Γράφημα της συνάρτησης y 10x. Πώς να γράψετε μια συνάρτηση. Σχεδιάζοντας μια γραμμική συνάρτηση στο Excel

Δυστυχώς, δεν γνωρίζουν και δεν αγαπούν όλοι οι μαθητές και οι μαθητές την άλγεβρα, αλλά όλοι πρέπει να προετοιμάσουν τις εργασίες για το σπίτι, να λύσουν τεστ και να δώσουν εξετάσεις. Είναι ιδιαίτερα δύσκολο για πολλούς να βρουν εργασίες για τη δημιουργία γραφημάτων συναρτήσεων: αν κάπου δεν καταλαβαίνετε κάτι, μην το ολοκληρώσετε, το χάσετε, τα λάθη είναι αναπόφευκτα. Αλλά ποιος θέλει να πάρει κακούς βαθμούς;

Θα θέλατε να συμμετάσχετε στην ομάδα των tailers και των χαμένων; Για να το κάνετε αυτό, έχετε 2 τρόπους: να καθίσετε για σχολικά βιβλία και να συμπληρώσετε τα κενά στη γνώση ή να χρησιμοποιήσετε έναν εικονικό βοηθό - μια υπηρεσία για αυτόματη γραφική παράσταση γραφημάτων συναρτήσεων σύμφωνα με καθορισμένες συνθήκες. Με ή χωρίς απόφαση. Σήμερα θα σας παρουσιάσουμε μερικά από αυτά.

Το καλύτερο πράγμα για το Desmos.com είναι η εξαιρετικά προσαρμόσιμη διεπαφή, η διαδραστικότητα, η δυνατότητα διάδοσης των αποτελεσμάτων σε πίνακες και αποθήκευσης της εργασίας σας στη βάση δεδομένων πόρων δωρεάν χωρίς χρονικούς περιορισμούς. Και το μειονέκτημα είναι ότι η υπηρεσία δεν μεταφράζεται πλήρως στα ρωσικά.

Grafikus.ru

Το Grafikus.ru είναι ένας άλλος αξιοσημείωτος υπολογιστής χαρτογράφησης ρωσικής γλώσσας. Επιπλέον, τα κατασκευάζει όχι μόνο σε δισδιάστατο, αλλά και σε τρισδιάστατο χώρο.

Ακολουθεί μια ημιτελής λίστα εργασιών με τις οποίες αυτή η υπηρεσία αντιμετωπίζει με επιτυχία:

• Σχεδιάζοντας δισδιάστατα γραφήματα απλών συναρτήσεων: ευθείες, παραβολές, υπερβολές, τριγωνομετρικές, λογαριθμικές κ.λπ.
• Σχεδιάζοντας δισδιάστατα γραφήματα παραμετρικών συναρτήσεων: κύκλοι, σπείρες, σχήματα Lissajous και άλλα.
• Σχεδιάζοντας δισδιάστατα γραφήματα σε πολικές συντεταγμένες.
• Κατασκευή τρισδιάστατων επιφανειών απλών λειτουργιών.
• Κατασκευή τρισδιάστατων επιφανειών παραμετρικών συναρτήσεων.

Το τελικό αποτέλεσμα ανοίγει σε ξεχωριστό παράθυρο. Ο χρήστης έχει επιλογές για λήψη, εκτύπωση και αντιγραφή του συνδέσμου σε αυτό. Για το τελευταίο, θα πρέπει να συνδεθείτε στην υπηρεσία μέσω των κουμπιών των κοινωνικών δικτύων.

Το επίπεδο συντεταγμένων του Grafikus.ru υποστηρίζει την αλλαγή των ορίων των αξόνων, των ετικετών τους, της απόστασης του πλέγματος, καθώς και του πλάτους και του ύψους του ίδιου του επιπέδου και του μεγέθους της γραμματοσειράς.

Το μεγαλύτερο πλεονέκτημα του Grafikus.ru είναι η δυνατότητα δημιουργίας τρισδιάστατων γραφημάτων. Διαφορετικά, δεν λειτουργεί χειρότερα και δεν λειτουργεί καλύτερα από τους αναλογικούς πόρους.

