Графика на функцията y 10x. Как да начертаем графика на функция. График на линейна функция в Excel

За съжаление не всички студенти и ученици познават и обичат алгебрата, но всеки трябва да подготви домашни, да решава контролни и да се явява на изпити. За мнозина е особено трудно да намерят задачи за начертаване на функционални графики: ако някъде не разбирате нещо, не го довършете, пропуснете, грешките са неизбежни. Но кой иска да получава лоши оценки?

Бихте ли искали да се присъедините към кохортата на опашкачите и неудачниците? За да направите това, имате 2 начина: да седнете за учебниците и да попълните пропуските в знанията или да използвате виртуален асистент - услуга за автоматично изчертаване на функционални графики според зададени условия. Със или без решение. Днес ще ви запознаем с няколко от тях.

Най-доброто нещо при Desmos.com е изключително приспособим интерфейс, интерактивност, възможност за разпространение на резултатите в таблици и съхраняване на вашата работа в базата данни с ресурси безплатно без ограничения във времето. И недостатъкът е, че услугата не е напълно преведена на руски език.

Grafikus.ru

Grafikus.ru е друг забележителен калкулатор за графики на руски език. Освен това той ги изгражда не само в двумерно, но и в триизмерно пространство.

Ето непълен списък от задачи, с които тази услуга успешно се справя:

• Чертане на 2D графики на прости функции: линии, параболи, хиперболи, тригонометрични, логаритмични и др.
• Чертане на 2D-графики на параметрични функции: кръгове, спирали, фигури на Лисажу и др.
• Чертане на 2D графики в полярни координати.
• Конструиране на 3D повърхности на прости функции.
• Построяване на 3D повърхнини на параметрични функции.

Готовият резултат се отваря в отделен прозорец. Потребителят има опции за изтегляне, отпечатване и копиране на връзката към него. За последното ще трябва да влезете в услугата чрез бутоните на социалните мрежи.

Координатната равнина на Grafikus.ru поддържа промяна на границите на осите, техните етикети, разстоянието на мрежата, както и ширината и височината на самата равнина и размера на шрифта.

Най-голямата сила на Grafikus.ru е възможността за създаване на 3D графики. В противен случай работи не по-зле и не по-добре от аналоговите ресурси.

Onlinecharts.ru

Онлайн асистентът Onlinecharts.ru не изгражда диаграми, а диаграми от почти всички съществуващи типове. Включително:

• Линеен.
• Колонен.
• Циркуляр.
• с площи.
• Радиална.
• XY графики.
• Балон.
• Точка.
• Полярни бикове.
• Пирамиди.
• Скоростомери.
• Колонно-линеен.

Ресурсът е много лесен за използване. Външният вид на диаграмата (цвят на фона, мрежа, линии, указатели, форма на ъгъл, шрифтове, прозрачност, специални ефекти и т.н.) е напълно дефиниран от потребителя. Данните за изграждане могат да бъдат въведени ръчно или импортирани от таблица в CSV файл, съхранен на компютър. Готовият резултат е достъпен за изтегляне на компютър като изображение, PDF, CSV или SVG файл, както и за запазване онлайн на фото хостинг на ImageShack.Us или във вашия личен акаунт в Onlinecharts.ru. Първата опция може да се използва от всички, втората - само регистрирани.

Първо опитайте да намерите обхвата на функцията:

успяхте ли Нека сравним отговорите:

Добре? Много добре!

Сега нека се опитаме да намерим диапазона на функцията:

намерени? Сравнете:

Съгласно ли е? Много добре!

Нека отново да работим с графиките, само че сега е малко по-трудно - да намерим както домейна на функцията, така и диапазона на функцията.

Как да намерите както домейна, така и обхвата на функция (разширено)

Ето какво се случи:

С графиките мисля, че се разбра. Сега нека се опитаме да намерим домейна на функцията в съответствие с формулите (ако не знаете как да направите това, прочетете раздела за):

успяхте ли Проверка отговори:

1. , тъй като коренният израз трябва да е по-голям или равен на нула.
2. , тъй като е невъзможно да се раздели на нула и радикалният израз не може да бъде отрицателен.
3. , тъй като, съответно, за всички.
4. защото не можете да разделите на нула.

