаар функцийг далд хэлбэрээр тодорхойлох боломжтой байдаг.

Энэ функцийг өөрөө бүтээж үзээрэй.

Та удирдаж чадсан уу?

Би үүнийг хэрхэн барьсаныг энд харуулав.

Бид ямар тэгшитгэлтэй болсон бэ?

Зөв! Шугаман, энэ нь график нь шулуун шугам болно гэсэн үг юм. Манай шугамд аль цэгүүд хамаарахыг хүснэгт үүсгэцгээе.

Энэ бол бидний ярьж байсан зүйл юм ... Нэг нь хэд хэдэнтэй тохирч байна.

Юу болсныг зурахыг хичээцгээе:

Бидэнд байгаа зүйл функц мөн үү?

Энэ нь зөв, үгүй! Яагаад? Энэ асуултанд зургаар хариулахыг хичээгээрэй. Та юу авсан бэ?

"Учир нь нэг утга нь хэд хэдэн утгатай тохирч байна!"

Үүнээс бид ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

Энэ нь зөв, функцийг үргэлж тодорхой илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд функцээр "далдлагдсан" зүйл нь үргэлж функц биш юм!

Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн арга

Нэрнээс нь харахад энэ арга нь энгийн хавтан юм. Тийм тийм. Бидний аль хэдийн хийсэн шиг. Жишээлбэл:

Энд та тэр даруй хэв маягийг анзаарсан - Y нь X-ээс гурав дахин том. Одоо "сайн бодох" даалгавар: Хүснэгт хэлбэрээр өгсөн функц нь функцтэй тэнцүү гэж та бодож байна уу?

Удаан ярихгүй, харин зурцгаая!

Тэгэхээр. Бид өгөгдсөн функцийг хоёр аргаар зурна:

Та ялгааг харж байна уу? Энэ нь тэмдэглэсэн цэгүүдийн тухай биш юм! Ойролцоогоор харна уу:

Та одоо харсан уу? Функцийг хүснэгт хэлбэрээр тохируулахдаа бид зөвхөн хүснэгтэд байгаа цэгүүдийг график дээр тусгадаг бөгөөд шугам (манай тохиолдолд) зөвхөн тэдгээрээр дамжин өнгөрдөг. Бид функцийг аналитик аргаар тодорхойлохдоо дурын цэгүүдийг авч болох бөгөөд бидний үүрэг тэдгээрээр хязгаарлагдахгүй. Энд ийм онцлог байна. Санаж байна уу!

Функцийг бүтээх график арга

Функцийг бүтээх график арга нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Бид функцээ зурж, өөр нэг сонирхсон хүн тодорхой x дээр y нь ямар тэнцүү болохыг олж чадна гэх мэт. График ба аналитик аргууд нь хамгийн түгээмэл арга юм.

Гэсэн хэдий ч, энд та бидний эхэнд юу ярьж байсныг санах хэрэгтэй - координатын системд зурсан "зайвар" бүр функц биш юм! Санаж байна уу? Ямар ч тохиолдолд би функц гэж юу болох тухай тодорхойлолтыг энд хуулах болно.

Дүрмээр бол хүмүүс бидний дүн шинжилгээ хийсэн функцийг тодорхойлох гурван аргыг ихэвчлэн нэрлэдэг - аналитик (томьёог ашиглан), хүснэгт, график, функцийг амаар тайлбарлаж болно гэдгийг бүрэн мартдаг. Үүн шиг? Тийм ээ, маш амархан!

Функцийн аман тайлбар

Функцийг амаар хэрхэн тайлбарлах вэ? Саяхны жишээг авч үзье - . Энэ функцийг "х-ийн бодит утга бүр нь түүний гурвалсан утгатай тохирч байна" гэж тодорхойлж болно. Тэгээд л болоо. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Мэдээжийн хэрэг, та эсэргүүцэх болно - "ийм нарийн төвөгтэй функцууд байдаг тул амаар тохируулах боломжгүй юм!" Тийм ээ, зарим нь байдаг, гэхдээ томъёогоор тохируулахаас илүү амаар тайлбарлахад хялбар функцууд байдаг. Жишээ нь: "х-ийн натурал утга бүр нь түүний бүрдэх цифрүүдийн хоорондох зөрүүтэй тохирч байгаа бол тооны оруулгад агуулагдах хамгийн том цифрийг хасах тэмдэг болгон авна." Одоо функцын аман тайлбарыг практикт хэрхэн хэрэгжүүлж байгааг авч үзье.

