Μαθηματική ανάλυση, λειτουργική ανάλυση. Μαθηματική ανάλυση, λειτουργική ανάλυση Μαθηματική ανάλυση

18.01.2022

αντίγραφο

2 Μαθηματική ανάλυση 1. Πληρότητα: υπέρτατο και infimum ενός αριθμητικού συνόλου. Η αρχή των ένθετων τμημάτων. Ο παραλογισμός του αριθμού Το θεώρημα για την ύπαρξη ορίου μονότονης ακολουθίας. αριθμός e. 3. Ισοδυναμία ορισμών του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της γλώσσας και στη γλώσσα των ακολουθιών. Δύο μεγάλα όρια. 4. Συνέχεια συνάρτησης μιας μεταβλητής σε σημείο, σημεία ασυνέχειας και ταξινόμηση τους. Ιδιότητες μιας συνάρτησης συνεχούς σε ένα τμήμα. 5. Θεωρήματα Weierstrass για τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης που ορίζεται σε ένα τμήμα. 6. Ομοιομορφία συνέχειας. Θεώρημα Cantor. 7. Η έννοια της παραγώγου και της διαφοροποίησης συνάρτησης μιας μεταβλητής, διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης. 8. Παράγωγοι και διαφορικά υψηλότερων τάξεων συνάρτησης μιας μεταβλητής. 9. Διερεύνηση συνάρτησης με χρήση παραγώγων (μονοτονία, άκρα, σημεία κυρτότητας και καμπής, ασύμπτωτα). 10. Παραμετρικά δοσμένες συναρτήσεις και η διαφοροποίησή τους. 11. Θεωρήματα Rolle, Lagrange και Cauchy. 12. Κανόνας του L'Hopital. 13. Ο τύπος του Taylor με υπολειπόμενο όρο με τη μορφή Lagrange. 14. Τοπικός τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Peano. Επέκταση βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων με τον τύπο Taylor. 15. Κριτήριο ενσωμάτωσης Riemann για μια συνάρτηση. Κατηγορίες ενσωματώσιμων συναρτήσεων. 16. Το θεώρημα για την ύπαρξη αντιπαραγώγου για κάθε συνεχή συνάρτηση. Τύπος Newton-Leibniz. 17. Ολοκλήρωση κατά μέρη και αλλαγή μεταβλητής στο αόριστο ολοκλήρωμα. Ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων. 18. Μέθοδοι υπολογισμού κατά προσέγγιση ορισμένων ολοκληρωμάτων: μέθοδοι ορθογωνίων, τραπεζοειδών, παραβολών. 19. Ορισμένο ολοκλήρωμα με μεταβλητό άνω όριο. θεωρήματα μέσης τιμής. 20. Γεωμετρικές εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος: το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος, ο όγκος ενός σώματος στο διάστημα. 21. Power series; επέκταση των λειτουργιών σε μια σειρά ισχύος. 22. Ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου και δεύτερου είδους. Σημάδια σύγκλισης. 23. Οι απλούστερες συνθήκες για ομοιόμορφη σύγκλιση και διαφοροποίηση όρων προς όρο τριγωνομετρικών σειρών Fourier. 24. Επαρκείς προϋποθέσεις για διαφοροποίηση σε σημείο συνάρτησης πολλών μεταβλητών. 25. Ορισμός, ύπαρξη, συνέχεια και διαφοροποίηση μιας άρρητης συνάρτησης. 26. Απαραίτητη προϋπόθεση για ακρότητα υπό όρους. Μέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange. 27. Σειρά αριθμών. Κριτήριο Cauchy για σύγκλιση σειρών. 28. Τεστ Cauchy για τη σύγκλιση θετικών σειρών 29. Δοκιμή d'Alembert για τη σύγκλιση θετικών σειρών 30. Θεώρημα Leibniz για τη σύγκλιση μιας εναλλασσόμενης σειράς. 31. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτησιακών σειρών. 32. Επαρκείς προϋποθέσεις για συνέχεια, ολοκληρωσιμότητα και διαφοροποίηση του αθροίσματος μιας συναρτησιακής σειράς. 33. Η δομή του συνόλου σύγκλισης μιας αυθαίρετης συναρτησιακής σειράς. Ο τύπος Cauchy-Hadamard και η δομή του συνόλου σύγκλισης μιας σειράς ισχύος.

3 34. Πολλαπλό ολοκλήρωμα Riemann, η ύπαρξή του. 35. Αναγωγή πολλαπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο. Αναφορές 1. Kartashev, A.P. Μαθηματική ανάλυση: σχολικό βιβλίο - 2η έκδ., στερεότυπο - Αγία Πετρούπολη: Lan, σελ. 2. Kirkinsky, A.S. Μαθηματική ανάλυση: εγχειρίδιο για τα πανεπιστήμια - Μ.: Ακαδημαϊκή εργασία, σελ. 3. Kudryavtsev, L.D. Ένα σύντομο μάθημα στη μαθηματική ανάλυση. V. 1, 2. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Αρμονική ανάλυση: ένα εγχειρίδιο για φοιτητές.- Εκδ. 3ο, αναθεωρημένο - Μόσχα: Fizmatlit, σελ. 4. Μαθηματική ανάλυση. Τ. 1.2: / εκδ. V.A. Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. Τ. 1, 2.- Εκδ. 4ο, αναθεωρημένο. και επιπλέον - Μόσχα: Nauka, σελ. 6. Ilyin, V.A. Βασικές αρχές μαθηματικής ανάλυσης. Μέρος 1, 2. - Εκδ. 4ο, αναθεωρημένο. και επιπλέον - Μόσχα: Nauka, σελ. Διαφορικές εξισώσεις. 1. Το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για τη λύση του προβλήματος Cauchy για μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. 2. Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για τη λύση του προβλήματος Cauchy για μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης 3. Θεώρημα για τη συνεχή εξάρτηση της λύσης του προβλήματος Cauchy για μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης από παραμέτρους και αρχικά δεδομένα . 4. Θεώρημα διαφοροποίησης για τη λύση του προβλήματος Cauchy για μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς τις παραμέτρους και τα αρχικά δεδομένα. 5. Γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΟΔΕ). Γενικές ιδιότητες. Ομογενής ΟΔΕ. Σύστημα θεμελιωδών αποφάσεων. Βρόνσκιαν. Φόρμουλα Λιουβίλ. Γενική λύση ομοιογενούς ΟΔΕ. 6. Ανομοιογενείς γραμμικές συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις. Κοινή απόφαση. Μέθοδος μεταβολής σταθερών του Lagrange. 7. Ομογενείς γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Χτίζοντας ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων. 8. Ανομοιογενείς γραμμικές συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές με ανομοιογένεια σε μορφή οιονεί πολυωνύμου (περιπτώσεις μη συντονισμού και συντονισμού). 9. Ομογενές σύστημα γραμμικών συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων (ΟΔΕ). Σύστημα θεμελιωδών αποφάσεων και θεμελιώδης πίνακας. Βρόνσκιαν. Φόρμουλα Λιουβίλ. Δομή της γενικής λύσης ομοιογενούς συστήματος ΟΔΕ. 10. Ανομοιογενές σύστημα γραμμικών συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Μέθοδος μεταβολής σταθερών του Lagrange. 11. Ομοιογενές σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Χτίζοντας ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων. 12. Ανομοιογενές σύστημα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές με ανομοιογένεια σε μορφή πίνακα με στοιχεία οιονεί πολυωνύμων (περιπτώσεις μη συντονισμού και συντονισμού). 13. Δήλωση προβλημάτων οριακής τιμής για γραμμική συνηθισμένη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης. Ειδικές συναρτήσεις προβλημάτων οριακής τιμής και ρητές αναπαραστάσεις τους. Η συνάρτηση του Green και οι ρητές αναπαραστάσεις του. ολοκληρωμένη αναπαράσταση

4 λύσεις στο πρόβλημα της οριακής τιμής. Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για λύση προβλήματος οριακής τιμής. 14. Αυτόνομα συστήματα. Ιδιότητες διαλύματος. Ενικά σημεία ενός γραμμικού αυτόνομου συστήματος δύο εξισώσεων. Σταθερότητα και ασυμπτωτική σταθερότητα με την έννοια του Lyapunov. Σταθερότητα ομοιογενούς συστήματος γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μεταβλητό πίνακα. 15. Σταθερότητα στην Πρώτη Προσέγγιση Συστήματος Μη Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Η δεύτερη μέθοδος του Lyapunov. Βιβλιογραφία 1. Samoilenko, A.M. Διαφορικές εξισώσεις: ένα πρακτικό μάθημα: ένα εγχειρίδιο για φοιτητές.- Εκδ. 3ο, αναθεωρημένο - Μόσχα: Ανώτατο Σχολείο, σελ. 2. Agafonov, S.A. Διαφορικές εξισώσεις: σχολικό βιβλίο - 4η έκδ. 3. Egorov, A.I. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις με εφαρμογές - Εκδ. 2ο, διορθώθηκε - Μόσχα: FIZMATLIT, σελ. 4. Pontryagin, L.S. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - Εκδ. 6η - Μόσχα; Izhevsk: Κανονική και χαοτική δυναμική, σελ. 5. Tikhonov, A.N. Διαφορικές εξισώσεις: εγχειρίδιο για μαθητές φυσικών ειδικοτήτων και της ειδικότητας «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά» .- Εκδ. 4ο, στερ. - Μόσχα: Fizmatlit, σελ. 6. Philips, G. Διαφορικές εξισώσεις: μετάφραση από τα αγγλικά / G. Philips; επιμέλεια A.Ya. Khinchin - 4η έκδ., στερ. - Μόσχα: KomKniga, σελ. Άλγεβρα και θεωρία αριθμών 1. Ορισμός ομάδας, δακτυλίου και πεδίου. Παραδείγματα. Κατασκευή πεδίου μιγαδικών αριθμών. Αύξηση σε δύναμη μιγαδικών αριθμών. Εξαγωγή της ρίζας από μιγαδικούς αριθμούς. 2. Άλγεβρα πινάκων. Τύποι πινάκων. Πράξεις σε πίνακες και τις ιδιότητές τους. 3. Ορίζουσες πινάκων. Ορισμός και βασικές ιδιότητες των οριζόντων. Αντίστροφοι πίνακες. 4. Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Έρευνα SLAU. Μέθοδος Gauss. Ο κανόνας του Cramer. 5. Δακτύλιος πολυωνύμων σε μία μεταβλητή. Θεώρημα διαίρεσης με υπόλοιπο. GCD δύο πολυωνύμων. 6. Ρίζες και πολλαπλές ρίζες πολυωνύμου. Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (χωρίς απόδειξη). 7. Γραμμικοί χώροι. Παραδείγματα. Βάση και διάσταση γραμμικών χώρων. Πίνακας μετάβασης από τη μία βάση στη δεύτερη βάση. 8. Υποχώροι. Λειτουργίες σε υποχώρους. Άμεσο άθροισμα υποχώρων. Κριτήρια για το άμεσο άθροισμα υποχώρων. 9. Κατάταξη Matrix. Συμβατότητα SLAU. Το θεώρημα Kronecker-Capelli. 10. Ευκλείδειοι και ενιαίοι χώροι. Μετρικές έννοιες σε ευκλείδειους και ενιαίους χώρους. Ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky. 11. Ορθογώνια συστήματα διανυσμάτων. διαδικασία ορθογωνοποίησης. Ορθοκανονικές βάσεις. 12. Υποχώροι ενιαίων και Ευκλείδειων χώρων. ορθογώνια προσθήκη. 13. Γραμμικοί τελεστές σε γραμμικούς χώρους και πράξεις σε αυτούς. Γραμμικός πίνακας χειριστή. Γραμμικοί πίνακες χειριστή σε διαφορετικές βάσεις.