Имаме обаче още един момент, който не е изяснен...

Позволете ми да повторя определението и да се съсредоточа върху него:

Забелязано? Думата "само" е много, много важен елемент от нашето определение. Ще се опитам да ви обясня на пръсти.

Да кажем, че имаме функция, дадена от права линия. . Когато заместваме тази стойност в нашето "правило" и получаваме това. Една стойност съответства на една стойност. Можем дори да направим таблица с различни стойности и да начертаем дадена функция, за да проверим това.

"Виж! - казвате вие, - "" се среща два пъти!" Така че може би параболата не е функция? Не, то е!

Фактът, че "" се среща два пъти, далеч не е причина да обвиняваме параболата в неяснота!

Факт е, че при изчисляване за, получихме една игра. И когато пресмятахме с, получихме една игра. Така че, така е, параболата е функция. Вижте диаграмата:

Схванах го? Ако не, ето ви пример от реалния живот, далеч от математиката!

Да кажем, че имаме група кандидати, които се срещнаха при подаване на документи, всеки от които каза в разговор къде живее:

Съгласете се, съвсем реалистично е няколко момчета да живеят в един град, но е невъзможно един човек да живее в няколко града едновременно. Това е, така да се каже, логично представяне на нашата "парабола" - Няколко различни x съответстват на едно и също y.

Сега нека измислим пример, при който зависимостта не е функция. Да кажем, че същите тези хора са казали за какви специалности са кандидатствали:

Тук имаме съвсем различна ситуация: един човек може лесно да кандидатства за едно или няколко направления. Това е един елементкомплекти са поставени в кореспонденция множество елементикомплекти. съответно това не е функция.

Нека проверим знанията ви на практика.

Определете от снимките кое е функция и кое не:

Схванах го? И ето го отговори:

• Функцията е - B,E.
• Не е функция - A, B, D, D.

Питате защо? Да, ето защо:

Във всички цифри с изключение на AT)и Д)има няколко за един!

Сигурен съм, че сега можете лесно да различите функция от нефункция, да кажете какво е аргумент и какво е зависима променлива, както и да определите обхвата на аргумента и обхвата на функцията. Нека да преминем към следващия раздел - как да дефинираме функция?

Начини за задаване на функция

Какво мислите, че означават думите "задайте функция"? Точно така, това означава да обясним на всички за каква функция говорим в случая. Освен това обяснявайте по такъв начин, че всички да ви разберат правилно и графиките на функциите, начертани от хората според вашето обяснение, да са еднакви.

Как мога да направя това? Как да зададете функция?Най-лесният начин, който вече е използван повече от веднъж в тази статия - с помощта на формула.Пишем формула и като заместваме стойност в нея, изчисляваме стойността. И както си спомняте, формулата е закон, правило, според което за нас и за друг човек става ясно как X се превръща в Y.

Обикновено те правят точно това - в задачите виждаме готови функции, дефинирани с формули, но има и други начини за задаване на функция, за които всички забравят и следователно въпросът „как иначе можете да зададете функция?“ обърква. Нека да разгледаме всичко по ред и да започнем с аналитичния метод.

Аналитичен начин за дефиниране на функция

Аналитичният метод е задача на функция, използваща формула. Това е най-универсалният и изчерпателен и недвусмислен начин. Ако имате формула, тогава знаете абсолютно всичко за функцията - можете да направите таблица със стойности върху нея, можете да изградите графика, да определите къде функцията нараства и къде намалява, като цяло, изследвайте я изцяло.

Нека разгледаме функция. Какво значение има?

"Какво означава?" - ти питаш. Сега ще обясня.

Нека ви напомня, че в нотацията изразът в скоби се нарича аргумент. И този аргумент може да бъде всеки израз, не непременно прост. Съответно, какъвто и да е аргументът (израз в скоби), ние ще го запишем вместо това в израза.

В нашия пример ще изглежда така:

Помислете за друга задача, свързана с аналитичния метод за уточняване на функция, която ще имате на изпита.