Өгөгдсөн тооны хамгийн том цифрийг - тус тус багасгавал:

Функцийн үндсэн төрлүүд

Одоо хамгийн сонирхолтой зүйл рүү шилжье - бид таны ажиллаж байсан / ажиллаж байсан функцүүдийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэх бөгөөд сургууль, дээд сургуулийн математикийн хичээлд ажиллах болно, өөрөөр хэлбэл бид тэдэнтэй танилцах болно. тэдэнд товч тайлбар өг. Холбогдох хэсгээс функц бүрийн талаар дэлгэрэнгүй уншина уу.

Шугаман функц

Бодит тоонууд болох хэлбэрийн функц.

Энэ функцийн график нь шулуун шугам тул шугаман функцийг байгуулах нь хоёр цэгийн координатыг олох хүртэл буурдаг.

Координатын хавтгай дээрх шулуун шугамын байрлал нь налуугаас хамаарна.

Функцийн хамрах хүрээ (аргументын муж) - .

Утгын хүрээ нь .

квадрат функц

Маягтын функц, хаана

Функцийн график нь параболын мөчрүүд доош, дээш чиглэсэн үед парабол юм.

Квадрат функцийн олон шинж чанар нь дискриминантын утгаас хамаардаг. Дискриминантыг томъёогоор тооцоолно

Утга ба коэффициенттэй харьцуулахад координатын хавтгай дээрх параболын байрлалыг зурагт үзүүлэв.

Домэйн

Утгын хүрээ нь өгөгдсөн функцийн экстремум (параболын орой) ба коэффициент (параболын мөчрүүдийн чиглэл) -ээс хамаарна.

Урвуу пропорциональ байдал

Томъёогоор өгөгдсөн функц, энд

Энэ тоог урвуу пропорциональ хүчин зүйл гэж нэрлэдэг. Ямар утгаас хамааран гиперболын мөчрүүд өөр өөр квадратуудад байна.

Домэйн - .

Утгын хүрээ нь .

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН ТОМЪЁО

1. Функц гэдэг нь олонлогийн элемент бүрд олонлогийн өвөрмөц элементийг хуваарилах дүрэм юм.

• - энэ нь функцийг илэрхийлдэг томъёо, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчийн нөгөөгөөс хамаарлыг илэрхийлдэг;
• - хувьсагч эсвэл аргумент;
• - хамааралтай утга - аргумент өөрчлөгдөхөд өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл нэг утгын нөгөө утгын хамаарлыг тусгасан тодорхой томъёоны дагуу.

2. Аргументуудын хүчинтэй утгууд, эсвэл функцийн хамрах хүрээ нь функц нь утга учиртай байх боломжтой холбоотой зүйл юм.

3. Функцийн утгын хүрээ- энэ бол хүчинтэй утгуудтай үнэ цэнэтэй зүйл юм.

4. Функцийг тохируулах 4 арга байдаг:

• аналитик (томьёог ашиглах);
• хүснэгт;
• график
• аман тайлбар.

5. Функцийн үндсэн төрлүүд:

• : , хаана, бодит тоонууд;
• : , хаана;
• : , хаана.

Функцийн график нь координатын хавтгай дээрх зарим функцийн үйл ажиллагааны дүрслэл юм. Графикууд нь функцээс өөрөө тодорхойлох боломжгүй функцийн янз бүрийн талыг ойлгоход тусалдаг. Та олон функцийн графикийг барьж болох бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг тодорхой томъёогоор өгөх болно. Аливаа функцийн графикийг тодорхой алгоритмын дагуу бүтээдэг (хэрэв та тодорхой функцийн график зурах үйл явцыг яг таг мартсан бол).