5 14. Εικόνα και πυρήνας, κατάταξη και ελάττωμα γραμμικού τελεστή. Διάσταση πυρήνα και εικόνα. 15. Αμετάβλητοι υποχώροι γραμμικού τελεστή. Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές ενός γραμμικού τελεστή. 16. Κριτήριο διαγωνισιμότητας γραμμικού τελεστή. Θεώρημα Hamilton-Cayley. 17. Ιορδανία βάση και Jordan κανονική μορφή του πίνακα ενός γραμμικού τελεστή. 18. Γραμμικοί τελεστές σε Ευκλείδειους και ενιαίους χώρους. Συζυγείς, κανονικοί τελεστές και οι απλές ιδιότητές τους. 19. Τετραγωνικές μορφές. Κανονική και κανονική μορφή τετραγωνικών μορφών. 20. Τετραγωνικοί τύποι σταθερού πρόσημου, κριτήριο Sylvester. 21. Ο λόγος της διαιρετότητας στον δακτύλιο των ακεραίων. Θεώρημα διαίρεσης με υπόλοιπο. GCD και LCM ακεραίων. 22. Συνέχεια (Συνέχεια) Κλάσματα. Κατάλληλα κλάσματα. 23. Πρώτοι αριθμοί. Κόσκινο του Ερατοσθένη. Το θεώρημα για το άπειρο των πρώτων αριθμών. Αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες 24. Συνάρτηση Ant'e. πολλαπλασιαστική συνάρτηση. Συνάρτηση Möbius. Λειτουργία Euler. 25. Συγκρίσεις. Βασικές ιδιότητες. Ολοκληρωμένο σύστημα τιμολόγησης. Το δεδομένο σύστημα εκπτώσεων. Θεωρήματα Euler και Fermat. 26. Συγκρίσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Σύστημα σύγκρισης πρώτου βαθμού. Θεώρημα κινεζικού υπολοίπου. 27. Συγκρίσεις κάθε βαθμού modulo composite. 28. Συγκρίσεις δευτέρου βαθμού. Το σύμβολο του Legendre. 29. Πρωτόγονες ρίζες. 30. Ευρετήρια. Εφαρμογή δεικτών για την επίλυση συγκρίσεων. Βιβλιογραφία 1. Kurosh, A.G. Διαλέξεις για τη γενική άλγεβρα: σχολικό βιβλίο / A.G. Kurosh - 2η έκδ., στερ. - Αγία Πετρούπολη: Εκδοτικός Οίκος "Lan", σελ. 2. Birkhoff, G. Modern εφαρμοσμένη άλγεβρα: εγχειρίδιο / Garrett Birkhoff, Thomas C. Barty; μετάφραση από τα αγγλικά από τον Yu.I. Manina.- 2nd ed., St. Petersburg: Lan, p. 3. Ilyin, V.A. Γραμμική άλγεβρα: εγχειρίδιο για μαθητές φυσικών ειδικοτήτων και της ειδικότητας «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά». - Εκδ. 5ος, στερ. - Μόσχα: FIZMATLIT, Kostrikin, A.I. Εισαγωγή στην άλγεβρα. Μέρος 1. Βασικά στοιχεία της άλγεβρας: εγχειρίδιο για φοιτητές που σπουδάζουν στις ειδικότητες «Μαθηματικά» και «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά» .- Εκδ. 2η, διορθώθηκε - Μόσχα: FIZMATLIT, Vinogradov, I.M. Βασικές αρχές της θεωρίας αριθμών: σχολικό βιβλίο.- Εκδ. 11η - Αγία Πετρούπολη; Μόσχα; Krasnodar: Lan, σελ. 6. Bukhshtab, Α.Α. Θεωρία αριθμών: εγχειρίδιο - 3η έκδ., στερεότυπο - Αγία Πετρούπολη; Μόσχα; Krasnodar: Lan, σελ. Γεωμετρία 1. Βαθμώδη, διανυσματικά και μικτά γινόμενα διανυσμάτων και οι ιδιότητές τους. 2. Εξίσωση ευθείας σε επίπεδο που ορίζεται με διάφορους τρόπους. Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών. Γωνία μεταξύ δύο γραμμών. 3. Μετασχηματισμός συντεταγμένων κατά τη μετάβαση από το ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ένα άλλο. 4. Πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. 5. Έλειψη, υπερβολή και παραβολή και οι ιδιότητές τους. 6. Ταξινόμηση γραμμών δεύτερης τάξης.

6 7. Εξίσωση επιπέδου που ορίζεται με διάφορους τρόπους. Αμοιβαία διάταξη δύο αεροπλάνων. Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο. Γωνία μεταξύ δύο επιπέδων. 8. Εξισώσεις ευθείας στο χώρο. Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών, μιας ευθείας και ενός επιπέδου. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή. Η γωνία μεταξύ δύο γραμμών, μιας γραμμής και ενός επιπέδου. 9. Ελλειψοειδή, υπερβολοειδή και παραβολοειδή. Ευθύγραμμες γεννήτριες επιφανειών δεύτερης τάξης. 10. Επιφάνειες επανάστασης. Κυλινδρικές και κωνικές επιφάνειες. 11. Ορισμός στοιχειώδους καμπύλης. Τρόποι για να ορίσετε μια καμπύλη. Μήκος καμπύλης (ορισμός και υπολογισμός). 12. Καμπυλότητα και στρέψη καμπύλης. 13. Συνοδευτικό πλαίσιο λείας καμπύλης. Φόρμουλες Frenet. 14. Η πρώτη τετραγωνική μορφή λείας επιφάνειας και οι εφαρμογές της. 15. Η δεύτερη τετραγωνική μορφή λείας επιφάνειας, η κανονική καμπυλότητα της επιφάνειας. 16. Κύριες κατευθύνσεις και κύριες καμπυλότητες επιφάνειας. 17. Γραμμές καμπυλότητας και ασυμπτωτικές γραμμές επιφάνειας. 18. Μέση και Gaussian καμπυλότητα επιφάνειας. 19. Τοπολογικός χώρος. Συνεχείς εμφανίσεις. Ομοιομορφισμοί. Παραδείγματα. 20. Euler χαρακτηριστικό μιας πολλαπλής. Παραδείγματα. Λογοτεχνία 1. Nemchenko, K.E. Αναλυτική γεωμετρία: σχολικό βιβλίο.- Μόσχα: Eksmo, σελ. 2. Dubrovin, Β.Α. Σύγχρονη Γεωμετρία: Μέθοδοι και Εφαρμογές. Τόμος 1, 2. Γεωμετρία και τοπολογία πολλαπλών - 5η έκδ. Rev.- Moscow: Editorial URSS, σελ. 3. Zhafyarov, A.Zh. Γεωμετρία. Στις 2 η ώρα, ένας οδηγός μελέτης - 2η έκδ. - Novosibirsk: Siberian University Publishing House, σελ. 4. Efimov, N.V. Ένα σύντομο μάθημα στην αναλυτική γεωμετρία: ένα εγχειρίδιο για φοιτητές τριτοβάθμιων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων - 13η έκδ. - Μόσχα: FIZMATLIT, σελ. 5. Ταϊμάνοφ, Ι.Α. Διαλέξεις για τη διαφορική γεωμετρία - Μόσχα; Izhevsk: Institute for Computer Research, σελ. 6. Atanasyan L.S., Bazyrev V.T. Γεωμετρία, μέρος 1,2. Μόσχα: Knorus, σελ. 7. Rashefsky P.S. Μάθημα διαφορικής γεωμετρίας. Μόσχα: Nauka, σελ. Θεωρία και μέθοδοι διδασκαλίας των μαθηματικών 1. Το περιεχόμενο της διδασκαλίας των μαθηματικών στο Λύκειο. 2. Διδακτικές αρχές διδασκαλίας των μαθηματικών. 3. Μέθοδοι επιστημονικής γνώσης. 4. Ορατότητα στη διδασκαλία των μαθηματικών. 5. Μορφές, μέθοδοι και μέσα παρακολούθησης και αξιολόγησης των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών. Πρότυπα σήμανσης. 6. Εξωσχολική εργασία στα μαθηματικά. 7. Μαθηματικές έννοιες και μέθοδοι σχηματισμού τους. 8. Τα καθήκοντα ως μέσο διδασκαλίας των μαθηματικών. 9. Σε βάθος μελέτη των μαθηματικών: περιεχόμενο, μέθοδοι και μορφές οργάνωσης της εκπαίδευσης. 10. Είδη μαθηματικών κρίσεων: αξίωμα, αξίωμα, θεώρημα.

7 11. Περίληψη του μαθήματος στα μαθηματικά. 12. Μάθημα μαθηματικών. Είδη μαθημάτων. Ανάλυση μαθήματος. 13. Η μελέτη των μαθηματικών σε ένα μικρό σχολείο: περιεχόμενο, μέθοδοι και μορφές οργάνωσης της εκπαίδευσης. 14. Νέες τεχνολογίες μάθησης. 15. Διαφοροποίηση διδασκαλίας μαθηματικών. 16. Εξατομίκευση της διδασκαλίας των μαθηματικών. 17. Κίνητρα εκπαιδευτικής δραστηριότητας μαθητών. 18. Λογική και διδακτική ανάλυση του θέματος. 19. Τεχνολογική προσέγγιση στη διδασκαλία των μαθηματικών 20. Εξανθρωπισμός και ανθρωποποίηση της διδασκαλίας των μαθηματικών. 21. Η εκπαίδευση στη διαδικασία διδασκαλίας των μαθηματικών. 22. Μέθοδοι μελέτης πανομοιότυπων μετασχηματισμών. 23. Μέθοδοι για τη μελέτη των ανισοτήτων. 24. Μέθοδοι μελέτης της συνάρτησης. 25. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Εξισώσεις και ανισώσεις με ενότητα». 26. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Καρτεσιανές συντεταγμένες». 27. Μέθοδοι μελέτης πολύεδρων και στρογγυλών σωμάτων. 28. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Διανύσματα». 29. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων για κίνηση. 30. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων για κοινή εργασία. 31. Μεθοδολογία μελέτης του θέματος «Τρίγωνα» 32. Μεθοδολογία μελέτης του θέματος «Κύκλος και κύκλος». 33. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων για κράματα και μείγματα. 34. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Παράγωγο και Ολοκληρωμένο». 35. Μεθοδολογία μελέτης του θέματος «Παράλογες εξισώσεις και ανισώσεις». 36. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων με παραμέτρους». 37. Μέθοδοι μελέτης των βασικών εννοιών της τριγωνομετρίας. 38. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Τριγωνομετρικές εξισώσεις» 39. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Τριγωνομετρικές ανισώσεις». 40. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις». 41. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Γενικές μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών». 42. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Τετράγωνες Εξισώσεις». 43. Μέθοδοι μελέτης των βασικών εννοιών της στερεομετρίας 44. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Συνήθη κλάσματα». 45. Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Χρήση της παραγώγου στη μελέτη των συναρτήσεων» Βιβλιογραφία 1. Argunov, B.I. Ένα σχολικό μάθημα στα μαθηματικά και τις μεθόδους διδασκαλίας του - Μόσχα: Εκπαίδευση, σελ. 2. Zemlyakov, A.N. Γεωμετρία στην 11η τάξη: μεθοδολογικές συστάσεις για σπουδές. A.V. Pogorelova: ένας οδηγός για έναν δάσκαλο - 3η έκδ., Δορ. - M .: Εκπαίδευση, σελ. 3. Η μελέτη της άλγεβρας στις τάξεις 7-9: ένα βιβλίο για τον δάσκαλο / Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, M.V. Tkacheva και άλλοι - 2η έκδοση. 4. Latyshev, L.K. Μετάφραση: θεωρία, πρακτική και μέθοδοι διδασκαλίας: εγχειρίδιο - 3η έκδ., στερ. - Μόσχα: Ακαδημία, σελ. 5. Μέθοδοι και τεχνολογία διδασκαλίας των μαθηματικών: ένα μάθημα διαλέξεων: ένα εγχειρίδιο για φοιτητές μαθηματικών σχολών ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων που σπουδάζουν στην κατεύθυνση (050200) της φυσικής και μαθηματικής αγωγής. - Μόσχα: Bustard, σελ.

8 6. Roganovsky, N.M. Μέθοδοι διδασκαλίας των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση: εγχειρίδιο - Μινσκ: Γυμνάσιο, σελ.