Намерете стойността на израза при.

Сигурен съм, че в началото сте се уплашили, когато сте видели такова изражение, но в него няма абсолютно нищо страшно!

Всичко е същото като в предишния пример: какъвто и да е аргументът (изразът в скоби), ние ще го запишем вместо това в израза. Например за функция.

Какво трябва да се направи в нашия пример? Вместо това трябва да напишете и вместо -:

съкратете получения израз:

Това е всичко!

Самостоятелна работа

Сега опитайте сами да намерите значението на следните изрази:

1. , ако
2. , ако

успяхте ли Нека сравним нашите отговори: Свикнали сме с факта, че функцията има формата

Дори в нашите примери ние дефинираме функцията по този начин, но аналитично е възможно да дефинираме функцията имплицитно, например.

Опитайте сами да изградите тази функция.

успяхте ли

Ето как го построих.

Какво уравнение получихме?

Правилно! Линеен, което означава, че графиката ще бъде права линия. Нека направим таблица, за да определим кои точки принадлежат на нашата права:

Точно за това говорихме... Едно отговаря на няколко.

Нека се опитаме да нарисуваме какво се случи:

Функция ли е това, което имаме?

Точно така, не! Защо? Опитайте се да отговорите на този въпрос със снимка. Какво получи?

„Защото една стойност съответства на няколко стойности!“

Какво заключение можем да направим от това?

Точно така, една функция не винаги може да бъде изразена експлицитно и това, което е „маскирано“ като функция, не винаги е функция!

Табличен начин за дефиниране на функция

Както подсказва името, този метод е проста чиния. Да да. Като тази, която вече направихме. Например:

Тук веднага забелязахте закономерност - Y е три пъти по-голямо от X. А сега задачата „помислете много добре“: смятате ли, че функция, дадена под формата на таблица, е еквивалентна на функция?

Да не говорим дълго, а да рисуваме!

Така. Начертаваме функция, дадена по двата начина:

Виждате ли разликата? Не става въпрос за отбелязаните точки! Погледни отблизо:

Видяхте ли го сега? Когато задаваме функцията таблично, ние отразяваме върху графиката само тези точки, които имаме в таблицата и правата (както в нашия случай) минава само през тях. Когато дефинираме функция по аналитичен начин, можем да вземем всякакви точки и нашата функция не се ограничава до тях. Ето една такава функция. Помня!

Графичен начин за изграждане на функция

Графичният начин за конструиране на функция е не по-малко удобен. Ние чертаем нашата функция и друго заинтересовано лице може да намери на какво е равно y при определено x и т.н. Графичните и аналитичните методи са сред най-разпространените.

Тук обаче трябва да запомните това, за което говорихме в самото начало - не всяка „качулка“, начертана в координатната система, е функция! Спомняте ли си? За всеки случай ще копирам тук дефиницията на това какво е функция:

По правило хората обикновено назовават точно онези три начина за определяне на функция, които сме анализирали - аналитичен (с помощта на формула), табличен и графичен, напълно забравяйки, че една функция може да бъде описана вербално. Като този? Да, много лесно!

Словесно описание на функцията

Как да опишем функцията вербално? Да вземем нашия скорошен пример - . Тази функция може да бъде описана като "всяка реална стойност на x съответства на нейната тройна стойност." Това е всичко. Нищо сложно. Разбира се, вие ще възразите - „има толкова сложни функции, че е просто невъзможно да се зададат устно!“ Да, има такива, но има функции, които е по-лесно да се опишат устно, отколкото да се зададат с формула. Например: "всяка естествена стойност на x съответства на разликата между цифрите, от които се състои, докато най-голямата цифра, съдържаща се в записа на числото, се приема като умалено." Сега помислете как нашето словесно описание на функцията се прилага на практика:

Най-голямата цифра в дадено число - съответно - се намалява, след което:

Основни видове функции

Сега нека преминем към най-интересното - ще разгледаме основните типове функции, с които сте работили / работите и ще работите в хода на училищната и институтската математика, тоест ще ги опознаем, така да се каже, и дайте им кратко описание. Прочетете повече за всяка функция в съответния раздел.