Алхам

Шугаман функцийг зурах

Функц шугаман эсэхийг тодорхойлно.Шугаман функцийг маягтын томъёогоор өгөгдөнө F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)эсвэл y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(жишээ нь, ), түүний график нь шулуун шугам юм. Тиймээс томьёо нь нэг хувьсагч ба нэг тогтмол (тогтмол) ямар ч илтгэгч, язгуур тэмдэг гэх мэтийг агуулдаг. Ижил хэлбэрийн функцийг өгвөл ийм функцийг зурах нь маш энгийн. Шугаман функцүүдийн бусад жишээ энд байна:

Ү тэнхлэг дээрх цэгийг тэмдэглэхийн тулд тогтмолыг ашиглана.Тогтмол (b) нь графикийн Ү тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн “y” координат юм.Өөрөөр хэлбэл энэ нь “х” координат нь 0 байх цэг юм.Тиймээс томьёонд x = 0-ийг орлуулбал тухайн цэг юм. , дараа нь y = b (тогтмол). Бидний жишээн дээр y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)тогтмол нь 5, өөрөөр хэлбэл Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0,5). Энэ цэгийг координатын хавтгайд зур.

Шугамын налууг ол.Энэ нь хувьсагчийн үржүүлэгчтэй тэнцүү байна. Бидний жишээн дээр y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)"x" хувьсагчтай бол 2-ын хүчин зүйл; иймээс налуу нь 2. Налуу нь шулуун шугамын X тэнхлэгт налуугийн өнцгийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл налуу нь том байх тусам функц хурдан өсөх эсвэл буурах болно.

Налууг бутархай хэлбэрээр бич.Налуу нь хазайлтын өнцгийн тангенс, өөрөөр хэлбэл босоо зайг (шулуун шугамын хоёр цэгийн хоорондох) хэвтээ зайд (ижил цэгүүдийн хоорондох) харьцаатай тэнцүү байна. Бидний жишээн дээр налуу нь 2 тул босоо зай нь 2, хэвтээ зай нь 1 гэж хэлж болно. Үүнийг бутархай хэлбэрээр бичнэ үү. 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Хэрэв налуу нь сөрөг байвал функц буурч байна.

1. Шугамын Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээс босоо болон хэвтээ зайг ашиглан хоёр дахь цэгийг зурна. Шугаман функцийг хоёр цэг ашиглан зурж болно. Бидний жишээнд Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0.5); энэ цэгээс дээш 2 зай, дараа нь баруун тийш 1 зай. Нэг цэгийг тэмдэглэх; энэ нь координаттай байх болно (1,7). Одоо та шулуун шугам зурж болно.

   Хоёр цэгээр шулуун шугам татахын тулд захирагч ашиглана уу.Алдаа гаргахгүйн тулд гурав дахь цэгийг олоорой, гэхдээ ихэнх тохиолдолд графикийг хоёр цэгийг ашиглан барьж болно. Тиймээс та шугаман функцийг зурсан байна.

   Координатын хавтгай дээрх цэгүүдийг зурах

   1. Функцийг тодорхойлно уу.Функцийг f(x) гэж тэмдэглэнэ. "y" хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн муж, "x" хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, y = x+2, тухайлбал f(x) = x+2 функцийг авч үзье.

      Хоёр огтлолцсон перпендикуляр шугам зур.Хэвтээ шугам нь X тэнхлэг, босоо шугам нь Y тэнхлэг юм.

      Координатын тэнхлэгүүдийг тэмдэглэнэ үү.Тэнхлэг бүрийг тэнцүү сегмент болгон хувааж, дугаарлана. Тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэг нь 0. X тэнхлэгийн хувьд: баруун талд (0-ээс) эерэг тоонууд, зүүн талд сөрөг тоонууд дүрслэгдсэн байна. Y тэнхлэгийн хувьд: эерэг тоонуудыг дээд талд (0-ээс), сөрөг тоонуудыг доод талд зурна.