25. Ορισμός, ύπαρξη, συνέχεια και διαφοροποίηση μιας άρρητης συνάρτησης. 26. Απαραίτητη προϋπόθεση για ακρότητα υπό όρους. Μέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange. 27. Σειρά αριθμών. Κριτήριο σύγκλισης Cauchy

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Δημοσιονομικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "ΚΡΑΤΙΚΗ ΓΕΩΔΕΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΣΙΒΗΡΗΣ"

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Δημοκρατίας του Καζακστάν RSE REM «Εθνικό Πανεπιστήμιο της Ευρασίας. L.N. Gumilyov Τμήμα Θεμελιωδών Μαθηματικών ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ της εισαγωγικής εξέτασης στις διδακτορικές σπουδές

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Εκπαίδευσης "Chelyabinsk State University"

ΑΝΑΤΟΛΙΚΟ ΚΑΖΑΚΣΤΑΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΜ. D. SERIKBAYEVA Σχολή Πληροφορικής και Επιχειρήσεων ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ από τον Κοσμήτορα FITIB N.Denisova 2016 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

1. Σκοπός της μελέτης του κλάδου είναι: η εκπαίδευση ενός υψηλού επαγγελματία ειδικού που έχει μαθηματικές γνώσεις, δεξιότητες και ικανότητες να εφαρμόζει τα μαθηματικά ως εργαλείο λογικής ανάλυσης, αριθμητικής

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ivanovo State University Σχολή Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών

Σχολιασμός στο πρόγραμμα εργασίας του κλάδου Συγγραφέας Fedorov Yu.I., Αναπληρωτής Καθηγητής Όνομα του κλάδου: B1.B.05Mathematics

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ I Διαλέξεις 1 2 Ορίζοντες και πίνακες Διάλεξη 1 1.1. Η έννοια της μήτρας. Τύποι πινάκων... 19 1.1.1. Βασικοί ορισμοί... 19 1.1.2. Τύποι πινάκων... 19 1.2.* Μεταθέσεις και αντικαταστάσεις... 21 1.3.*

Κατάλογος ερωτήσεων εξέτασης: 1 εξάμηνο 1. Σύνολα και πράξεις σε αυτά. 2. Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων. 3. Οριακά σημεία. 4. Όριο ακολουθίας. 5. Όριο λειτουργίας. 6. Άπειρα μικρό.

«ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟΣ» Αναπληρωτής Διευθυντής του FMITI Pop E.N. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, μεταπτυχιακό πρόγραμμα «Σύνθετη Ανάλυση»

Μεθοδικό υλικό για δασκάλους. Υποδειγματικά σχέδια για διαλέξεις. Ενότητα «Άλγεβρα: βασικές αλγεβρικές δομές, γραμμικοί χώροι και γραμμικές αντιστοιχίσεις» Διάλεξη 1 με θέμα «Σύνθετες

Πρόλογος Κεφάλαιο Ι. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Πίνακες 1.1. Βασικές έννοιες 1.2. Ενέργειες σε πίνακες 2. Ορίζοντες 2.1. Βασικές έννοιες 2.2. Ιδιότητες οριζόντων 3. Μη εκφυλισμένοι πίνακες 3.1.

ΕΓΚΡΙΝΩ Τμήμα Φυσικομαθηματικών Κλάδων Ε.Ν.

Αυτό το μάθημα διαλέξεων απευθύνεται σε όλες τις κατηγορίες φοιτητών πανεπιστημίου που σπουδάζουν ανώτερα μαθηματικά με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το πρώτο μέρος περιέχει το απαραίτητο υλικό για 9 ενότητες του μαθήματος των ανώτερων μαθηματικών,

4. Σχολιασμός στο πρόγραμμα εργασίας του κλάδου Συγγραφέας Fedorov Yu.I., Αναπληρωτής Καθηγητής Όνομα κλάδου: B1.B.04 Ανώτερα μαθηματικά

1. Ο σκοπός και οι στόχοι του κλάδου Μαθηματική Ανάλυση

Υπουργείο Επιστημών και Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Προϋπολογιστικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Εκπαίδευσης Κρατικό Πανεπιστήμιο Καλούγκα. Κ.Ε. Τσιολκόφσκι"

NAN CHOU VO Academy of Marketing and Social Information Technologies ΣΧΟΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΕΙΘΑΡΧΙΑΣ Κατεύθυνση εκπαίδευσης 10.03.01 «Ασφάλεια πληροφοριών» προσανατολισμός (προφίλ) του προγράμματος Οργάνωση

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΑΜΑΡΑ" Μηχανική και Μαθηματικά

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 15 Κεφάλαιο Ι. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Πίνακες... 16 1.1. Βασικές έννοιες... 16 1.2. Ενέργειες σε πίνακες... 17 2. Ορίζουσες... 20 2.1. Βασικές έννοιες... 20 2.2. Ιδιότητες

ΑΝΑΤΟΛΙΚΟ ΚΑΖΑΚΣΤΑΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΜ. D. SERIKBAYEV Σχολή Πληροφορικής και Ενέργειας ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ από τον Αντιπρύτανη Ακαδημαϊκού και Μεθοδικού Έργου Linok N.N. 2014

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "UFA STATE AVIATION TECHNICAL

Ερωτήσεις εισαγωγικών εξετάσεων στο μεταπτυχιακό στην ειδικότητα «6M070500-Μαθηματική και υπολογιστική μοντελοποίηση» Μαθηματική ανάλυση I, II, III 1. Πληρότητα: ύπαρξη ορίου μονοτονικής ακολουθίας.

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ Ανώτατης ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ "TYUMEN STATE OIL AND GAS UNIVERSITY" ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΒΕΡΝΗΤΙΚΗΣ, ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης «Ural State University. ΕΙΜΑΙ. Γκόρκι «Μαθηματικά – Μηχανική

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 3 Εισαγωγή 5 Μέρος πρώτο. Μαθηματική ανάλυση συναρτήσεων μιας μεταβλητής 10 Κεφάλαιο Ι. Πραγματικοί αριθμοί 10 1. Σύνολα. Σημειογραφία. Λογικά σύμβολα 10 2. Πραγματικοί αριθμοί

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης του Κρατικού Προϋπολογισμού Επαγγελματικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος της Επικράτειας του Κρασνοντάρ Μάθημα "Krasnodar Information Technology College"

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Κρατικό Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο Yaroslavl που ονομάστηκε από τον V.I. Κ.Δ. Ushinsky» U T V E R ZH D A Yu Α' Αντιπρύτανης M.V. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Novikov 20

Το πρόγραμμα της ολοκληρωμένης εξέτασης στην ειδικότητα 6Μ060100-Μαθηματικά

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΠΙΠΛΟΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Μαθηματική ανάλυση Θεωρία ορίων. Θεωρία σειρών. Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων. Βασικά θεωρήματα διαφορικού λογισμού. (θεώρημα μέσης τιμής,

Παράρτημα 3 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ FSAEI HPE «Kazan (Volga region) Federal University» ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ από τον Αντιπρύτανη R.G. Minzaripov 20 MP ΣΥΣΤΗΝΕΤΑΙ με Απόφαση του Επιστήμονα

Τμήμα Μαθηματικής Ανάλυσης και Θεωρίας Συναρτήσεων Πρόγραμμα μαθημάτων στο γνωστικό αντικείμενο Μαθηματική Ανάλυση Δείκτης ειδικότητας NF μάθημα I εξάμηνο 1 Κορυφαίος κλάδος Υποψήφιος Φυσικομαθηματικές Επιστήμες, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Budochkina

Σχολιασμός στο πρόγραμμα εργασίας του κλάδου Β1.Β.4 Μαθηματικά Κατεύθυνση εκπαίδευσης Προφίλ εκπαίδευσης 05.03.01 Γεωλογία Γεωφυσική Προσόντα (πτυχίο) πτυχιούχου Bachelor Μορφή σπουδών πλήρους φοίτησης Μάθημα 1,

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΕΙΟΥ ΑΥΤΟΝΟΜΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ "NOVOSIBIRSK NATIONAL RESEARCH STATE

(3) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών MMF Συγγραφέας του προγράμματος: Αναπληρωτής Καθηγητής MP Vishnevsky Λέκτορας: 1ο εξάμηνο 1. Εισαγωγή. Σύνολα και λειτουργίες σε αυτά. Ορισμός αντιστοιχίσεων. Μετρήσιμα σύνολα. Εγκυρος

Το πρόγραμμα της εισαγωγικής εξέτασης στο μεταπτυχιακό στην ειδικότητα «6M060100-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Μαθηματική ανάλυση Αριθμητική συνάρτηση και μέθοδοι ανάθεσής της. Όριο συνάρτησης και κύρια θεωρήματα, ορισμοί. Κριτήρια

ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟΥ ΤΕΣΤ σύμφωνα με το εκπαιδευτικό πρόγραμμα της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, το πρόγραμμα κατάρτισης επιστημονικού και παιδαγωγικού προσωπικού στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα του FSBEI HE "Oryol State University με όνομα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ για την τελική εξέταση στο γνωστικό αντικείμενο "Μαθηματική Ανάλυση" Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Στην προφορική εξέταση, ο μαθητής λαμβάνει δύο θεωρητικές ερωτήσεις και δύο εργασίες Σύνολο 66 ερωτήσεις ετησίως

Σχολιασμός του προγράμματος εργασίας του κλάδου Μαθηματική ανάλυση (όνομα του κλάδου) Κατεύθυνση εκπαίδευσης 03.03.02 φυσική Προφίλ εκπαίδευσης "Θεμελιώδης φυσική", "Φυσική του ατομικού πυρήνα και σωματιδίων"

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟ Ίδρυμα Ανώτατης Εκπαίδευσης ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΥΠΟ ΤΗΝ ΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ (παράρτημα Penza) Τμήμα Διοίκησης, Πληροφορικής και

Πρόγραμμα του μαθήματος «Μαθηματική Ανάλυση». Εξάμηνο 1 (72 ώρες διαλέξεων, 72 ώρες πρακτική εξάσκηση) Θεματικό σχέδιο διαλέξεων. I. Εισαγωγή στην ανάλυση. 1. Στοιχεία θεωρίας συνόλων. 2. Φυσικοί αριθμοί. Μαθηματικός

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ για την τελική εξέταση 7/8 στο γνωστικό αντικείμενο «Μαθηματική Ανάλυση» Πρόγραμμα «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά» Στην προφορική εξέταση ο μαθητής λαμβάνει δύο θεωρητικές ερωτήσεις και δύο εργασίες.. Τι είναι αριθμητικό

Πίνακες. Άλγεβρα και γεωμετρία 1. Ορίζουσες. Αποσύνθεση της ορίζουσας σε γραμμή και στήλη. Άλγεβρα 2. Γεωμετρικά διανύσματα. Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων. Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων.

Εγκρίθηκε στη συνεδρίαση του τμήματος «Μαθηματικά και Πληροφορική» Πρωτόκολλο 2 (25) «8» Σεπτεμβρίου 2015. κεφάλι Τμήμα Ph.D. Timshina D.V. Ερωτήσεις για το τεστ στο γνωστικό αντικείμενο "ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ"

Ταμεία Ταμεία ταμείων αξιολόγησης για το γνωστικό αντικείμενο Β.2.1 «Μαθηματική ανάλυση» για διαρκή παρακολούθηση προόδου και ενδιάμεση πιστοποίηση μαθητών στην κατεύθυνση 080100.62 «Οικονομικά» Θέμα

2 Ενδιάμεσες δοκιμασίες πιστοποίησης στον κλάδο: Κατάλογος ερωτήσεων για το τεστ στον κλάδο «Μαθηματικά» I εξάμηνο I Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας 1. Η έννοια των οριζόντων 2ης και 3ης τάξης, ο υπολογισμός τους και

MINORSKY V. P. Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά: Proc. επίδομα για τα πανεπιστήμια. 13η έκδ. Μ.: Εκδοτικός Οίκος Φυσικής και Μαθηματικής Λογοτεχνίας, 2010. 336 με ISBN 9785-94052-184-6. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΡΟΛΟΓΟ ΤΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑ

1 2 1. ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΠΡΑΚΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Πραγματοποιούνται πρακτικά μαθήματα στο γνωστικό αντικείμενο «Μαθηματικά» με στόχο: 1. Διαμόρφωση δεξιοτήτων: - συστηματοποίηση της γνώσης και πρακτικής

Κρατική Επιτροπή Επιστήμης και Ανώτατης Εκπαίδευσης της RSFSR ΚΡΑΤΙΚΗ ΓΕΩΔΕΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΣΙΒΗΡΗΣ V.P. Verbnaya D.A. KRYMSKIH E.S. PLYUSNINA ΑΝΩΤΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μεθοδολογικός οδηγός για μαθητές

GBOU SPO Prokopievsk Polytechnic College ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΕΙΘΑΡΧΙΑΣ "ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ" Προτείνεται για την ειδικότητα 30111 Δίκτυα υπολογιστών Όνομα τίτλου σπουδών βασικής κατάρτισης

ΣΥΝΤΟΜΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΣΤΕΡ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ» 2015 Ενότητα 1. Άλγεβρα και θεωρία αριθμών 1. Αλγεβρικές και τριγωνομετρικές μορφές μιγαδικού αριθμού.