Линейна функция

Функция на формата, където са реални числа.

Графиката на тази функция е права линия, така че конструкцията на линейна функция се свежда до намиране на координатите на две точки.

Положението на правата върху координатната равнина зависи от наклона.

Обхват на функцията (известен още като диапазон на аргументи) - .

Диапазонът от стойности е.

квадратична функция

Функция на формата, където

Графиката на функцията е парабола, когато клоните на параболата са насочени надолу, когато - нагоре.

Много свойства на квадратична функция зависят от стойността на дискриминанта. Дискриминантът се изчислява по формулата

Позицията на параболата върху координатната равнина спрямо стойността и коефициента е показана на фигурата:

Домейн

Диапазонът на стойностите зависи от екстремума на дадената функция (върха на параболата) и коефициента (посоката на клоновете на параболата)

Обратна пропорционалност

Функцията, дадена от формулата, където

Числото се нарича коефициент на обратна пропорционалност. В зависимост от стойността, клоновете на хиперболата са в различни квадрати:

Домейн - .

Диапазонът от стойности е.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

1. Функцията е правило, според което на всеки елемент от множеството се присвоява уникален елемент от множеството.

• - това е формула, обозначаваща функция, тоест зависимостта на една променлива от друга;
• - променлива или аргумент;
• - зависима стойност - променя се при промяна на аргумента, тоест според някаква специфична формула, която отразява зависимостта на една стойност от друга.

2. Валидни стойности на аргументи, или обхватът на функция, е това, което е свързано с възможното, при което функцията има смисъл.

3. Диапазон от стойности на функцията- това е какви стойности приема, с валидни стойности.

4. Има 4 начина за настройка на функцията:

• аналитичен (с помощта на формули);
• табличен;
• графика
• словесно описание.

5. Основни видове функции:

• : , където, са реални числа;
• : , където;
• : , където.

Функционалната графика е визуално представяне на поведението на някаква функция в координатната равнина. Графиките помагат да се разберат различни аспекти на функция, които не могат да бъдат определени от самата функция. Можете да изградите графики на много функции и всяка от тях ще бъде дадена с определена формула. Графиката на всяка функция се изгражда според определен алгоритъм (ако сте забравили точния процес на начертаване на графика на определена функция).

стъпки

График на линейна функция

Определете дали функцията е линейна.Линейна функция е дадена с формула на формата F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)или y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(например ), а графиката му е права линия. Така формулата включва една променлива и една константа (константа) без експоненти, знаци за корен и други подобни. Като се има предвид функция с подобна форма, начертаването на такава функция е доста просто. Ето други примери за линейни функции:

Използвайте константа, за да маркирате точка на оста y.Константата (b) е координатата "y" на пресечната точка на графиката с оста Y. Тоест, това е точка, чиято координата "x" е 0. Така, ако x = 0 се замества във формулата , тогава y = b (константа). В нашия пример y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константата е 5, т.е. точката на пресичане с оста Y има координати (0,5). Начертайте тази точка върху координатната равнина.

Намерете наклона на линията.То е равно на множителя на променливата. В нашия пример y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)с променливата "x" е коефициент 2; по този начин наклонът е 2. Наклонът определя ъгъла на наклона на правата линия спрямо оста X, т.е. колкото по-голям е наклонът, толкова по-бързо се увеличава или намалява функцията.

Запишете наклона като дроб.Наклонът е равен на тангенса на ъгъла на наклона, т.е. отношението на вертикалното разстояние (между две точки на права линия) към хоризонталното разстояние (между същите точки). В нашия пример наклонът е 2, така че можем да кажем, че вертикалното разстояние е 2, а хоризонталното разстояние е 1. Запишете това като дроб: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ако наклонът е отрицателен, функцията е намаляваща.

1. От точката, където линията се пресича с оста Y, начертайте втора точка, като използвате вертикалното и хоризонталното разстояние. Линейна функция може да бъде начертана с помощта на две точки. В нашия пример точката на пресичане с оста Y има координати (0,5); от тази точка се преместете с 2 интервала нагоре и след това с 1 интервал надясно. Маркирайте точка; ще има координати (1,7). Сега можете да нарисувате права линия.