      "x" утгуудаас "y" утгыг ол.Бидний жишээнд f(x) = x+2. Харгалзах "y" утгыг тооцоолохын тулд энэ томьёоны тодорхой "x" утгыг орлуулна уу. Хэрэв нийлмэл функц өгөгдсөн бол тэгшитгэлийн нэг талд "y"-г тусгаарлах замаар хялбаршуулна.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Координатын хавтгай дээр цэгүүдийг зур.Хос координат бүрийн хувьд дараахь зүйлийг хий: x тэнхлэг дээр харгалзах утгыг олж, босоо шугам (тасархай шугам) зурах; y тэнхлэг дээр харгалзах утгыг олж, хэвтээ шугам (тасархай шугам) зур. Хоёр тасархай шугамын огтлолцох цэгийг тэмдэглэх; Тиймээс та график цэгийг зурсан байна.

      Тасалсан зураасыг арилга.Графикийн бүх цэгүүдийг координатын хавтгайд зурсны дараа үүнийг хий. Тайлбар: f(x) = x функцийн график нь координатын төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугам [координат (0,0) цэг]; f(x) = x + 2 график нь f(x) = x шулуунтай параллель шулуун боловч хоёр нэгжээр дээш шилжсэн тул (0,2) координаттай цэгийг дайран өнгөрдөг (учир нь тогтмол нь 2) .

   Нарийн төвөгтэй функцийг зурах

   Функцийн тэгийг ол.Функцийн тэг нь "x" хувьсагчийн утгууд бөгөөд y = 0, өөрөөр хэлбэл эдгээр нь графикийн х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм. Бүх функцууд тэгтэй байдаггүй гэдгийг санаарай. гэхдээ энэ нь аливаа функцийн график зурах үйл явцын эхний алхам юм. Функцийн тэгийг олохын тулд үүнийг тэгтэй тэнцүүл. Жишээлбэл:

   Хэвтээ асимптотуудыг олж тэмдэглэ.Асимптот гэдэг нь функцийн график ойртож байгаа мөртлөө огтолдоггүй шугам юм (өөрөөр хэлбэл функц нь энэ хэсэгт тодорхойлогдоогүй, жишээлбэл, 0-д хуваагдсан үед). Асимптотыг тасархай шугамаар тэмдэглэ. Хэрэв "x" хувьсагч нь бутархайн хуваарьт байгаа бол (жишээлбэл, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), хуваагчийг тэг болгож "x"-г ол. "X" хувьсагчийн олж авсан утгуудад функц тодорхойлогдоогүй байна (бидний жишээнд x = 2 ба x = -2 дундуур тасархай шугам зурна уу), учир нь та 0-д хувааж болохгүй. Гэхдээ асимптотууд нь зөвхөн функц нь бутархай илэрхийлэл агуулсан тохиолдолд байдаггүй. Тиймээс нийтлэг ойлголтыг ашиглахыг зөвлөж байна:

Бид хавтгай дээр тэгш өнцөгт координатын системийг сонгож, аргументийн утгыг абсцисса тэнхлэг дээр зурдаг. X, ба у тэнхлэг дээр - функцийн утгууд у = f(x).

Функцийн график у = f(x)абсциссууд нь функцийн мужид хамаарах бүх цэгүүдийн багцыг дууддаг бөгөөд ординатууд нь функцийн харгалзах утгатай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, y \u003d f (x) функцын график нь хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багц, координат юм. X, цагтхарилцааг хангадаг у = f(x).

Зураг дээр. 45 ба 46 нь функцүүдийн графикууд юм y = 2x + 1болон y \u003d x 2 - 2x.

Хатуухан хэлэхэд функцийн график (түүний математикийн нарийн тодорхойлолтыг дээр дурдсан) ба зурсан муруйг хооронд нь ялгах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь зөвхөн графикийн илүү их эсвэл бага нарийвчлалтай тоймыг өгдөг (тэр ч байтугай дүрмээр бол) графикийг бүхэлд нь биш, харин зөвхөн онгоцны эцсийн хэсгүүдэд байрлах хэсэг). Дараах зүйлд бид ихэвчлэн "диаграмын тойм" гэхээсээ илүү "диаграмм"-д хандах болно.