Onlinecharts.ru

Ο διαδικτυακός βοηθός Onlinecharts.ru δεν δημιουργεί γραφήματα, αλλά γραφήματα σχεδόν όλων των υπαρχόντων τύπων. Συμπεριλαμβανομένου:

• Γραμμικός.
• Κιονοειδής.
• Εγκύκλιος.
• με περιοχές.
• Ακτινικός.
• Διαγράμματα XY.
• Φυσαλλίδα.
• Σημείο.
• Polar Bulls.
• Πυραμίδες.
• Ταχύμετρα.
• Στήλη-γραμμική.

Ο πόρος είναι πολύ εύκολος στη χρήση. Η εμφάνιση του γραφήματος (χρώμα φόντου, πλέγμα, γραμμές, δείκτες, σχήμα γωνίας, γραμματοσειρές, διαφάνεια, ειδικά εφέ κ.λπ.) καθορίζεται πλήρως από τον χρήστη. Τα δεδομένα για την κατασκευή μπορούν να εισαχθούν είτε με μη αυτόματο τρόπο είτε να εισαχθούν από έναν πίνακα σε ένα αρχείο CSV που είναι αποθηκευμένο σε υπολογιστή. Το τελικό αποτέλεσμα είναι διαθέσιμο για λήψη σε υπολογιστή ως αρχείο εικόνας, PDF, CSV ή SVG, καθώς και για αποθήκευση στο διαδίκτυο στη φιλοξενία φωτογραφιών ImageShack.Us ή στον προσωπικό σας λογαριασμό στο Onlinecharts.ru. Η πρώτη επιλογή μπορεί να χρησιμοποιηθεί από όλους, η δεύτερη - μόνο οι εγγεγραμμένοι.

Αρχικά, προσπαθήστε να βρείτε το εύρος της συνάρτησης:

Κατάφερες? Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις:

Εντάξει? Μπράβο!

Τώρα ας προσπαθήσουμε να βρούμε το εύρος της συνάρτησης:

Βρέθηκαν? Συγκρίνω:

Συμφωνούσε; Μπράβο!

Ας δουλέψουμε ξανά με τα γραφήματα, μόνο που τώρα είναι λίγο πιο δύσκολο - να βρούμε τόσο τον τομέα της συνάρτησης όσο και το εύρος της συνάρτησης.

Πώς να βρείτε τόσο τον τομέα όσο και το εύρος μιας συνάρτησης (Για προχωρημένους)

Να τι συνέβη:

Με τα γραφικά, νομίζω ότι το κατάλαβες. Τώρα ας προσπαθήσουμε να βρούμε τον τομέα της συνάρτησης σύμφωνα με τους τύπους (αν δεν ξέρετε πώς να το κάνετε αυτό, διαβάστε την ενότητα σχετικά με):

Κατάφερες? Ελεγχος απαντήσεις:

1. , αφού η έκφραση ρίζας πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με μηδέν.
2. , αφού είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν και η ριζική έκφραση δεν μπορεί να είναι αρνητική.
3. , αφού, αντίστοιχα, για όλους.
4. γιατί δεν μπορείς να διαιρέσεις με το μηδέν.

Ωστόσο, έχουμε ακόμα μια στιγμή που δεν έχει διευθετηθεί…

Επιτρέψτε μου να επαναλάβω τον ορισμό και να επικεντρωθώ σε αυτόν:

Παρατηρήσατε; Η λέξη «μόνο» είναι ένα πολύ, πολύ σημαντικό στοιχείο του ορισμού μας. Θα προσπαθήσω να σας εξηγήσω στα δάχτυλα.

Ας πούμε ότι έχουμε μια συνάρτηση που δίνεται από μια ευθεία γραμμή. . Όταν, αντικαθιστούμε αυτήν την τιμή στον "κανόνα" μας και το παίρνουμε. Μία τιμή αντιστοιχεί σε μία τιμή. Μπορούμε ακόμη να φτιάξουμε έναν πίνακα με διάφορες τιμές και να σχεδιάσουμε μια δεδομένη συνάρτηση για να το επαληθεύσουμε.

"Κοίτα! - λες, - "" συναντιέται δύο φορές!" Μήπως λοιπόν η παραβολή δεν είναι συνάρτηση; ΟΧΙ ειναι!

Το γεγονός ότι το "" εμφανίζεται δύο φορές απέχει πολύ από το να κατηγορηθεί η παραβολή για ασάφεια!

Το γεγονός είναι ότι, όταν υπολογίσαμε για, πήραμε ένα παιχνίδι. Και κατά τον υπολογισμό με, πήραμε ένα παιχνίδι. Έτσι είναι σωστό, η παραβολή είναι συνάρτηση. Κοιτάξτε το διάγραμμα:

Το έπιασα? Αν όχι, εδώ είναι ένα πραγματικό παράδειγμα για εσάς, μακριά από τα μαθηματικά!