   Използвайте линийка, за да начертаете права линия през две точки.За да избегнете грешки, намерете третата точка, но в повечето случаи графиката може да бъде изградена с помощта на две точки. Така сте начертали линейна функция.

   Начертаване на точки върху координатната равнина

   1. Дефинирайте функция.Функцията се означава като f(x). Всички възможни стойности на променливата "y" се наричат ​​диапазон на функцията, а всички възможни стойности на променливата "x" се наричат ​​домейн на функцията. Например, разгледайте функцията y = x+2, а именно f(x) = x+2.

      Начертайте две пресичащи се перпендикулярни линии.Хоризонталната линия е оста X. Вертикалната линия е оста Y.

      Маркирайте координатните оси.Разделете всяка ос на равни сегменти и ги номерирайте. Пресечната точка на осите е 0. За оста X: положителните числа се нанасят отдясно (от 0), а отрицателните числа отляво. За оста Y: положителните числа се нанасят отгоре (от 0), а отрицателните числа отдолу.

      Намерете стойностите на "y" от стойностите на "x".В нашия пример f(x) = x+2. Заменете определени стойности на "x" в тази формула, за да изчислите съответните стойности на "y". Ако е дадена сложна функция, опростете я, като изолирате "y" от едната страна на уравнението.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Начертайте точки върху координатната равнина.За всяка двойка координати направете следното: намерете съответната стойност по оста x и начертайте вертикална линия (пунктирана линия); намерете съответната стойност на оста y и начертайте хоризонтална линия (пунктирана линия). Маркирайте точката на пресичане на двете пунктирани линии; по този начин сте начертали точка на графиката.

      Изтрийте пунктираните линии.Направете това, след като начертаете всички точки на графиката върху координатната равнина. Забележка: графиката на функцията f(x) = x е права линия, минаваща през центъра на координатите [точка с координати (0,0)]; графиката f(x) = x + 2 е права, успоредна на правата f(x) = x, но изместена нагоре с две единици и следователно минаваща през точката с координати (0,2) (тъй като константата е 2) .

   График на сложна функция

   Намерете нулите на функцията.Нулите на функцията са стойностите на променливата "x", при която y = 0, тоест това са точките на пресичане на графиката с оста x. Имайте предвид, че не всички функции имат нули, но това е първата стъпка в процеса на начертаване на графика на всяка функция. За да намерите нулите на функция, задайте я равна на нула. Например:

   Намерете и маркирайте хоризонталните асимптоти.Асимптотата е линия, която графиката на функцията се доближава, но никога не пресича (т.е. функцията не е дефинирана в тази област, например, когато е разделена на 0). Маркирайте асимптотата с пунктирана линия. Ако променливата "x" е в знаменателя на дроб (напр. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), задайте знаменателя на нула и намерете "x". В получените стойности на променливата "x" функцията не е дефинирана (в нашия пример начертайте пунктирани линии през x = 2 и x = -2), тъй като не можете да разделите на 0. Но асимптоти съществуват не само в случаите, когато функцията съдържа дробен израз. Затова се препоръчва да използвате здрав разум:

Избираме правоъгълна координатна система в равнината и нанасяме стойностите на аргумента върху абсцисната ос х, а по оста y - стойностите на функцията y = f(x).

Функционална графика y = f(x)се нарича множеството от всички точки, за които абсцисите принадлежат към домейна на функцията, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията.

С други думи, графиката на функцията y \u003d f (x) е множеството от всички точки в равнината, координатите Х, прикоито удовлетворяват отношението y = f(x).

На фиг. 45 и 46 са графики на функции y = 2x + 1и y \u003d x 2 - 2x.

Строго погледнато, трябва да се прави разлика между графиката на функция (чието точно математическо определение беше дадено по-горе) и начертаната крива, която винаги дава само повече или по-малко точна скица на графиката (и дори тогава, като правило, не цялата графика, а само нейната част, разположена в крайните части на равнината). В това, което следва обаче, обикновено ще говорим за „диаграма“, а не „скица на диаграма“.