Το πρόγραμμα της γραπτής εξέτασης στα «Ανώτατα Μαθηματικά» για το 1ο έτος των τμημάτων αλληλογραφίας της Οικονομικής Σχολής στη χειμερινή συνεδρία Η γραπτή εξέταση διεξάγεται για δύο ώρες. Στην εξέταση για κάθε μαθητή

ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΡΕΧΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΕΠΙΔΟΣΕΩΝ, ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΤΕΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΠΕΙΘΑΡΧΙΑΣ Ακαδημαϊκή πειθαρχία Β.2.1 - Μαθηματικά Προφίλ κατάρτισης: Διαχείριση παραγωγής Θέματα

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης SEI HPE "Pomor State University named by M.V. Lomonosov" ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ από τον Πρύτανη του Pomor State University που φέρει το όνομα M.V. Lomonosova I.R. Λουγκόφσκαγια

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Διανυσματική άλγεβρα και αναλυτική γεωμετρία. Ορισμός φορέα. Διανυσματική ισότητα. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα. Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση και συντεταγμένες.

2 Ενδιάμεσες βεβαιωτικές δοκιμασίες στον κλάδο: Κατάλογος ερωτήσεων για εξετάσεις στον κλάδο «Μαθηματικά» I Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας I εξάμηνο 1. Ορίζουσες. Ιδιότητες καθοριστικών παραγόντων. 2. Πίνακες. Είδη

Βιβλία. Κατεβάστε τα βιβλία DJVU, PDF δωρεάν. Δωρεάν ηλεκτρονική βιβλιοθήκη
V.A. Zorich, Μαθηματική Ανάλυση (Μέρος 2)

Μπορείτε (το πρόγραμμα θα το σημαδέψει με κίτρινο)
Μπορείτε να δείτε τη λίστα των βιβλίων για ανώτερα μαθηματικά ταξινομημένα αλφαβητικά.
Μπορείτε να δείτε τη λίστα των βιβλίων για ανώτερη φυσική ταξινομημένη αλφαβητικά.

Κυρίες και κύριοι!! Για να κατεβάσετε αρχεία ηλεκτρονικών εκδόσεων χωρίς «δυσλειτουργίες», κάντε κλικ στον υπογραμμισμένο σύνδεσμο με το αρχείο ΔΕΞΙΟ κουμπί του ποντικιού, επιλέξτε μια εντολή "Αποθήκευσε τον στόχο ως ..." ("Αποθήκευσε τον στόχο ως...") και αποθηκεύστε το αρχείο e-pub στον τοπικό σας υπολογιστή. Οι ηλεκτρονικές δημοσιεύσεις είναι συνήθως σε μορφές Adobe PDF και DJVU.

Κεφάλαιο IX. Συνεχείς αντιστοιχίσεις (γενική θεωρία)

§ 1. Μετρικός χώρος
1. Ορισμοί και παραδείγματα (11).
2. Ανοικτά και κλειστά υποσύνολα ενός μετρικού χώρου (13).
3. Υποχώρος του μετρικού χώρου (17).
4. Άμεσο γινόμενο μετρικών χώρων (18).

§ 2. Τοπολογικός χώρος
1. Βασικοί ορισμοί (19).
2. Υποχώρος του τοπολογικού χώρου (23).
3. Άμεσο γινόμενο τοπολογικών χώρων. (24).

§ 3. Compacta
1. Ορισμός και γενικές ιδιότητες ενός συμπαγούς (25).
2. Μετρικά συμπαγή (27).

§ 4. Ακτινοβολικοί τοπολογικοί χώροι

§ 5. Πλήρεις μετρικούς χώρους K Βασικοί ορισμοί και παραδείγματα (31).
2. Συμπλήρωση του μετρικού χώρου (34).

§ 6. Συνεχείς αποτυπώσεις τοπολογικών χώρων
1. Όριο οθόνης (38).
2. Συνεχείς αντιστοιχίσεις (40).

§ 7. Η αρχή των χαρτογραφήσεων συστολής

Κεφάλαιο Χ. Ο λογισμός από μια γενικότερη άποψη

§ 1. Γραμμικός νόρμας χώρος
1. Μερικά παραδείγματα γραμμικών χώρων ανάλυσης (50).
2. Κανόνας στο διανυσματικό χώρο (51).
3. Κλιμακωτό γινόμενο σε διανυσματικό χώρο (54).

§ 2. Γραμμικοί και πολυγραμμικοί τελεστές 67
1. Ορισμοί και παραδείγματα (57).
2. Ο κανόνας του χειριστή (64)).
3. Χώρος συνεχών χειριστών (64).

§ 3. Διαφορικό χαρτογράφησης
1. Χαρτογράφηση διαφοροποιήσιμου σε σημείο (69).
2. Γενικοί νόμοι διαφοροποίησης (70).
3. Μερικά παραδείγματα (71).
4. Μερικά παράγωγα αντιστοιχίσεων (77).

§ 4. Θεώρημα πεπερασμένης αύξησης και μερικά παραδείγματα χρήσης του
1. Θεώρημα πεπερασμένης αύξησης (80)
2. Μερικά παραδείγματα εφαρμογής του θεωρήματος της πεπερασμένης αύξησης (83).

§ 5. Παράγωγες αντιστοιχίσεις ανώτερων τάξεων
1. Ορισμός του ν. διαφορικού (87).
2. Παράγωγος ως προς το διάνυσμα και υπολογισμός των τιμών της νης διαφορικής (88).
3. Συμμετρία διαφορικών ανώτερης τάξης (89).
4. Μερικές παρατηρήσεις (91).

§ 6. Ο τύπος Taylor και η μελέτη των ακραίων
1. Τύπος Taylor για αντιστοιχίσεις (93).
2. Μελέτη εσωτερικών άκρων (94).
3. Μερικά παραδείγματα (96).

§ 7. Γενικό θεώρημα άρρητης συνάρτησης

Κεφάλαιο XI. Πολλαπλά ολοκληρώματα 115

§ 1. Το ολοκλήρωμα Riemann σε ένα ν-διάστατο διάστημα
1. Ορισμός του ολοκληρώματος (113).
2. Κριτήριο Lebesgue για την ολοκλήρωση μιας συνάρτησης με την έννοια του Pnman (115).
3. Κριτήριο Darboux (120).

§ 2. Ολοκληρωμένο πάνω από ένα σύνολο
1. Επιτρεπτά σετ (123).
2. Ολοκληρωμένο σε ένα σύνολο (124)
3. Μέτρο (όγκος) αποδεκτού συνόλου (125).

§ 3. Γενικές ιδιότητες του ολοκληρώματος
1. Ολοκληρωμένο ως γραμμικό συναρτητικό (127).
2. Προσθετικότητα του ολοκληρώματος (127).
3. Εκτιμήσεις του ολοκληρώματος (128).

§ 4. Αναγωγή πολλαπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο
1. Θεώρημα Fubini (131).
2. Μερικές συνέπειες (134).

§ 5. Αλλαγή μεταβλητών σε πολλαπλό ολοκλήρωμα 139
1. Δήλωση του ερωτήματος και ευρετική εξαγωγή του τύπου - μεταβολή μεταβλητών (139).
2. Μετρήσιμα σύνολα και ομαλές αντιστοιχίσεις (141).
3. Μονοδιάστατη θήκη (143).
4. Η περίπτωση του απλούστερου διαφορομορφισμού στο Rn (145).
5. Σύνθεση αντιστοιχίσεων και τύπος αλλαγής μεταβλητών (146).
6. Προσθετικότητα του ολοκληρώματος και συμπλήρωση της απόδειξης του τύπου για τη μεταβολή των μεταβλητών στο ολοκλήρωμα (147).
7. Μερικές συνέπειες και γενικεύσεις του τύπου για την αλλαγή των μεταβλητών σε πολλαπλά ολοκληρώματα (148).

§ 6. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα
1. Βασικοί ορισμοί (154).
2. Μείζονα προσέγγιση για τη σύγκλιση του ακατάλληλου ολοκληρώματος (157).
3. Αλλαγή μεταβλητών στο ακατάλληλο ολοκλήρωμα (159).

Κεφάλαιο XII. Επιφάνειες και διαφορικές μορφές σε Rn

§ 1. Επιφάνειες σε Rn

§ 2. Προσανατολισμός επιφάνειας

§ 3. Επιφανειακό άκρο και ο προσανατολισμός του
1. Επιφάνεια με ακμή (182).
2. Συντονισμός προσανατολισμού επιφάνειας και ακμών (184).

§ 4. Επιφάνεια στον Ευκλείδειο χώρο

§ 5. Εισαγωγή στις διαφορικές μορφές
1. Διαφορική μορφή, ορισμός και παραδείγματα (197).
2. Σημείωση συντεταγμένων της διαφορικής μορφής (200).
3. Εξωτερικό διαφορικό της μορφής (203).
4. Μεταφορά διανυσμάτων και σχημάτων σε αντιστοιχίσεις (206).
5. Μορφές σε επιφάνειες (209).

Κεφάλαιο XIII. Καμπυλόγραμμα και επιφανειακά ολοκληρώματα

§ 1. Ολοκλήρωμα διαφορικής μορφής
1. Αρχικά προβλήματα, ενδεικτικές σκέψεις, παραδείγματα (213).
2. Ορισμός του ολοκληρώματος του σχήματος πάνω από μια προσανατολισμένη επιφάνεια (219).

§ 2. Ογκομορφική, ολοκληρώματα πρώτου και δεύτερου είδους
1. Μάζα της επιφάνειας του υλικού (227).
2. Εμβαδόν της επιφάνειας ως αναπόσπαστο της μορφής (228).
3. Σχήμα όγκου (229).
4. Έκφραση του σχήματος του όγκου σε καρτεσιανές συντεταγμένες (231).
5. Ολοκληρώματα πρώτου και δεύτερου είδους (232).

§ 3. Βασικοί ολοκληρωτικοί τύποι ανάλυσης
1. Ο τύπος του Green (236).
2. Τύπος Gauss-Ostrogradsky (241).
3. Ο τύπος Stokes στο R3 (244).
4. Τύπος General Stokes (246).

Κεφάλαιο XIV. Στοιχεία διανυσματικής ανάλυσης και θεωρίας πεδίου

§ 1. Διαφορικές πράξεις διανυσματικής ανάλυσης 253
1. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία (253)
2. Διανυσματικά πεδία και φόρμες στο R3 (253).
3. Διαφορικοί τελεστές grad, rot, div και V (256).
4. Μερικοί διαφορικοί τύποι διανυσματικής ανάλυσης (259).
5. Διανυσματικές πράξεις σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες (261).

§ 2. Ολοκληρωτικοί τύποι θεωρίας πεδίου 270
1. Κλασικοί ολοκληρωτικοί τύποι σε διανυσματική σημείωση (270).
2. Φυσική ερμηνεία 273
3. Μερικοί περαιτέρω ολοκληρωμένοι τύποι (277)

§ 3. Δυνητικά πεδία
1. Δυναμικό διανυσματικού πεδίου (281).
2. Απαραίτητη προϋπόθεση για δυνατότητα (282).
3. Κριτήριο δυναμικότητας διανυσματικού πεδίου (288).
4. Τοπολογική δομή της περιοχής και δυναμικό (286).
5. Διανυσματικό δυναμικό. Ακριβή και κλειστά έντυπα (288).

§ 4. Παραδείγματα εφαρμογών
1. Εξίσωση θερμότητας (295).
2. Εξίσωση συνέχειας (297).
3. Βασικές εξισώσεις δυναμικής συνεχούς μέσου (298).
4. Κυματική εξίσωση (300).