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ομάδα αιτούντων που συναντήθηκαν κατά την υποβολή εγγράφων, καθένας από τους οποίους είπε σε μια συνομιλία πού μένει:

Συμφωνώ, είναι αρκετά ρεαλιστικό ότι πολλοί τύποι ζουν στην ίδια πόλη, αλλά είναι αδύνατο για ένα άτομο να ζει σε πολλές πόλεις ταυτόχρονα. Αυτή είναι, σαν να λέγαμε, μια λογική αναπαράσταση της "παραβολής" μας - Αρκετά διαφορετικά x αντιστοιχούν στο ίδιο y.

Τώρα ας βρούμε ένα παράδειγμα όπου η εξάρτηση δεν είναι συνάρτηση. Ας πούμε ότι τα ίδια παιδιά είπαν για ποιες ειδικότητες έκαναν αίτηση:

Εδώ έχουμε μια εντελώς διαφορετική κατάσταση: ένα άτομο μπορεί εύκολα να υποβάλει αίτηση για μία ή περισσότερες κατευθύνσεις. Αυτό είναι ένα στοιχείοτα σετ τοποθετούνται σε αντιστοιχία πολλαπλά στοιχείασκηνικά. Αντίστοιχα, δεν είναι συνάρτηση.

Ας δοκιμάσουμε τις γνώσεις σας στην πράξη.

Προσδιορίστε από τις εικόνες τι είναι συνάρτηση και τι όχι:

Το έπιασα? Και εδώ είναι απαντήσεις:

• Η συνάρτηση είναι - B,E.
• Δεν είναι συνάρτηση - A, B, D, D.

Ρωτάς γιατί; Ναι, να γιατί:

Σε όλα τα στοιχεία εκτός από ΣΤΟ)και ΜΙ)υπάρχουν πολλά για ένα!

Είμαι βέβαιος ότι τώρα μπορείτε εύκολα να διακρίνετε μια συνάρτηση από μια μη συνάρτηση, να πείτε τι είναι ένα όρισμα και τι μια εξαρτημένη μεταβλητή και επίσης να προσδιορίσετε το εύρος του ορίσματος και το εύρος της συνάρτησης. Ας προχωρήσουμε στην επόμενη ενότητα - πώς να ορίσετε μια συνάρτηση;

Τρόποι για να ορίσετε μια λειτουργία

Τι νομίζεις ότι σημαίνουν οι λέξεις "συνάρτηση ορισμού"? Σωστά, σημαίνει να εξηγήσουμε σε όλους για ποια λειτουργία μιλάμε σε αυτή την περίπτωση. Επιπλέον, εξηγήστε με τέτοιο τρόπο ώστε όλοι να σας καταλαβαίνουν σωστά και τα γραφήματα των συναρτήσεων που σχεδιάστηκαν από άτομα σύμφωνα με την εξήγησή σας ήταν τα ίδια.

Πως μπορώ να το κάνω αυτό? Πώς να ορίσετε μια λειτουργία;Ο ευκολότερος τρόπος, ο οποίος έχει ήδη χρησιμοποιηθεί περισσότερες από μία φορές σε αυτό το άρθρο - χρησιμοποιώντας έναν τύπο.Γράφουμε έναν τύπο και αντικαθιστώντας μια τιμή σε αυτόν, υπολογίζουμε την τιμή. Και όπως θυμάστε, ένας τύπος είναι ένας νόμος, ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο γίνεται σαφές σε εμάς και σε ένα άλλο άτομο πώς ένα Χ μετατρέπεται σε Υ.

Συνήθως, αυτό ακριβώς κάνουν - στις εργασίες βλέπουμε έτοιμες συναρτήσεις που ορίζονται από τύπους, ωστόσο, υπάρχουν άλλοι τρόποι για να ορίσετε μια συνάρτηση που όλοι ξεχνούν και επομένως η ερώτηση "πώς αλλιώς μπορείτε να ορίσετε μια συνάρτηση;" μπερδεύει. Ας ρίξουμε μια ματιά σε όλα με τη σειρά, και ας ξεκινήσουμε με την αναλυτική μέθοδο.