С помощта на графика можете да намерите стойността на функция в точка. А именно, ако точката х = апринадлежи към обхвата на функцията y = f(x), след което да намерите номера е(а)(т.е. стойностите на функцията в точката х = а) трябва да го направи. Нуждаете се от точка с абциса х = аначертайте права линия, успоредна на оста y; тази линия ще пресича графиката на функцията y = f(x)в една точка; ординатата на тази точка ще бъде, по силата на определението на графиката, равна на е(а)(фиг. 47).

Например за функцията f(x) = x 2 - 2xс помощта на графиката (фиг. 46) намираме f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т.н.

Функционална графика визуално илюстрира поведението и свойствата на функция. Например, от разглеждане на фиг. 46 е ясно, че функцията y \u003d x 2 - 2xприема положителни стойности, когато х< 0 и при х > 2, отрицателен - при 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2xприема при х = 1.

Да начертаете функция f(x)трябва да намерите всички точки на равнината, координати х,прикоито удовлетворяват уравнението y = f(x). В повечето случаи това е невъзможно, тъй като има безкрайно много такива точки. Затова графиката на функцията се изобразява приблизително – с по-голяма или по-малка точност. Най-простият е методът на многоточково изобразяване. Състои се в това, че аргументът хдайте краен брой стойности - да речем x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k и направете таблица, която включва избраните стойности на функцията.

Таблицата изглежда така:

След като съставим такава таблица, можем да очертаем няколко точки на графиката на функцията y = f(x). След това, свързвайки тези точки с гладка линия, получаваме приблизителен изглед на графиката на функцията y = f(x).

Все пак трябва да се отбележи, че методът за многоточково изобразяване е много ненадежден. Всъщност поведението на графиката между маркираните точки и поведението й извън отсечката между взетите крайни точки остава неизвестно.

Пример 1. Да начертаете функция y = f(x)някой състави таблица със стойности на аргументи и функции:

Съответните пет точки са показани на фиг. 48.

Въз основа на местоположението на тези точки той заключава, че графиката на функцията е права линия (показана на фиг. 48 с пунктирана линия). Може ли това заключение да се счита за надеждно? Освен ако няма допълнителни съображения в подкрепа на това заключение, то едва ли може да се счита за надеждно. надежден.

За да обосновем нашето твърдение, разгледайте функцията

.

Изчисленията показват, че стойностите на тази функция в точки -2, -1, 0, 1, 2 са точно описани от горната таблица. Графиката на тази функция обаче изобщо не е права линия (показана е на фиг. 49). Друг пример е функцията y = x + l + sinx;неговите значения също са описани в таблицата по-горе.

Тези примери показват, че в своя "чист" вид многоточковият метод е ненадежден. Следователно, за да начертаете дадена функция, като правило, процедирайте по следния начин. Първо се изучават свойствата на тази функция, с помощта на които е възможно да се изгради скица на графиката. След това чрез изчисляване на стойностите на функцията в няколко точки (изборът на които зависи от зададените свойства на функцията) се намират съответните точки на графиката. И накрая се изчертава крива през построените точки, като се използват свойствата на тази функция.

По-късно ще разгледаме някои (най-простите и често използвани) свойства на функции, използвани за намиране на скица на графика, а сега ще анализираме някои често използвани методи за начертаване на графики.

Графика на функцията y = |f(x)|.

Често е необходимо да се начертае функция y = |f(x)|, където f(x) -дадена функция. Спомнете си как се прави това. По дефиниция на абсолютната стойност на число може да се напише

Това означава, че графиката на функцията y=|f(x)|може да се получи от графика, функции y = f(x)както следва: всички точки от графиката на функцията y = f(x), чиито ординати са неотрицателни, трябва да се оставят непроменени; по-нататък, вместо точките от графиката на функцията y = f(x), имащи отрицателни координати, трябва да се построят съответните точки от графиката на функцията y = -f(x)(т.е. част от функционалната графика
y = f(x), която лежи под оста Х,трябва да се отразява симетрично спрямо оста х).

Пример 2Начертайте функция y = |x|.