Κεφάλαιο XV. Ενσωμάτωση διαφορικών μορφών στις πολλαπλές 305

§ 1. Μερικές υπενθυμίσεις από τη γραμμική άλγεβρα
1. Άλγεβρα fdrm (305).
2. Άλγεβρα λοξοσυμμετρικών μορφών (306).
3. Γραμμικές αντιστοιχίσεις γραμμικών χώρων και διπλές αντιστοιχίσεις διπλών χώρων (309). Εργασίες και ασκήσεις 310

§ 2. Ποικιλία.
1. Ορισμός πολλαπλής (312).
2. Λείες πολλαπλές και ομαλές χαρτογραφήσεις (317).
3. Προσανατολισμός, πολλαπλές και τα όριά της (320).
4. Διαμερισμός της ενότητας και πραγματοποίηση πολλαπλών ως επιφανειών στο Rn (323).

§ 3. Διαφορικές μορφές και ενσωμάτωσή τους σε πολλαπλές
1. Εφαπτόμενος χώρος σε πολλαπλότητα σε σημείο (329).
2. Διαφορική μορφή σε πολλαπλή (333).
3. Εξωτερικό διαφορικό (335).
4. Ολοκλήρωμα φόρμας πάνω από πολλαπλότητα (336).
5. Στόουκς τύπος (338).

§ 4. Κλειστά και ακριβή έντυπα σε πολλαπλή
1. Θεώρημα Πουανκαρέ (344).
2. Ομολογία και συνομολογία 348

Κεφάλαιο XVI. Ομοιόμορφη σύγκλιση και βασικές πράξεις ανάλυσης σε σειρές και οικογένειες συναρτήσεων 355

§ 1. Σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση
1. Σημειακή σύγκλιση (355). 2. Έκθεση των κύριων ερωτήσεων (356)
3. Σύγκλιση και ομοιόμορφη σύγκλιση οικογένειας συναρτήσεων ανάλογα με μια παράμετρο (358).
4. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση (361).

§ 2. Ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς συναρτήσεων
1. Βασικοί ορισμοί και κριτήριο για την ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς (363).
2. Το κριτήριο Weiergatrass για την ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς (366).
3. Σημάδι Abel-Dirichlet (368).

§ 3. Λειτουργικές ιδιότητες της οριακής συνάρτησης
1. Πραγματοποίηση του προβλήματος (373).
2. Συνθήκες μεταγωγής για δύο περάσματα στο όριο (374).
3. Συνέχεια και πέρασμα στο όριο (376).
4. Ενσωμάτωση και μετάβαση στο όριο (380).
5. Διαφοροποίηση και πέρασμα στο όριο (381).

§ 4. Συμπαγή και πυκνά υποσύνολα του χώρου συνεχών συναρτήσεων
1. Το θεώρημα Artsela-Ascoli (391).
2. Μετρικός χώρος (393)
3. Θεώρημα Stone (394).

Κεφάλαιο XVII. Ολοκληρώματα ανάλογα με μια παράμετρο

§ 1. Ιδιοολοκληρώματα ανάλογα με μια παράμετρο
1. Η έννοια του ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο (400).
2. Συνέχεια ολοκληρώματος ανάλογα με παράμετρο (401).
3. Διαφοροποίηση ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο (402).
4. Ενσωμάτωση ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο (405)

§ 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα ανάλογα με μια παράμετρο
1. Ομοιόμορφη σύγκλιση του ακατάλληλου ολοκληρώματος ως προς την παράμετρο (407).
2. Πέρασμα στο όριο κάτω από το πρόσημο ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος και τη συνέχεια ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο (415).
3. Διαφοροποίηση του ακατάλληλου ολοκληρώματος ως προς την παράμετρο (417).
4. Ενσωμάτωση του ακατάλληλου ολοκληρώματος ως προς την παράμετρο (420).

§ 3. Ολοκληρώματα Euler
1. Συνάρτηση βήτα (428).
2. Συνάρτηση γάμμα 429
3. Σχέση συναρτήσεων Γ και Δ (432).
4. Μερικά παραδείγματα (433).

§ 4. Συνέλιξη συναρτήσεων και αρχικές πληροφορίες για γενικευμένες συναρτήσεις
1. Συνέλιξη σε φυσικά προβλήματα (κύριοι προβληματισμοί) (439).
2. Μερικές γενικές ιδιότητες της συνέλιξης (442).
3. Δέλτα-όμοιες οικογένειες συναρτήσεων και το θεώρημα προσέγγισης Weierstrass (445).
4. Αρχικές ιδέες για τις διανομές (450).

§ 5. Πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με μια παράμετρο
1. Κατέχετε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο (463).
2. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με μια παράμετρο (467).
3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα με μεταβλητή ιδιομορφία (469).
4. Συνέλιξη, θεμελιώδης λύση και γενικευμένες συναρτήσεις στην πολυδιάστατη περίπτωση (473).

Κεφάλαιο XVIII Ο Reid Fourier και ο μετασχηματισμός Fourier

§ 1. Βασικές γενικές ιδέες που σχετίζονται με την έννοια μιας σειράς Fourier
1. Ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων (488).
2. Συντελεστές Fourier 494
3. Σειρά Fourier 499
4. Σε μια σημαντική πηγή ορθογώνιων συστημάτων συναρτήσεων στην ανάλυση (506).

§ 2. Τριγωνομετρική Σειρά Fourier
1. Βασικοί τύποι σύγκλισης της κλασικής σειράς Fourier (515)
2. Διερεύνηση της σημειακής σύγκλισης της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (520).
3. Ομαλότητα συνάρτησης και ρυθμός μείωσης των συντελεστών Fourier (530).
4. Πληρότητα του τριγωνομετρικού συστήματος 535

§ 3. Μετασχηματισμός Fourier
1. Αναπαράσταση συνάρτησης με το ολοκλήρωμα Fourier (551).
2. Κανονικότητα μιας συνάρτησης και ο ρυθμός μείωσης του μετασχηματισμού Fourier της (562)
3. Οι πιο σημαντικές ιδιότητες υλικού του μετασχηματισμού Fourier (566)
4. Παραδείγματα εφαρμογών (572).

Κεφάλαιο XIX. Ασυμπτωτικές επεκτάσεις

§ 1. Ασυμπτωτικός τύπος και ασυμπτωτική σειρά
1. Βασικοί ορισμοί (586).
2. Γενικές πληροφορίες για τις ασυμπτωτικές σειρές (591).
3. Ασύμπτωτη σειρά ισχύος 696

§ 2. Ασυμπτωτική συμπεριφορά ολοκληρωμάτων (μέθοδος Laplace)
1. Η ιδέα της μεθόδου του Laplace (602).
2. Η αρχή του εντοπισμού του μήκους του ολοκληρώματος Laplace (605).
3. Κανονικά ολοκληρώματα και ασυμπτωτικά τους 607
4. Κύριος όρος των ασυμπτωτικών του ολοκληρώματος Laplace (610).
5. Ασυμπτωτικές επεκτάσεις των ολοκληρωμάτων Laplace (613).

Σύντομη περίληψη του βιβλίου

Το βιβλίο αντικατοπτρίζει τη στενότερη σύνδεση μεταξύ του μαθήματος της κλασικής ανάλυσης και των σύγχρονων μαθηματικών μαθημάτων (άλγεβρα, διαφορική γεωμετρία, διαφορικές εξισώσεις, σύνθετη και συναρτησιακή ανάλυση). Το δεύτερο μέρος του σχολικού βιβλίου περιλαμβάνει τις ακόλουθες ενότητες: Πολυδιάστατο ολοκλήρωμα. Διαφορικές μορφές και η ολοκλήρωσή τους. Σειρές και ολοκληρώματα ανάλογα με μια παράμετρο (συμπεριλαμβανομένων σειρών και μετασχηματισμών Fourier, καθώς και ασυμπτωτικών επεκτάσεων).

Το κείμενο παρέχεται με ερωτήσεις και εργασίες που συμπληρώνουν την ύλη του βιβλίου και τα υπάρχοντα βιβλία προβλημάτων για την ανάλυση. Ένα οργανικό μέρος του κειμένου αποτελούν παραδείγματα εφαρμογών της ανεπτυγμένης θεωρίας, που συχνά χρησιμεύουν ως ουσιαστικά προβλήματα της μηχανικής και της φυσικής.

Για φοιτητές πανεπιστημίου που σπουδάζουν στην ειδικότητα «Μαθηματικά» και «Μηχανική». Μπορεί να είναι χρήσιμο σε φοιτητές σχολών και πανεπιστημίων με εκτεταμένο πρόγραμμα στα μαθηματικά, καθώς και σε ειδικούς στον τομέα των μαθηματικών και των εφαρμογών τους.

Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. Μέρος 1: 2η έκδ., Rev., 1985. - 662s.; Μέρος 2ο- 1987. - 358s.

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

Το εγχειρίδιο είναι το πρώτο μέρος ενός μαθήματος μαθηματικής ανάλυσης για ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα της ΕΣΣΔ, της Βουλγαρίας και της Ουγγαρίας, γραμμένο σύμφωνα με τη συμφωνία συνεργασίας μεταξύ των πανεπιστημίων της Μόσχας, της Σόφιας και της Βουδαπέστης. Το βιβλίο περιλαμβάνει τη θεωρία των πραγματικών αριθμών, τη θεωρία των ορίων, τη θεωρία της συνέχειας των συναρτήσεων, τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό των συναρτήσεων μιας μεταβλητής και τις εφαρμογές τους, τον διαφορικό λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και τη θεωρία των άρρητων συναρτήσεων .

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

Το εγχειρίδιο είναι το δεύτερο μέρος (μέρος 1 - 1985) του μαθήματος της μαθηματικής ανάλυσης, γραμμένο σύμφωνα με το ενιαίο πρόγραμμα που υιοθετήθηκε στην ΕΣΣΔ και το NRB. Το βιβλίο ασχολείται με τη θεωρία των αριθμητικών και συναρτησιακών σειρών, τη θεωρία πολλαπλών, καμπυλόγραμμων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων, τη θεωρία πεδίου (συμπεριλαμβανομένων των διαφορικών μορφών), τη θεωρία των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο και τη θεωρία των σειρών και ολοκληρωμάτων Fourier. Η ιδιαιτερότητα του βιβλίου είναι τρία σαφώς διαχωρισμένα επίπεδα παρουσίασης: ελαφρύ, βασικό και προχωρημένο, που επιτρέπει τη χρήση του τόσο από φοιτητές τεχνικών πανεπιστημίων με εις βάθος μελέτη της μαθηματικής ανάλυσης όσο και από φοιτητές των τμημάτων μηχανικής και μαθηματικών του πανεπιστήμια.