Αναλυτικός τρόπος ορισμού συνάρτησης

Η αναλυτική μέθοδος είναι η εργασία μιας συνάρτησης που χρησιμοποιεί έναν τύπο. Αυτός είναι ο πιο καθολικός και περιεκτικός και ξεκάθαρος τρόπος. Εάν έχετε έναν τύπο, τότε γνωρίζετε απολύτως τα πάντα για τη συνάρτηση - μπορείτε να δημιουργήσετε έναν πίνακα τιμών​​σε αυτήν, μπορείτε να δημιουργήσετε ένα γράφημα, να καθορίσετε πού αυξάνεται η συνάρτηση και πού μειώνεται, γενικά, να την εξερευνήσετε σε πλήρη.

Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση. Τι σημασία έχει?

"Τι σημαίνει?" - εσύ ρωτάς. Θα εξηγήσω τώρα.

Να σας υπενθυμίσω ότι στη σημειογραφία, η έκφραση σε αγκύλες ονομάζεται όρισμα. Και αυτό το επιχείρημα μπορεί να είναι οποιαδήποτε έκφραση, όχι απαραίτητα απλή. Αντίστοιχα, όποιο και αν είναι το όρισμα (έκφραση σε αγκύλες), θα το γράψουμε στην έκφραση.

Στο παράδειγμά μας, θα μοιάζει με αυτό:

Εξετάστε μια άλλη εργασία που σχετίζεται με την αναλυτική μέθοδο καθορισμού μιας συνάρτησης που θα έχετε στην εξέταση.

Βρείτε την τιμή της έκφρασης, στο.

Είμαι σίγουρος ότι στην αρχή, τρόμαξες όταν είδες μια τέτοια έκφραση, αλλά δεν υπάρχει απολύτως τίποτα τρομακτικό σε αυτήν!

Όλα είναι ίδια όπως στο προηγούμενο παράδειγμα: όποιο και αν είναι το όρισμα (έκφραση σε αγκύλες), θα το γράψουμε αντί αυτού στην έκφραση. Για παράδειγμα, για μια συνάρτηση.

Τι πρέπει να γίνει στο παράδειγμά μας; Αντίθετα, πρέπει να γράψετε και αντί για -:

συντομεύστε την έκφραση που προκύπτει:

Αυτό είναι όλο!

Ανεξάρτητη εργασία

Τώρα προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τη σημασία των παρακάτω εκφράσεων:

1. , αν
2. , αν

Κατάφερες? Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας: Έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι η συνάρτηση έχει τη μορφή

Ακόμη και στα παραδείγματά μας, ορίζουμε τη συνάρτηση με αυτόν τον τρόπο, αλλά αναλυτικά είναι δυνατό να ορίσουμε τη συνάρτηση έμμεσα, για παράδειγμα.

Δοκιμάστε να δημιουργήσετε αυτήν τη λειτουργία μόνοι σας.

Κατάφερες?

Να πώς το έφτιαξα.

Σε ποια εξίσωση καταλήξαμε;

Σωστά! Γραμμικό, που σημαίνει ότι το γράφημα θα είναι ευθεία γραμμή. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα για να προσδιορίσουμε ποια σημεία ανήκουν στη γραμμή μας:

Απλώς για αυτό λέγαμε ... Το ένα αντιστοιχεί σε πολλά.

Ας προσπαθήσουμε να σχεδιάσουμε τι συνέβη:

Αυτό που πήραμε είναι συνάρτηση;

Σωστά, όχι! Γιατί; Προσπαθήστε να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση με μια εικόνα. Τι πήρες?

«Επειδή μια τιμή αντιστοιχεί σε πολλές τιμές!»

Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε από αυτό;

Σωστά, μια συνάρτηση δεν μπορεί πάντα να εκφραστεί ρητά και αυτό που "μεταμφιέζεται" ως συνάρτηση δεν είναι πάντα συνάρτηση!

Πίνακας τρόπος ορισμού συνάρτησης

Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτή η μέθοδος είναι μια απλή πλάκα. Ναι ναι. Όπως αυτό που ήδη φτιάξαμε. Για παράδειγμα:

Εδώ παρατηρήσατε αμέσως ένα μοτίβο - το Y είναι τρεις φορές μεγαλύτερο από το X. Και τώρα η εργασία "σκέψου πολύ καλά": πιστεύεις ότι μια συνάρτηση που δίνεται με τη μορφή πίνακα είναι ισοδύναμη με μια συνάρτηση;

Ας μην μιλάμε για πολύ, αλλά ας ζωγραφίσουμε!