Вземаме графиката на функцията y = x(Фиг. 50, а) и част от тази графика, когато х< 0 (лежи под оста х) се отразява симетрично спрямо оста х. В резултат на това получаваме графиката на функцията y = |x|(Фиг. 50, b).

Пример 3. Начертайте функция y = |x 2 - 2x|.

Първо начертаваме функцията y = x 2 - 2x.Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре, върхът на параболата има координати (1; -1), нейната графика пресича абсцисната ос в точки 0 и 2. На интервала (0; 2 ) функцията приема отрицателни стойности, следователно тази част от графиката се отразява симетрично спрямо оста x. Фигура 51 показва графика на функцията y \u003d |x 2 -2x |, въз основа на графиката на функцията y = x 2 - 2x

Графика на функцията y = f(x) + g(x)

Разгледайте проблема за начертаване на функцията y = f(x) + g(x).ако са дадени графики на функции y = f(x)и y = g(x).

Обърнете внимание, че домейнът на функцията y = |f(x) + g(х)| е множеството от всички онези стойности на x, за които и двете функции y = f(x) и y = g(x) са дефинирани, т.е. тази област на дефиниция е пресечната точка на областите на дефиниция, функциите f(x ) и g(x).

Нека точките (x 0, y 1) и (x 0, y 2) съответно принадлежат на графиките на функциите y = f(x)и y = g(x), т.е 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0).Тогава точката (x0;. y1 + y2) принадлежи на графиката на функцията y = f(x) + g(x)(за f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. и всяка точка от графиката на функцията y = f(x) + g(x)може да се получи по този начин. Следователно графиката на функцията y = f(x) + g(x)могат да бъдат получени от графики на функции y = f(x). и y = g(x)чрез замяна на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)точка (x n, y 1 + y 2),където y 2 = g(x n), т.е. чрез преместване на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)по оста припо количеството y 1 \u003d g (x n). В този случай се вземат предвид само такива точки. х n, за които са дефинирани и двете функции y = f(x)и y = g(x).

Този метод за начертаване на функционална графика y = f(x) + g(x) се нарича събиране на графики на функции y = f(x)и y = g(x)

Пример 4. На фигурата чрез метода на добавяне на графики се изгражда графика на функцията
y = x + sinx.

При начертаване на функция y = x + sinxние предположихме, че f(x) = x,а g(x) = sinx.За да изградим функционална графика, избираме точки с абсцисите -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Стойности f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxще изчислим в избраните точки и ще поставим резултатите в таблицата.

Изграждането на графики на функции, съдържащи модули, обикновено създава значителни трудности за учениците. Всичко обаче не е толкова лошо. Достатъчно е да запомните няколко алгоритъма за решаване на такива задачи и лесно можете да начертаете дори най-сложната на пръв поглед функция. Нека да видим какви са тези алгоритми.

1. Начертаване на функцията y = |f(x)|

Обърнете внимание, че наборът от стойности на функцията y = |f(x)| : y ≥ 0. По този начин графиките на такива функции винаги са разположени изцяло в горната полуравнина.

График на функцията y = |f(x)| се състои от следните прости четири стъпки.

1) Постройте внимателно и внимателно графиката на функцията y = f(x).

2) Оставете непроменени всички точки от графиката, които са над или върху оста 0x.

3) Частта от графиката, която лежи под оста 0x, се показва симетрично спрямо оста 0x.

Пример 1. Начертайте графика на функцията y = |x 2 - 4x + 3|

1) Изграждаме графика на функцията y \u003d x 2 - 4x + 3. Очевидно е, че графиката на тази функция е парабола. Нека намерим координатите на всички точки на пресичане на параболата с координатните оси и координатите на върха на параболата.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следователно параболата пресича оста 0x в точки (3, 0) и (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Следователно параболата пресича оста 0y в точката (0, 3).

Координати на върха на парабола:

x в = - (-4/2) = 2, y в = 2 2 - 4 2 + 3 = -1.

Следователно точката (2, -1) е върхът на тази парабола.