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

Μορφή: pdf

Το μέγεθος: 10,5 MB

Παρακολουθήστε, κατεβάστε:drive.google

Μορφή: djvu/zip

Το μέγεθος: 5,5 MB

/ Λήψη αρχείου

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

Μορφή: pdf

Το μέγεθος: 14,8 MB

Παρακολουθήστε, κατεβάστε:drive.google

Μορφή: djvu/zip

Το μέγεθος: 3,1 MB

/ Λήψη αρχείου

Μέρος 1. - Αρχική πορεία.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος του συντάκτη τίτλου.... 5
Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση 6
Πρόλογος στην πρώτη έκδοση 6
Κεφάλαιο 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 10
Κεφάλαιο 2. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 29
§ 1. Το σύνολο των αριθμών που αντιπροσωπεύονται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα και η σειρά του 29
1. Ιδιότητες ρητών αριθμών (29). 2. Ανεπάρκεια ρητών αριθμών για τη μέτρηση τμημάτων του αριθμητικού άξονα (31). 3. Ταξινόμηση του συνόλου των άπειρων δεκαδικών
κλάσματα (34)
§ 2. Οριοθετημένα πάνω (ή κάτω) σύνολα αριθμών που αναπαρίστανται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα.... 40 1. Βασικές έννοιες (40). 2. Ύπαρξη ακριβών προσώπων (41).
§ 3. Προσέγγιση αριθμών που αντιπροσωπεύονται με άπειρα δεκαδικά κλάσματα με ρητούς αριθμούς 44
§ 4. Πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή του συνόλου των πραγματικών αριθμών 46
1. Ορισμός πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Περιγραφή της έννοιας των πραγματικών αριθμών (46). 2. Ύπαρξη και μοναδικότητα του αθροίσματος και του γινομένου των πραγματικών αριθμών (47).
§ 5. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών 50
1. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών (50). 2. Ορισμένες σχέσεις που χρησιμοποιούνται συχνά (52). 3. Μερικά συγκεκριμένα σύνολα πραγματικών αριθμών (52).
§ 6. Πρόσθετες ερωτήσεις στη θεωρία των πραγματικών αριθμών. .54 1. Πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών (54). 2. Αξιωματική εισαγωγή του συνόλου των πραγματικών αριθμών (57).
§ 7. Στοιχεία θεωρίας συνόλων. 59
1. Η έννοια του συνόλου (59). 2. Λειτουργίες σε σετ (60). 3. Αριθμήσιμα και μη μετρήσιμα σύνολα. Αμέτρητο τμήμα. Το καρδινάλιο του σετ (61). 4. Ιδιότητες πράξεων σε σύνολα. Ορισμός χαρτογράφησης (65).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ. 68
§ 1. Ακολουθία και το όριό της 68.
1. Η έννοια της ακολουθίας. Αριθμητικές πράξεις σε ακολουθίες (68). 2. Οριοθετημένες, απεριόριστες, απείρως μικρές και απείρως μεγάλες ακολουθίες (69). 3. Βασικές ιδιότητες απειροελάχιστων ακολουθιών (73). 4. Συγκλίνουσες ακολουθίες και οι ιδιότητές τους (75).
§ 2. Μονότονες ακολουθίες 83
1. Η έννοια της μονότονης ακολουθίας (83). 2. Θεώρημα για τη σύγκλιση μονότονης οριοθετημένης ακολουθίας (84). 3. Ο αριθμός ε (86). 4. Παραδείγματα συγκλίνουσες μονοτονικές ακολουθίες (88).
§ 3. Αυθαίρετες ακολουθίες 92
1. Οριακά σημεία, άνω και κάτω όρια της ακολουθίας (92). 2. Επέκταση των εννοιών του οριακού σημείου και των άνω και κάτω ορίων (99). 3. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας (102).
§ 4. Όριο (ή οριακή τιμή) μιας συνάρτησης 105
1. Έννοιες μεταβλητής ποσότητας και συνάρτησης (105). 2. Όριο συνάρτησης κατά Heine και κατά Cauchy (109). 3. Κριτήριο Cauchy για την ύπαρξη ορίου της συνάρτησης (115). 4. Αριθμητικές πράξεις σε συναρτήσεις που έχουν όριο (118). 5. Απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες συναρτήσεις (119).
§ 5. Γενικός ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης ως προς τη βάση .... 122
Κεφάλαιο 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 127
§ 1. Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης 127
1. Ορισμός της συνέχειας της συνάρτησης (127). 2. Αριθμητικές πράξεις σε συνεχείς συναρτήσεις (131). 3. Μιγαδική συνάρτηση και η συνέχειά της (132).
§ 2. Ιδιότητες μονότονων συναρτήσεων 132
1. Μονότονες συναρτήσεις (132). 2. Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης (133).
§ 3. Οι απλούστερες στοιχειώδεις συναρτήσεις 138
1. Η εκθετική συνάρτηση (138). 2. Λογαριθμική συνάρτηση (145). 3. Λειτουργία ισχύος (146). 4. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (147). 5. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (154). 6. Υπερβολικές συναρτήσεις (156).
§ 4. Δύο αξιόλογα όρια 158
1. Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο (158). 2. Το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (159).
§ 5. Σημεία ασυνέχειας συνάρτησης και ταξινόμηση τους. . . . 162 1. Ταξινόμηση σημείων ασυνέχειας συνάρτησης (162). 2. Σημεία ασυνέχειας μονότονης συνάρτησης (166).
§ 6. Τοπικές και καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. 167 1. Τοπικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (167). 2. Καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων (170). 3. Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας μιας συνάρτησης (176). 4. Η έννοια του συντελεστή συνέχειας μιας συνάρτησης (181).
§ 7. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου 184
1. Ανοιχτά και κλειστά σετ (184). 2. Επικαλύψεις σετ με σύστημα ανοιχτών συνόλων (184). 3. Η έννοια της συμπαγούς ενός συνόλου (186).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 189
§ 1. Η έννοια του παραγώγου 189
1. Αύξηση συνάρτησης. Μορφή διαφοράς της συνθήκης συνέχειας (189). 2. Ορισμός του παραγώγου (190). 3. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου (192).
§ 2. Η έννοια της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης 193
1. Ορισμός διαφοροποίησης συνάρτησης (193). 2. Διαφορικότητα και συνέχεια (195). 3. Η έννοια του διαφορικού μιας συνάρτησης (196).
§ 3. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης και αντίστροφης συνάρτησης 197 1. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης (197). 2. Διαφοροποίηση της αντίστροφης συνάρτησης (199). 3. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (200). 4. Εφαρμογή του διαφορικού για τον καθορισμό κατά προσέγγιση τύπων (201).
§ 4. Διαφοροποίηση συναρτήσεων αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου 202
§ 5. Παράγωγοι των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων. . . 205 1. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων (205). 2. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης (207). 3. Παράγωγοι εκθετικών και αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων (208). 4. Παράγωγος της συνάρτησης ισχύος (210). 5. Πίνακας παραγώγων των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (210). 6. Πίνακας διαφορικών των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων (212). 7. Λογαριθμική παράγωγος. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης (212).
§ 6. Παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων. . . 215 1. Η έννοια της παραγώγου ν-ης τάξης (213). 2. νθ παράγωγοι κάποιων συναρτήσεων (214). 3. Ο τύπος Leibniz για την nη παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων (216). 4. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (218).
§ 7. Διαφοροποίηση συνάρτησης που ορίζεται παραμετρικά. 220*
§ 8. Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης 222
Κεφάλαιο 6. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 224
§ 1. Αύξηση (φθίνουσα) συνάρτησης σε σημείο. Τοπικό ακραίο 224
§ 2. Θεώρημα μηδενικής παραγώγου 226
§ 3. Τύπος πεπερασμένων προσαυξήσεων (τύπος Lagrange). . 227 § 4. Μερικές συνέπειες του τύπου Lagrange.... 229» 1. Η σταθερότητα μιας συνάρτησης που έχει παράγωγο ίση με μηδέν σε διάστημα (229). 2. Προϋποθέσεις μονοτονίας συνάρτησης στο διάστημα (230). 3. Απουσία ασυνεχειών πρώτου είδους και αφαιρούμενες ασυνέχειες του παραγώγου (231). 4. Παραγωγή ορισμένων ανισοτήτων (233). § 5. Γενικευμένος τύπος για πεπερασμένες προσαυξήσεις (τύπος Cauchy). . 234
§ 6. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων (κανόνας L'Hopital). . . 235
1. Αποκάλυψη αβεβαιότητας του εντύπου (235). Αποκάλυψη αβεβαιότητας της μορφής - (240). 3. Γνωστοποίηση αβεβαιοτήτων άλλου είδους (243).
!§ 7. Ο τύπος του Taylor «245
§ 8. Διάφορες μορφές του υπολοίπου όρου. Maclaurin τύπος 248
1. Υπόλοιπος όρος με τη μορφή Lagrange, Cauchy και Peano (248).
2. Μια άλλη μορφή του τύπου Taylor (250). 3. Φόρμουλα Maclaurin (251).
§ 9. Εκτίμηση της υπολειπόμενης περιόδου. Αποσύνθεση κάποιων στοιχειωδών συναρτήσεων. . . . . 251
1. Εκτίμηση του υπόλοιπου όρου για μια αυθαίρετη συνάρτηση (251). 2. Επέκταση Maclaurin μερικών στοιχειωδών συναρτήσεων (252).
1 § 10. Παραδείγματα εφαρμογών του τύπου Maclaurin 256.
1. Υπολογισμός του αριθμού e σε υπολογιστή (256). 2. Απόδειξη του παραλογισμού του αριθμού ε (257). 3. Υπολογισμός των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (258). 4. Ασυμπτωτική εκτίμηση στοιχειωδών συναρτήσεων και υπολογισμός ορίων (259).
Κεφάλαιο 7
§ 1. Εύρεση ακίνητων σημείων 262
1. Κριτήρια μονοτονίας συνάρτησης (262). 2. Εύρεση ακίνητων σημείων (262). 3. Πρώτη επαρκής συνθήκη για ακραίο (264). 4. Η δεύτερη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο "(265). 5. Η τρίτη επαρκής συνθήκη για ένα άκρο (267). 6. Το άκρο μιας συνάρτησης που δεν είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα δεδομένο σημείο (268). 7. Η γενική σύστημα εύρεσης ακρών (270).
§ 2. Κυρτότητα της γραφικής παράστασης συνάρτησης 271
§ 3. Σημεία καμπής 273
1. Προσδιορισμός του σημείου καμπής. Απαραίτητη προϋπόθεση για την κλίση (273). 2. Πρώτη επαρκής συνθήκη για κλίση (276). 3. Μερικές γενικεύσεις της πρώτης επαρκής συνθήκης κλίσης (276). 4. Δεύτερη επαρκής συνθήκη για κλίση (277). 5. Τρίτη επαρκής συνθήκη για κλίση (278).
§ 4. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης 279
§ 5. Γραφική παράσταση συνάρτησης 281
§ 6. Καθολικό μέγιστο και ελάχιστο μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
Ακραίο άκρο 284
1. Εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων τιμών μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα τμήμα (284). 2. Ακραίο άκρο (286). 3. Θεώρημα Darboux (287). Πρόσθεση. Ένας αλγόριθμος για την εύρεση ακραίων τιμών μιας συνάρτησης που χρησιμοποιεί μόνο τις τιμές αυτής της συνάρτησης. . . 288
Κεφάλαιο 8
§ 1. Η έννοια της αντιπαράγωγης συνάρτησης και ενός αόριστου ολοκληρωτικού 291 1. Η έννοια της αντιπαράγωγης συνάρτησης (291). 2. Αόριστο ολοκλήρωμα (292). 3. «Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος (293) 4. Πίνακας βασικών αορίστων ολοκληρωμάτων (294).
§ 2. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης 297
1, Ολοκλήρωση αλλαγής μεταβλητής (υποκατάσταση) (297).
2. Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα (300).
§ 3. Κατηγορίες συναρτήσεων που ενσωματώνονται σε στοιχειώδεις συναρτήσεις. 303 1. Σύντομες πληροφορίες για μιγαδικούς αριθμούς (304). 2. Σύντομες πληροφορίες για τις ρίζες των αλγεβρικών πολυωνύμων (307). 3. Αποσύνθεση αλγεβρικού πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές σε γινόμενο μη αναγώγιμων παραγόντων (311). 4. Αποσύνθεση ορθού λογικού κλάσματος σε άθροισμα απλών κλασμάτων (312). 5. Ολοκληρωσιμότητα ρητού κλάσματος σε στοιχειώδεις συναρτήσεις (318). 6. Ολοκληρωσιμότητα σε στοιχειώδεις συναρτήσεις ορισμένων τριγωνομετρικών και παράλογων εκφράσεων (321).
§ 4. Ελλειπτικά ολοκληρώματα, 327
Κεφάλαιο 9
§ 1. Ορισμός ολοκληρώματος. Ολοκληρωσιμότητα. . . . . 330 § 2. Ανώτερα και κατώτερα αθροίσματα και οι ιδιότητές τους. . . . . 334 1. Προσδιορισμός των άνω και κατώτερων αθροισμάτων (334). 2. Βασικές ιδιότητες ανώτερων και κατώτερων αθροισμάτων (335). § 3. Θεωρήματα αναγκαίων και επαρκών συνθηκών για την ολοκληρωσιμότητα των συναρτήσεων. Κατηγορίες ενσωματώσιμων συναρτήσεων. . . 339
1. Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για την ενσωμάτωση (339).
2. Κατηγορίες ολοκληρωμένων συναρτήσεων (341).
"§ 4. Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων. Θεωρήματα μέσης τιμής. 347
1. Ιδιότητες του ολοκληρώματος (347). 2. Εκτιμήσεις ολοκληρωμάτων (350).
§ 5. Αντιπαράγωγο συνεχούς συνάρτησης. Κανόνες ολοκλήρωσης συναρτήσεων 357
1. Αντιπαράγωγο (357). 2. Βασικός τύπος του ολοκληρωτικού λογισμού (359). 3. Σημαντικοί κανόνες για τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων (360). 4. Υπολειπόμενος όρος του τύπου Taylor σε ακέραια μορφή (362).
§ 6. Ανισότητα για αθροίσματα και ολοκληρώματα 365
1. Ανισότητα Young (365). 2. Η ανισότητα του Hölder για αθροίσματα (366). 3. Η ανισότητα του Minkowski για αθροίσματα (367). 4. Η ανισότητα του Hölder για ολοκληρώματα (367). 5. Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα (368).
§ 7. Πρόσθετες πληροφορίες για το οριστικό ολοκλήρωμα Riemann 369
1. Όριο ολοκληρωτικών ποσών πάνω από τη βάση του φίλτρου (369).
2. Κριτήριο ενσωμάτωσης Lebesgue (370).
Παράρτημα 1 Ακατάλληλα ολοκληρώματα 370
§ 1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους 371
1. Η έννοια του ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους (371).
2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Επαρκείς προϋποθέσεις για σύγκλιση (373). 3. Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (375). 4. Αλλαγή μεταβλητών κάτω από το ακατάλληλο ολοκληρωτικό πρόσημο και τον τύπο ολοκλήρωσης ανά μέρη (378).
§ 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους 379
§ 3. Κύρια τιμή του ακατάλληλου ολοκληρώματος.. 382
Παράρτημα 2. Το ολοκλήρωμα Stieltjes 384
1. Ορισμός του ολοκληρώματος Stieltjes και προϋποθέσεις ύπαρξής του (384). 2. Ιδιότητες του ολοκληρώματος Stieltjes (389).
Κεφάλαιο 10. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ
§ 1. Μήκος τόξου καμπύλης 391
1. Η έννοια της απλής καμπύλης (391). 2. Η έννοια της παραμετροποιημένης καμπύλης (392). 3. Το μήκος του τόξου της καμπύλης. Η έννοια μιας διορθώσιμης καμπύλης (394). 4. Κριτήριο για την ευθύτητα μιας καμπύλης. Υπολογίστε το μήκος του τόξου μιας καμπύλης (397). 5. Διαφορικό τόξου (402). 6. Παραδείγματα (403).
!§ 2. Το εμβαδόν ενός επιπέδου σχήμα 405
1. Η έννοια του ορίου ενός συνόλου και ενός επίπεδου σχήματος (405).
2. Το εμβαδόν μιας επίπεδης μορφής (406). 3. Καμπυλόγραμμη περιοχή
τραπεζίου και καμπυλόγραμμου τομέα (414). 4. Παραδείγματα εμβαδών υπολογισμού (416).
§ 3. Όγκος σώματος στο διάστημα 418
1. Όγκος σώματος (418). 2. Μερικές κατηγορίες σωμάτων σε κύβους (419). 3. Παραδείγματα (421).
Κεφάλαιο 11
§ 1. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού των ριζών εξισώσεων. . 422 1. Μέθοδος πιρουνιού (422). 2. Μέθοδος επαναλήψεων (423). 3. Μέθοδοι συγχορδιών και εφαπτομένων 426
§ 2. Κατά προσέγγιση μέθοδοι υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων 431 1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (431). 2. Μέθοδος ορθογωνίων (434).
3. Μέθοδος τραπεζοειδών (436). 4. Μέθοδος παραβολών (438).
Κεφάλαιο 12
§ 1. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών 442
1. Η έννοια της m-διάστατης συντεταγμένης και των παιχνιδιών Ευκλείδειων χώρων (442). 2. Σύνολα σημείων σε ευκλείδειο χώρο m διαστάσεων (445). 3. Η έννοια της συνάρτησης m μεταβλητών (449).
§ 2. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών 451
1. Ακολουθίες σημείων στο διάστημα Em (451). 2. Ιδιότητα οριοθετημένης ακολουθίας σημείων Em (454). 3. Όριο συνάρτησης m μεταβλητών (455). 4. Άπειρες μικρές συναρτήσεις m μεταβλητών (458). 5. Επαναλαμβανόμενα όρια (459).
§ 3. Συνέχεια συνάρτησης m μεταβλητών 460
1. Η έννοια της συνέχειας συνάρτησης m μεταβλητών (460).
2. Συνέχεια συνάρτησης m μεταβλητών ως προς μία μεταβλητή (462). 3. Βασικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (465).
§ 4. Παράγωγοι και διαφορικά συνάρτησης πολλών μεταβλητών 469
1. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (469). 2. Διαφοροποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών (470). 3. Γεωμετρική σημασία της συνθήκης για μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση δύο μεταβλητών (473). 4. Επαρκείς προϋποθέσεις για διαφοροποίηση 5. Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών (476). 6. Διαφοροποίηση μιγαδικής συνάρτησης (476). 7. Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού (480). 8. Παράγωγος σε κατεύθυνση. Κλίση (481).
§ 5. Μερικά παράγωγα και διαφορικά ανώτερων τάξεων 485 1. Μερικά παράγωγα ανώτερων τάξεων (485). 2. Διαφορικά ανώτερων τάξεων (490). 3. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο στη μορφή Lagrange και σε ακέραια μορφή (497) 4. Τύπος Taylor με υπόλοιπο όρο στη μορφή Peano (500).
6. Τοπικό άκρο συνάρτησης m μεταβλητών.... 504 1. Η έννοια του άκρου συνάρτησης m μεταβλητών. Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ (504). 2. Επαρκείς συνθήκες για τοπικό άκρο συνάρτησης m μεταβλητών (506). 3. Η περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών (512).
Παράρτημα 1. Μέθοδος κλίσης για την εύρεση του άκρου μιας έντονα κυρτής συνάρτησης 514
1. Κυρτά σύνολα και κυρτές συναρτήσεις (515). 2. Ύπαρξη ελάχιστου για έντονα κυρτή συνάρτηση και μοναδικότητα ελάχιστου για αυστηρά κυρτή συνάρτηση (521).
3. Εύρεση του ελάχιστου μιας έντονα κυρτής συνάρτησης (526).
Παράρτημα 2. Μετρικοί κανονικοί χώροι. . 535
Μετρικοί χώροι. 1. Ορισμός μετρικού χώρου. Παραδείγματα (535). 2. Ανοιχτά και κλειστά σετ (538). 3. Άμεσο γινόμενο μετρικών χώρων (540). 4. Παντού πυκνά και τέλεια σύνολα (541). 5. Σύγκλιση. Συνεχείς αντιστοιχίσεις (543). 6. Συμπαγής 545 7. Βάση χώρου (548).
Ιδιότητες μετρικών χώρων 550
Τοπολογικοί χώροι 558
1. Ορισμός τοπολογικού χώρου. Τοπολογικός χώρος Hausdorff. Παραδείγματα (558). 2. Παρατήρηση στους τοπολογικούς χώρους (562).
Γραμμικοί κανονικοί χώροι, γραμμικοί τελεστές 564
1. Ορισμός γραμμικού χώρου. Παραδείγματα (564).
2. Κανονισμένοι χώροι. Χώροι Banach.
Παραδείγματα (566). 3. Τελεστές σε γραμμικούς και κανονικούς χώρους (568). 4. Χώρος χειριστών
5. Κανόνα χειριστή (569). 6. Η έννοια του χώρου Hilbert 572
Παράρτημα 3. Διαφορικός λογισμός σε κανονικούς γραμμικούς χώρους. 574
1. Η έννοια είναι διαφοροποιήσιμη. Ισχυρή και ασθενής διαφοροποίηση σε κανονικούς γραμμικούς χώρους (575).
2. Ο τύπος Lagrange για πεπερασμένες προσαυξήσεις (581).
3. Σχέση ασθενούς και ισχυρής διαφορισιμότητας 584 4. Διαφοροποίηση λειτουργιών (587). 5. Ολοκλήρωμα αφηρημένων συναρτήσεων (587). 6. Τύπος Newton-Leibniz για αφηρημένες συναρτήσεις (589). 7. Παράγωγα δεύτερης τάξης 592 8. Χαρτογράφηση του ευκλείδειου χώρου m διαστάσεων σε χώρο t διαστάσεων (595). 9. Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων 598 10. Ο τύπος του Taylor για τη χαρτογράφηση ενός κανονικού χώρου σε έναν άλλο (599).
Διερεύνηση ακραίων λειτουργιών σε κανονικοποιημένες
χώρους. 602
1. Απαραίτητη προϋπόθεση για ακραίο (602). 2. Επαρκείς συνθήκες για ακραίο 605
Κεφάλαιο 13 ΣΙΩΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 609
§ 1. Ύπαρξη και διαφοροποίηση μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης 610
1. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη διαφορισιμότητα μιας άρρητης συνάρτησης (610). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων μιας άρρητα δεδομένης συνάρτησης (615). 3. Μονά σημεία μιας επιφάνειας και μια επίπεδη καμπύλη 617 4. Συνθήκες που διασφαλίζουν την ύπαρξη για τη συνάρτηση y=)(x) της αντίστροφης συνάρτησης (618).
§ 2. Άμεσες συναρτήσεις που ορίζονται από ένα σύστημα λειτουργικών
εξισώσεις 619
1. Θεώρημα για τη διαλυτότητα συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (619). 2. Υπολογισμός μερικών παραγώγων συναρτήσεων που προσδιορίζονται σιωπηρά μέσω συστήματος συναρτησιακών εξισώσεων (624). 3. Αντιστοίχιση ενός προς ένα δύο συνόλων m-διάστατου χώρου (625).
§ 3. Εξάρτηση συναρτήσεων 626
1. Η έννοια της εξάρτησης των συναρτήσεων. Επαρκής προϋπόθεση για ανεξαρτησία (626). 2. Λειτουργικοί πίνακες και οι εφαρμογές τους (628).
§ 4. Υπό όρους ακραίο. 632
1. Η έννοια του ακραίου υπό όρους (632). 2. Μέθοδος αόριστων πολλαπλασιαστών Lagrange (635). 3. Επαρκές. προϋποθέσεις (636). 4. Παράδειγμα (637).
Παράρτημα 1. Χαρτογραφήσεις χώρων Banach. Ένα ανάλογο του θεωρήματος άρρητης συνάρτησης 638
1. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη διαφορισιμότητα μιας άρρητης συνάρτησης (638). 2. Η περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων χώρων (644). 3. Ενιαία σημεία επιφάνειας στο χώρο n διαστάσεων. Αντίστροφη χαρτογράφηση (647). 4. Υπό όρους ακρότατο σε περίπτωση χαρτογράφησης κανονικών χώρων (651).