График ашиглан функцийн утгыг цэг дээр олох боломжтой. Тухайлбал, хэрэв цэг x = aфункцийн хамрах хүрээнд хамаарна у = f(x), дараа нь дугаарыг олох f(a)(жишээ нь цэг дээрх функцийн утгууд x = a) үүнийг хийх ёстой. Abscissa бүхий цэгээр дамжуулан хэрэгтэй x = a y тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам зурах; Энэ шугам нь функцийн графиктай огтлолцоно у = f(x)нэг цэг дээр; Графикийн тодорхойлолтын дагуу энэ цэгийн ординат нь тэнцүү байх болно f(a)(Зураг 47).

Жишээлбэл, функцийн хувьд f(x) = x 2 - 2xграфикийг (46-р зураг) ашиглан бид f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 гэх мэтийг олно.

Функцийн график нь функцын зан төлөв, шинж чанарыг нүдээр харуулдаг. Жишээ нь, Зураг дээр авч үзэхээс. 46 функц болох нь тодорхой байна y \u003d x 2 - 2xүед эерэг утгыг авдаг X< 0 болон цагт x > 2, сөрөг - 0-д< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2xцагт хүлээн авдаг x = 1.

Функцийг зурах f(x)та онгоцны бүх цэг, координатыг олох хэрэгтэй X,цагттэгшитгэлийг хангадаг у = f(x). Ихэнх тохиолдолд ийм цэгүүд хязгааргүй олон байдаг тул энэ нь боломжгүй юм. Тиймээс функцийн графикийг ойролцоогоор дүрсэлсэн болно - их эсвэл бага нарийвчлалтай. Хамгийн энгийн нь олон цэгийн график зурах арга юм. Энэ нь аргументаас бүрддэг Xхязгаарлагдмал тооны утгыг өг - x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k гэж хэлээд функцийн сонгосон утгуудыг багтаасан хүснэгтийг хий.

Хүснэгт дараах байдлаар харагдаж байна.

Ийм хүснэгтийг гаргасны дараа бид функцийн график дээрх хэд хэдэн цэгийг тоймлон гаргаж болно у = f(x). Дараа нь эдгээр цэгүүдийг гөлгөр шугамаар холбосноор функцийн графикийн ойролцоо дүрсийг олж авна y = f(x).

Гэсэн хэдий ч олон цэгийн графикийн арга нь маш найдваргүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ тэмдэглэсэн цэгүүдийн хоорондох графын үйл ажиллагаа болон авсан хэт цэгүүдийн хоорондох сегментийн гаднах байдал тодорхойгүй хэвээр байна.

Жишээ 1. Функцийг зурах у = f(x)хэн нэгэн аргумент болон функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэсэн:

Харгалзах таван цэгийг Зураг дээр үзүүлэв. 48.

Эдгээр цэгүүдийн байршилд үндэслэн тэрээр функцийн график нь шулуун шугам (48-р зурагт тасархай шугамаар үзүүлсэн) гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Энэ дүгнэлтийг найдвартай гэж үзэж болох уу? Энэхүү дүгнэлтийг батлах нэмэлт хүчин зүйл байхгүй бол үүнийг найдвартай гэж үзэх боломжгүй юм. найдвартай.

Бидний мэдэгдлийг батлахын тулд функцийг авч үзье

.

Тооцоолол нь -2, -1, 0, 1, 2 цэгүүд дэх энэ функцийн утгыг дээрх хүснэгтээр тайлбарласан болохыг харуулж байна. Гэхдээ энэ функцийн график нь огт шулуун биш (49-р зурагт үзүүлэв). Өөр нэг жишээ бол функц юм y = x + l + sinx;Үүний утгыг дээрх хүснэгтэд мөн тайлбарласан болно.