Ετσι. Σχεδιάζουμε μια συνάρτηση που δίνεται και με τους δύο τρόπους:

Βλέπεις τη διαφορά; Δεν πρόκειται για τα σημειωμένα σημεία! Κοίτα καλύτερα:

Το είδες τώρα; Όταν ορίζουμε τη συνάρτηση με πίνακα, αναστοχαζόμαστε στο γράφημα μόνο εκείνα τα σημεία που έχουμε στον πίνακα και η γραμμή (όπως στην περίπτωσή μας) περνά μόνο από αυτά. Όταν ορίζουμε μια συνάρτηση με αναλυτικό τρόπο, μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε σημεία και η συνάρτησή μας δεν περιορίζεται σε αυτά. Εδώ είναι ένα τέτοιο χαρακτηριστικό. Θυμάμαι!

Γραφικός τρόπος δημιουργίας μιας συνάρτησης

Ο γραφικός τρόπος κατασκευής μιας συνάρτησης δεν είναι λιγότερο βολικός. Σχεδιάζουμε τη συνάρτησή μας και ένας άλλος ενδιαφερόμενος μπορεί να βρει τι ισούται με το y σε ένα ορισμένο x κ.ο.κ. Οι γραφικές και αναλυτικές μέθοδοι είναι από τις πιο κοινές.

Ωστόσο, εδώ πρέπει να θυμάστε αυτό που μιλήσαμε στην αρχή - δεν είναι κάθε «σκιρτάκι» που σχεδιάζεται στο σύστημα συντεταγμένων συνάρτηση! Θυμήθηκε; Σε κάθε περίπτωση, θα αντιγράψω εδώ τον ορισμό του τι είναι συνάρτηση:

Κατά κανόνα, οι άνθρωποι συνήθως ονομάζουν ακριβώς αυτούς τους τρεις τρόπους προσδιορισμού μιας συνάρτησης που έχουμε αναλύσει - αναλυτικό (χρησιμοποιώντας τύπο), πίνακα και γραφικό, ξεχνώντας εντελώς ότι μια συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί προφορικά. Σαν αυτό? Ναι, πολύ εύκολο!

Λεκτική περιγραφή της λειτουργίας

Πώς να περιγράψετε τη λειτουργία προφορικά; Ας πάρουμε το πρόσφατο παράδειγμα μας - . Αυτή η συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί ως "κάθε πραγματική τιμή του x αντιστοιχεί στην τριπλή τιμή του." Αυτό είναι όλο. Τίποτα περίπλοκο. Φυσικά, θα αντιταχθείτε - "υπάρχουν τόσο περίπλοκες λειτουργίες που είναι απλά αδύνατο να οριστούν προφορικά!" Ναι, υπάρχουν μερικές, αλλά υπάρχουν συναρτήσεις που είναι πιο εύκολο να περιγραφούν προφορικά παρά να οριστούν με έναν τύπο. Για παράδειγμα: "κάθε φυσική τιμή του x αντιστοιχεί στη διαφορά μεταξύ των ψηφίων από τα οποία αποτελείται, ενώ το μεγαλύτερο ψηφίο που περιέχεται στην καταχώριση αριθμού λαμβάνεται ως δευτερεύον." Τώρα εξετάστε πώς εφαρμόζεται στην πράξη η λεκτική περιγραφή της συνάρτησης:

Το μεγαλύτερο ψηφίο σε έναν δεδομένο αριθμό -, αντίστοιχα, - μειώνεται, τότε:

Κύριοι τύποι λειτουργιών

Τώρα ας περάσουμε στα πιο ενδιαφέροντα - θα εξετάσουμε τους κύριους τύπους συναρτήσεων με τους οποίους δουλέψατε / εργάζεστε και θα εργαστείτε στο μάθημα του σχολείου και του ινστιτούτου μαθηματικών, δηλαδή, θα τους γνωρίσουμε, ας πούμε, και δώστε τους μια σύντομη περιγραφή. Διαβάστε περισσότερα για κάθε λειτουργία στην αντίστοιχη ενότητα.

Γραμμική συνάρτηση

Μια συνάρτηση της φόρμας, όπου, είναι πραγματικοί αριθμοί.

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή, επομένως η κατασκευή μιας γραμμικής συνάρτησης ανάγεται στην εύρεση των συντεταγμένων δύο σημείων.