Μέρος 2. - Συνέχιση του μαθήματος.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
Πρόλογος 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ 7
§ 1. Η έννοια της σειράς αριθμών 7
1. Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές (7). 2. Κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών (10)
§ 2. Σειρά με μη αρνητικούς όρους 12"
1. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση σειράς με μη αρνητικούς όρους (12). 2. Σημάδια σύγκρισης (13). 3. Σημάδια του d'Alembert και του Cauchy (16). 4. Ολοκληρωτικό πρόσημο Cauchy-McLaurin (21). 5, Sign of Raabe (24). 6. Έλλειψη καθολικής σειράς σύγκρισης (27)
§ 3. Απόλυτα και υπό όρους συγκλίνουσα σειρά 28
1. Οι έννοιες των απολύτως και υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (28). 2. Σχετικά με τη μετάθεση των όρων της υπό όρους συγκλίνουσας σειράς (30). 3. Σχετικά με τη μετάθεση των όρων μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (33)
§ 4. Κριτήρια σύγκλισης αυθαίρετων σειρών 35
§ 5. Αριθμητικές πράξεις σε συγκλίνουσες σειρές 41
§ 6. Άπειρα γινόμενα 44
1. Βασικές έννοιες (44). 2. Σχέση μεταξύ της σύγκλισης άπειρων γινομένων και σειρών (47). 3. Αποσύνθεση της συνάρτησης sin x σε άπειρο γινόμενο (51)
§ 7. Γενικευμένες μέθοδοι άθροισης για αποκλίνουσες σειρές .... 55
1. Μέθοδος Cesaro (μέθοδος αριθμητικών μέσων) (56). 2. Μέθοδος άθροισης Poisson - Abel (57)
§ 8. Στοιχειώδης θεωρία διπλής και επαναλαμβανόμενης σειράς 59
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΑ 67
§ 1. Οι έννοιες της σύγκλισης σε ένα σημείο και της ομοιόμορφης σύγκλισης σε ένα σύνολο 67
1. Οι έννοιες της συναρτησιακής ακολουθίας και της συναρτησιακής σειράς (67). 2. Σύγκλιση συναρτησιακής ακολουθίας (συναρτησιακή σειρά) σε σημείο και σε σύνολο (69). 3. Ομοιόμορφη σύγκλιση στο σύνολο (70). 4. Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθίας (σειράς) (72)
§ 2. Επαρκή κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 74
§ 3. Διάρκεια προς περίοδο μετάβαση στο όριο 83
§ 4. Ολοκλήρωση όρου προς όρο και διαφοροποίηση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 87
1. Ενσωμάτωση ανά όρο (87). 2. Διαφοροποίηση ανά όρο (90). 3. Μέση σύγκλιση (94)
§ 5. Ισοσυνέχεια ακολουθίας συναρτήσεων... 97
§ 6. Power series 102
1. Σειρά ισχύος και η περιοχή σύγκλισής της (102). 2. Συνέχεια του αθροίσματος της σειράς ισχύος (105). 3. Ενσωμάτωση από όρο προς όρο και διαφοροποίηση κάθε φορά μιας σειράς ισχύος (105)
§ 7. Επέκταση λειτουργιών στη σειρά ισχύος 107
1. Επέκταση συνάρτησης σε σειρά ισχύος (107). 2. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor (108). 3. Στοιχειώδεις ιδέες για τις συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής (PO). 4. Το θεώρημα Weierstrass για την ομοιόμορφη προσέγγιση μιας συνεχούς συνάρτησης από πολυώνυμα (112)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΔΙΠΛΑ ΚΑΙ n-ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 117
§ 1. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος. . . 117
1. Ορισμός διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (117).
2. Προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για ορθογώνιο (119). 3. Ορισμός και προϋποθέσεις ύπαρξης διπλού ολοκληρώματος για αυθαίρετο πεδίο (121). 4. Γενικός ορισμός του διπλού ολοκληρώματος (123)
«§ 2. Βασικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος 127
§ 3. Αναγωγή διπλού ολοκληρώματος σε επαναλαμβανόμενο μονό. . . 129 1. Η περίπτωση παραλληλογράμμου (129). 2. Η περίπτωση αυθαίρετης περιφέρειας (130)
§ 4. Τριπλά και n-διπλωμένα ολοκληρώματα 133
§ 5. Αλλαγή μεταβλητών σε ολοκλήρωμα n-πτυχών 138
§ 6. Υπολογισμός όγκων ν-διάστατων σωμάτων 152
§ 7. Το θεώρημα για την ολοκλήρωση όρου προς όρο συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών 157
$ 8. Πολλαπλά ακατάλληλα ολοκληρώματα 159
1. Η έννοια των πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (159). 2. Δύο κριτήρια για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων (160). 3. Λανθασμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων αλλαγής σημάτων (161). 4. Κύρια τιμή πολλαπλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (165)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Καμπυλόγραμμα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 167
§ 1. Έννοιες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου και δεύτερου είδους. . . 167
§ 2. Προϋποθέσεις ύπαρξης καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 169
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 175
§ 1. Έννοιες της επιφάνειας και του εμβαδού της 175
1. Η έννοια της επιφάνειας (175). 2. Βοηθητικά λήμματα (179).
3. Επιφάνεια (181)
§ 2. Επιφανειακά ολοκληρώματα 185
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ. ΒΑΣΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 190
§ 1. Σημειογραφία. Διορθογώνιες βάσεις. Αμετάβλητα γραμμικού τελεστή 190
1. Σημειογραφία (190). 2. Διορθογώνιες βάσεις στο χώρο Ε" (191). 3. Μετασχηματισμοί βάσεων. Συντεταγμένες συντεταγμένες και αντιμεταβλητές ενός διανύσματος (192). 4. Αμετάβλητα ενός γραμμικού τελεστή. Απόκλιση και μπούκλα (195). 5. Εκφράσεις για το απόκλιση και κύρτωση ενός γραμμικού τελεστή σε ορθοκανονική βάση (Sch8)
§ 2. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία. Διαφορικοί τελεστές της διανυσματικής ανάλυσης 198
!. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία (198). 2. Απόκλιση, κύρτωση και παράγωγος ως προς την κατεύθυνση ενός διανυσματικού πεδίου (203). 3. Κάποιοι άλλοι τύποι διανυσματικής ανάλυσης (204). 4. Τελικές παρατηρήσεις (206)
§ 3. Βασικοί ολοκληρωτικοί τύποι ανάλυσης 207
1. Ο τύπος του Green (207). 2. Φόρμουλα Ostrogradsky - Gauss (211). 3. Φόρμουλα Stokes (214)
§ 4. Προϋποθέσεις για την ανεξαρτησία ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στο επίπεδο από τη διαδρομή ολοκλήρωσης 218
§ 5. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών θεωρίας πεδίου 222
1. Έκφραση του εμβαδού μιας επίπεδης περιοχής ως προς το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα (222). 2. Έκφραση του όγκου ως προς το επιφανειακό ολοκλήρωμα (223)
Προσθήκη στο Κεφάλαιο 6. Διαφορικές μορφές στον Ευκλείδειο χώρο 225
§ 1. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές μορφές 225
1. Γραμμικά έντυπα (225). 2. Διγραμμικά έντυπα (226). 3. Πολυγραμμικές μορφές (227). 4. Εναλλασσόμενες πολυγραμμικές φόρμες (228). 5. Εξωτερικό γινόμενο εναλλασσόμενων μορφών (228). 6. Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου εναλλασσόμενων μορφών (231). 7. Βάση στο χώρο των εναλλασσόμενων μορφών (233)
§ 2. Διαφορικά έντυπα 235
1. Βασική σημειογραφία (235). 2. Εξωτερικό διαφορικό (236). 3. Ιδιότητες του εξωτερικού διαφορικού (237;)
§ 3. Διαφοροποιήσιμες αντιστοιχίσεις 2391
1. Ορισμός διαφοροποιήσιμων αντιστοιχίσεων (239). 2. Ιδιότητες της αντιστοίχισης φ* (240)
§ 4. Ολοκλήρωση διαφορικών μορφών 243
1. Ορισμοί (243). 2. Διαφοροποιήσιμες αλυσίδες (245). 3. Στόουκς τύπος (248). 4. Παραδείγματα (250)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 252
§ 1. Ομοιόμορφη σε μια μεταβλητή τάση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο όριο σε μια άλλη μεταβλητή 252
1. Σχέση μεταξύ της ομοιόμορφης σε μια μεταβλητή που τείνει μια συνάρτηση δύο μεταβλητών στο όριο μιας άλλης μεταβλητής με την ομοιόμορφη σύγκλιση της συναρτησιακής ακολουθίας (252). 2. Το κριτήριο Cauchy για την ομοιόμορφη τάση μιας συνάρτησης στο όριο (254). 3. Εφαρμογές της έννοιας της ομοιόμορφης σύγκλισης στην οριακή συνάρτηση (254)
§ 2. Ιδιοολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 256
1. Ιδιότητες ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο (256). 2. Η περίπτωση που τα όρια ολοκλήρωσης εξαρτώνται από την παράμετρο (257)
§ 3. Ακατάλληλα ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο 259
1. Λανθασμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους ανάλογα με την παράμετρο (260). 2. Ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους ανάλογα με την παράμετρο (266)
§ 4. Εφαρμογή της θεωρίας των ολοκληρωμάτων ανάλογα με μια παράμετρο στον υπολογισμό ορισμένων ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 267
§ 5. Ολοκληρώματα Euler 271
στη συνάρτηση Γ (272). 2. Β-συνάρτηση (275). 3. Σύνδεση μεταξύ ολοκληρωμάτων Euler (277). 4. Παραδείγματα (279)
§ 6. Τύπος Stirling 280
§ 7. Πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους 282
1. Κατέχετε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με τις παραμέτρους (282).
2. Ακατάλληλα πολλαπλά ολοκληρώματα ανάλογα με την παράμετρο (283)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΣΕΙΡΑ FOURIER 287
§ 1. Ορθοκανονικά συστήματα και γενικές σειρές Fourier 287
1. Ορθοκανονικά συστήματα (287). 2. Η έννοια μιας γενικής σειράς Fourier (292)
§ 2. Κλειστά και πλήρη ορθοκανονικά συστήματα 295
§ 3. Κλείσιμο του τριγωνομετρικού συστήματος και συνέπειες από αυτό. . 298 1. Ομοιόμορφη προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης από τριγωνομετρικά πολυώνυμα (298). 2. Απόδειξη της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (301). 3. Συνέπειες της κλειστότητας του τριγωνομετρικού συστήματος (303)
§ 4. Οι απλούστερες συνθήκες για ομοιόμορφη σύγκλιση και διαφοροποίηση όρων προς όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier 304
1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις (304). 2. Οι απλούστερες συνθήκες για την απόλυτη και ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (306).
3. Οι απλούστερες συνθήκες για τη διαφοροποίηση ανά όρο μιας τριγωνομετρικής σειράς Fourier (308)
§ 5. Πιο ακριβείς προϋποθέσεις για ομοιόμορφη σύγκλιση και προϋποθέσεις για σύγκλιση σε ένα δεδομένο σημείο
1. Συντελεστής συνέχειας συνάρτησης. Τάξεις κατόχων (309). 2. Έκφραση για το μερικό άθροισμα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier (311). 3. Βοηθητικές προτάσεις (314). 4. Αρχή εντοπισμού 317 5. Ομοιόμορφη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier για μια συνάρτηση από την κλάση Hölder (319). 6. Σχετικά με τη σύγκλιση της τριγωνομετρικής σειράς Fourier μιας τμηματικής συνάρτησης Hölder (325). 7. Αθροσιμότητα της τριγωνομετρικής σειράς Fourier συνεχούς συνάρτησης με τη μέθοδο των αριθμητικών μέσων (329). 8. Τελικές παρατηρήσεις (331)
§ 6. Πολλαπλή τριγωνομετρική σειρά Fourier 332
1. Έννοιες μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier και τα ορθογώνια και σφαιρικά επιμέρους αθροίσματά της (332). 2. Συντελεστής συνέχειας και κλάσεις Hölder για μια συνάρτηση N μεταβλητών (334). 3. Προϋποθέσεις για την απόλυτη σύγκλιση μιας πολλαπλής τριγωνομετρικής σειράς Fourier (335)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΟΥΡΙΕ 33»
§ 1. Αναπαράσταση συνάρτησης με ολοκλήρωμα Fourier 339
1. Επικουρικοί ισχυρισμοί (340). 2. Κύριο θεώρημα. Τύπος αντιστροφής (342). 3. Παραδείγματα (347)
§ 2. Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 34&
§ 3. Πολλαπλό Ολοκλήρωμα Fourier 352