Эдгээр жишээнүүд нь "цэвэр" хэлбэрээр олон цэгийн графикийн арга нь найдваргүй болохыг харуулж байна. Тиймээс өгөгдсөн функцийг зурахын тулд дүрмээр бол дараах байдлаар ажиллана. Нэгдүгээрт, энэ функцийн шинж чанарыг судалж, түүний тусламжтайгаар графикийн ноорог зурах боломжтой болно. Дараа нь функцийн утгыг хэд хэдэн цэг дээр (түүний сонголт нь функцийн тогтоосон шинж чанараас хамаарна) тооцоолсноор графикийн харгалзах цэгүүдийг олно. Эцэст нь энэ функцийн шинж чанарыг ашиглан барьсан цэгүүдээр муруй зурна.

Графикийн ноорог олоход хэрэглэгдэх функцүүдийн зарим (хамгийн энгийн бөгөөд байнга хэрэглэгддэг) шинж чанаруудыг бид дараа нь авч үзэх бөгөөд одоо график зурахад түгээмэл хэрэглэгддэг аргуудад дүн шинжилгээ хийх болно.

y = |f(x)| функцийн график.

Функцийг зурах нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг у = |f(x)|, хаана f(x) -өгөгдсөн функц. Үүнийг хэрхэн хийснийг санаарай. Тооны үнэмлэхүй утгын тодорхойлолтоор хүн бичиж болно

Энэ нь функцийн график гэсэн үг юм y=|f(x)|график, функцээс авч болно у = f(x)дараах байдлаар: функцийн графикийн бүх цэгүүд у = f(x), ординатууд нь сөрөг бус байвал өөрчлөгдөхгүй байх; цаашлаад функцийн графикийн цэгүүдийн оронд у = f(x), сөрөг координаттай бол функцийн графикийн харгалзах цэгүүдийг байгуулах хэрэгтэй у = -f(x)(жишээ нь функцийн графикийн хэсэг
у = f(x), тэнхлэгийн доор байрладаг X,тэнхлэгт тэгш хэмтэй туссан байх ёстой X).

Жишээ 2Функцийг зурах y = |x|.

Бид функцийн графикийг авдаг у = x(Зураг 50, а) ба энэ графикийн хэсэг нь хэзээ X< 0 (тэнхлэгийн доор хэвтэж байна X) тэнхлэгт тэгш хэмтэй туссан X. Үүний үр дүнд бид функцийн графикийг олж авна y = |x|(Зураг 50, b).

Жишээ 3. Функцийг зурах y = |x 2 - 2x|.

Эхлээд бид функцийг зурна y = x 2 - 2x.Энэ функцийн график нь парабол бөгөөд түүний салбарууд дээшээ чиглэсэн, параболын дээд хэсэг нь координаттай (1; -1), түүний график нь абсцисса тэнхлэгийг 0 ба 2 цэгт огтолж байна. (0; 2) интервал дээр ) функц нь сөрөг утгыг авдаг тул графикийн энэ хэсэг нь x тэнхлэгт тэгш хэмтэй тусдаг. Зураг 51-т функцийн графикийг үзүүлэв y \u003d |x 2 -2x |, функцийн график дээр үндэслэсэн y = x 2 - 2x

y = f(x) + g(x) функцийн график

Функцийн графикийн асуудлыг авч үзье y = f(x) + g(x).Хэрэв функцүүдийн график өгөгдсөн бол у = f(x)болон у = g(x).

Функцийн муж y = |f(x) + g(х)| гэдгийг анхаарна уу нь y = f(x) ба y = g(x) функц хоёулаа тодорхойлогдсон x-ийн бүх утгуудын олонлог, өөрөөр хэлбэл энэ тодорхойлолтын муж нь f(x) функцүүдийн огтлолцол юм. ) ба g(x).

Оноо өгье (x 0, y 1) ба (x 0, y 2) функцын графикт тус тус хамаарна у = f(x)болон у = g(x), өөрөөр хэлбэл y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0).Тэгвэл (x0;. y1 + y2) цэг нь функцийн графикт хамаарна y = f(x) + g(x)(for f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. функцийн графикийн дурын цэг y = f(x) + g(x)ийм байдлаар авч болно. Тиймээс функцийн график y = f(x) + g(x)функцийн графикаас авч болно у = f(x). болон у = g(x)цэг бүрийг солих замаар ( x n, y 1) функциональ график у = f(x)цэг (x n, y 1 + y 2),хаана y 2 = g(x n), өөрөөр хэлбэл, цэг бүрийг шилжүүлэх замаар ( x n, y 1) функциональ график у = f(x)тэнхлэгийн дагуу цагтхэмжээгээр y 1 \u003d г (x n). Энэ тохиолдолд зөвхөн ийм цэгүүдийг авч үзнэ. X n, аль аль нь функцийг тодорхойлсон у = f(x)болон у = g(x).