Начертайте парабола, като използвате получените данни (Фиг. 1)

2) Частта от графиката, лежаща под оста 0x, се показва симетрично по отношение на оста 0x.

3) Получаваме графиката на оригиналната функция ( ориз. 2, показано с пунктирана линия).

2. График на функцията y = f(|x|)

Обърнете внимание, че функциите от формата y = f(|x|) са четни:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Това означава, че графиките на такива функции са симетрични спрямо оста 0y.

Начертаването на функцията y = f(|x|) се състои от следната проста верига от действия.

1) Начертайте функцията y = f(x).

2) Оставете тази част от графиката, за която x ≥ 0, тоест частта от графиката, разположена в дясната полуравнина.

3) Покажете частта от графиката, посочена в параграф (2), симетрично спрямо оста 0y.

4) Като крайна графика изберете обединението на кривите, получени в параграфи (2) и (3).

Пример 2. Начертайте графика на функцията y = x 2 – 4 · |x| + 3

Тъй като x 2 = |x| 2 , тогава оригиналната функция може да бъде пренаписана както следва: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. И сега можем да приложим алгоритъма, предложен по-горе.

1) Изграждаме внимателно и внимателно графиката на функцията y \u003d x 2 - 4 x + 3 (вижте също ориз. един).

2) Оставяме тази част от графиката, за която x ≥ 0, тоест частта от графиката, разположена в дясната полуравнина.

3) Покажете дясната страна на графиката симетрично спрямо оста 0y.

(фиг. 3).

Пример 3. Начертайте графика на функцията y = log 2 |x|

Прилагаме схемата, дадена по-горе.

1) Начертаваме функцията y = log 2 x (фиг. 4).

3. Начертаване на функцията y = |f(|x|)|

Обърнете внимание, че функции от формата y = |f(|x|)| също са четни. Наистина, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) и следователно техните графики са симетрични спрямо оста 0y. Наборът от стойности на такива функции: y ≥ 0. Следователно графиките на такива функции са разположени изцяло в горната полуравнина.

За да начертаете функцията y = |f(|x|)|, трябва да:

1) Постройте чиста графика на функцията y = f(|x|).

2) Оставете непроменена частта от графиката, която е над или върху оста 0x.

3) Частта от графиката, разположена под оста 0x, трябва да се показва симетрично по отношение на оста 0x.

4) Като крайна графика изберете обединението на кривите, получени в параграфи (2) и (3).

Пример 4. Начертайте графика на функцията y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Забележете, че x 2 = |x| 2. Следователно, вместо оригиналната функция y = -x 2 + 2|x| - един

можете да използвате функцията y = -|x| 2 + 2|x| – 1, тъй като графиките им са еднакви.

Изграждаме графика y = -|x| 2 + 2|x| – 1. За целта използваме алгоритъм 2.

а) Начертаваме функцията y \u003d -x 2 + 2x - 1 (фиг. 6).

б) Оставяме тази част от графиката, която се намира в дясната полуравнина.

в) Покажете получената част от графиката симетрично спрямо оста 0y.

г) Получената графика е показана на фигурата с пунктирана линия (фиг. 7).

2) Няма точки над оста 0x, оставяме точките на оста 0x непроменени.

3) Частта от графиката, разположена под оста 0x, се показва симетрично по отношение на 0x.

4) Получената графика е показана на фигурата с пунктирана линия (фиг. 8).

Пример 5. Начертайте функцията y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Първо трябва да начертаете функцията y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). За да направим това, се връщаме към алгоритъм 2.

а) Начертайте внимателно функцията y = (2x – 4) / (x + 3) (фиг. 9).

Имайте предвид, че тази функция е дробно-линейна и нейната графика е хипербола. За да изградите крива, първо трябва да намерите асимптотите на графиката. Хоризонтално - y \u003d 2/1 (съотношението на коефициентите при x в числителя и знаменателя на дроб), вертикално - x \u003d -3.

2) Частта от диаграмата, която е над или върху оста 0x, ще остане непроменена.

3) Частта от диаграмата, разположена под оста 0x, ще бъде показана симетрично по отношение на 0x.

4) Крайната графика е показана на фигурата (фиг. 11).

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.