Όλα τα βιβλία μπορούν να τα κατεβάσετε δωρεάν και χωρίς εγγραφή.

Θεωρία.

ΝΕΟΣ. Natanzon S.M. Ένα σύντομο μάθημα στη μαθηματική ανάλυση. 2004 98 σελίδες djvu. 1,2 MB.
Αυτή η δημοσίευση είναι μια περίληψη του μαθήματος των διαλέξεων που διάβασε ο συγγραφέας για φοιτητές του 1ου έτους του Ανεξάρτητου Πανεπιστημίου της Μόσχας τα ακαδημαϊκά έτη 1997-1998 και 2002-2003.

Κατεβάστε

ΝΕΟΣ. Ε.Β. Βορίνη. Μαθηματική ανάλυση. Σημειώσεις διάλεξης. 2007 160 σελ. pdf. 2,1 MB.
Αυτό το βιβλίο είναι γραμμένο για φοιτητές μηχανικών που θέλουν να σπουδάσουν για εξετάσεις στον λογισμό. Το περιεχόμενο αυτού του βιβλίου είναι πλήρως συνεπές με το πρόγραμμα για το μάθημα "Μαθηματική Ανάλυση", μια εξέταση για το οποίο παρέχεται στα περισσότερα ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα στη Ρωσία. Το πρόγραμμα βοηθά στο να βρείτε γρήγορα και χωρίς περιττές δυσκολίες την απαραίτητη απάντηση στην ερώτηση.
Οι ερωτήσεις συντάσσονται από τον συγγραφέα με βάση την προσωπική εμπειρία, λαμβάνοντας υπόψη τις απαιτήσεις των δασκάλων.