Функцийн график зурах энэ арга у = f(x) + g(x) функцын график нэмэх гэж нэрлэдэг у = f(x)болон у = g(x)

Жишээ 4. Зураг дээр график нэмэх аргын дагуу функцийн графикийг байгуулав
y = x + sinx.

Функцийг зурахдаа y = x + sinxгэж бид таамагласан f(x) = x,а g(x) = sinx.Функцийн график байгуулахын тулд бид -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 абсциссатай цэгүүдийг сонгоно. Утга f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxбид сонгосон цэгүүд дээр тооцоолж, үр дүнг хүснэгтэд байрлуулна.

Модулиудыг агуулсан функцүүдийн графикийг бүтээх нь ихэвчлэн сургуулийн хүүхдүүдэд ихээхэн бэрхшээл учруулдаг. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч муу биш юм. Ийм асуудлыг шийдэх хэд хэдэн алгоритмыг санах нь хангалттай бөгөөд та хамгийн төвөгтэй мэт санагдах функцийг ч хялбархан зурах боломжтой. Эдгээр алгоритмууд юу болохыг харцгаая.

1. y = |f(x)| функцийн графикийг зурах

Функцийн утгуудын багц y = |f(x)| гэдгийг анхаарна уу : y ≥ 0. Иймд ийм функцүүдийн графикууд үргэлж дээд хагас хавтгайд бүрэн байрладаг.

y = |f(x)| функцийн графикийг зурах дараах энгийн дөрвөн алхамаас бүрдэнэ.

1) y = f(x) функцийн графикийг анхааралтай, болгоомжтой байгуул.

2) Графикийн 0х тэнхлэг дээрх эсвэл дээрх бүх цэгүүдийг өөрчлөхгүй орхино.

3) Графикийн 0x тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь 0x тэнхлэгийн ойролцоо тэгш хэмтэй харагдана.

Жишээ 1. y = |x 2 - 4x + 3| функцийн графикийг зур.

1) Бид y \u003d x 2 - 4x + 3 функцийн графикийг бүтээдэг. Энэ функцийн график нь парабол болох нь ойлгомжтой. Параболын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцсон бүх цэгүүдийн координат ба параболын оройн координатыг олъё.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Тиймээс парабол 0x тэнхлэгийг (3, 0) ба (1, 0) цэгүүдээр огтолж байна.

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Тиймээс парабол 0y тэнхлэгийг (0, 3) цэг дээр огтолж байна.

Парабола оройн координатууд:

x in \u003d - (-4/2) \u003d 2, y in \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Тиймээс (2, -1) цэг нь энэ параболын орой юм.

Хүлээн авсан өгөгдлийг ашиглан парабола зур (Зураг 1)

2) Графикийн 0x тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь 0x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдаж байна.

3) Бид анхны функцийн графикийг авна ( будаа. 2, тасархай шугамаар харуулсан).

2. y = f(|x|) функцийн графикийг зурах

y = f(|x|) хэлбэрийн функцууд тэгш байна:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Энэ нь ийм функцуудын графикууд 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна гэсэн үг юм.

y = f(|x|) функцийн графикийг зурах нь дараах энгийн үйлдлийн гинжин хэлхээнээс бүрдэнэ.

1) y = f(x) функцийн графикийг зур.

2) Графикийн х ≥ 0, өөрөөр хэлбэл баруун хагас хавтгайд байрлах графын хэсгийг үлдээгээрэй.

3) (2)-д заасан графикийн хэсгийг 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэйгээр харуулна.

4) Төгсгөлийн график болгон (2) ба (3) зүйлд олж авсан муруйнуудын нэгдлийг сонгоно.

Жишээ 2. y = x 2 – 4 · |x| функцийн графикийг зур + 3

Учир нь x 2 = |x| 2 , дараа нь анхны функцийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Одоо бид дээр санал болгосон алгоритмыг ашиглаж болно.

1) Бид y \u003d x 2 - 4 x + 3 функцийн графикийг анхааралтай, болгоомжтой бүтээдэг (мөн үзнэ үү. будаа. нэг).

2) Бид графикийн х ≥ 0, өөрөөр хэлбэл баруун хагас хавтгайд байрлах графикийн хэсгийг үлдээнэ.

3) Графикийн баруун талыг 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдлаар харуул.

(Зураг 3).

Жишээ 3. y = log 2 |x| функцийн графикийг зур

Бид дээр дурдсан схемийг ашигладаг.

1) Бид y = log 2 x функцийг зурна (Зураг 4).

3. y = |f(|x|)| функцийн графикийг зурах

y = |f(|x|)| хэлбэрийн функцууд гэдгийг анхаарна уу бас жигд байна. Үнэхээр y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), тиймээс тэдгээрийн графикууд 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Ийм функцүүдийн утгуудын багц: y ≥ 0. Иймээс ийм функцүүдийн графикууд нь дээд хагас хавтгайд бүрэн байрлана.

y = |f(|x|)| функцийг зурахын тулд та:

1) y = f(|x|) функцийн цэвэр графикийг байгуул.

2) Графикийн 0х тэнхлэг дээрх эсвэл дээр байгаа хэсгийг өөрчлөхгүй.

3) Графикийн 0x тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг 0x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуулах ёстой.

4) Төгсгөлийн график болгон (2) ба (3) зүйлд олж авсан муруйнуудын нэгдлийг сонгоно.

Жишээ 4. y = |-x 2 + 2|x| функцийн графикийг зур. – 1|.

1) x 2 = |x| гэдгийг анхаарна уу 2. Эндээс анхны функцийн оронд y = -x 2 + 2|x| - нэг

y = -|x| функцийг ашиглаж болно 2 + 2|x| – 1, учир нь тэдгээрийн графикууд ижил байна.

Бид y = -|x| график байгуулна 2 + 2|x| – 1. Үүний тулд бид 2-р алгоритмыг ашигладаг.

a) Бид y \u003d -x 2 + 2x - 1 функцийг зурдаг (Зураг 6).

б) Бид графикийн баруун талын хагас хавтгайд байрлах хэсгийг орхино.

в) Графикийн үр дүнгийн хэсгийг 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэйгээр харуул.

d) Үүссэн графикийг зурган дээр тасархай шугамаар үзүүлэв (Зураг 7).

2) 0x тэнхлэгээс дээш цэг байхгүй, бид 0x тэнхлэг дээрх цэгүүдийг өөрчлөгдөөгүй үлдээдэг.

3) Графикийн 0x тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь 0x-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдаж байна.

4) Үүссэн графикийг зурган дээр тасархай шугамаар үзүүлэв (Зураг 8).

Жишээ 5. y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| функцийн графикийг зур.

1) Эхлээд та y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) функцийн графикийг зурах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид 2-р алгоритм руу буцна.

a) y = (2x – 4) / (x + 3) функцийг анхааралтай зур. (Зураг 9).

Энэ функц нь шугаман бутархай бөгөөд түүний график нь гипербола гэдгийг анхаарна уу. Муруй зурахын тулд эхлээд графикийн асимптотуудыг олох хэрэгтэй. Хэвтээ - y \u003d 2/1 (бутархайн тоо ба хуваагч дахь x дээрх коэффициентүүдийн харьцаа), босоо - x \u003d -3.

2) Графикийн 0x тэнхлэгийн дээр эсвэл дээр байгаа хэсэг өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.

3) 0x тэнхлэгийн доор байрлах диаграмын хэсэг нь 0x-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдах болно.

4) Эцсийн графикийг зурагт үзүүлэв (Зураг 11).

материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.