Η θέση της ευθείας στο επίπεδο συντεταγμένων εξαρτάται από την κλίση.

Εύρος συνάρτησης (γνωστός και ως εύρος ορίσματος) - .

Το εύρος τιμών είναι .

τετραγωνική λειτουργία

Συνάρτηση της φόρμας, όπου

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή, όταν οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω, πότε - προς τα πάνω.

Πολλές ιδιότητες μιας τετραγωνικής συνάρτησης εξαρτώνται από την τιμή της διάκρισης. Η διάκριση υπολογίζεται με τον τύπο

Η θέση της παραβολής στο επίπεδο συντεταγμένων σε σχέση με την τιμή και τον συντελεστή φαίνεται στο σχήμα:

Τομέα

Το εύρος των τιμών εξαρτάται από το άκρο της δεδομένης συνάρτησης (η κορυφή της παραβολής) και τον συντελεστή (την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής)

Αντιστρόφως αναλογικότητα

Η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο, όπου

Ο αριθμός ονομάζεται παράγοντας αντίστροφης αναλογικότητας. Ανάλογα με την τιμή, οι κλάδοι της υπερβολής είναι σε διαφορετικά τετράγωνα:

Τομέα - .

Το εύρος τιμών είναι .

ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

1. Συνάρτηση είναι ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου εκχωρείται ένα μοναδικό στοιχείο του συνόλου.

• - αυτός είναι ένας τύπος που υποδηλώνει μια συνάρτηση, δηλαδή την εξάρτηση μιας μεταβλητής από μια άλλη.
• - μεταβλητή ή όρισμα.
• - εξαρτημένη τιμή - αλλάζει όταν αλλάζει το όρισμα, δηλαδή σύμφωνα με κάποιον συγκεκριμένο τύπο που αντανακλά την εξάρτηση μιας τιμής από μια άλλη.

2. Έγκυρες τιμές ορίσματος, ή το εύρος μιας συνάρτησης, είναι αυτό που σχετίζεται με το δυνατό κάτω από το οποίο η συνάρτηση έχει νόημα.

3. Εύρος τιμών συνάρτησης- αυτό παίρνει τις αξίες, με έγκυρες τιμές.

4. Υπάρχουν 4 τρόποι για να ορίσετε τη συνάρτηση:

• αναλυτική (χρησιμοποιώντας τύπους).
• πινακοειδής;
• γραφικός
• λεκτική περιγραφή.

5. Κύριοι τύποι λειτουργιών:

• : , όπου, είναι πραγματικοί αριθμοί.
• : , όπου;
• : , όπου.

Ένα γράφημα συνάρτησης είναι μια οπτική αναπαράσταση της συμπεριφοράς κάποιας συνάρτησης στο επίπεδο συντεταγμένων. Τα διαγράμματα βοηθούν στην κατανόηση διαφόρων πτυχών μιας συνάρτησης που δεν μπορούν να προσδιοριστούν από την ίδια τη συνάρτηση. Μπορείτε να δημιουργήσετε γραφήματα πολλών συναρτήσεων και καθεμία από αυτές θα δοθεί από έναν συγκεκριμένο τύπο. Το γράφημα οποιασδήποτε συνάρτησης είναι χτισμένο σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο (αν ξεχάσατε την ακριβή διαδικασία δημιουργίας γραφήματος μιας συγκεκριμένης συνάρτησης).

Βήματα

Σχεδίαση μιας γραμμικής συνάρτησης

Προσδιορίστε αν η συνάρτηση είναι γραμμική.Μια γραμμική συνάρτηση δίνεται από έναν τύπο της μορφής F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)ή y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(για παράδειγμα, ), και η γραφική παράσταση του είναι μια ευθεία γραμμή. Έτσι, ο τύπος περιλαμβάνει μία μεταβλητή και μία σταθερά (σταθερά) χωρίς εκθέτες, σημάδια ρίζας και παρόμοια. Δεδομένης μιας συνάρτησης παρόμοιας μορφής, η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης είναι αρκετά απλή. Ακολουθούν άλλα παραδείγματα γραμμικών συναρτήσεων:

Χρησιμοποιήστε μια σταθερά για να σημειώσετε ένα σημείο στον άξονα y.Η σταθερά (b) είναι η συντεταγμένη «y» του σημείου τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα Υ. Είναι δηλαδή ένα σημείο του οποίου η συντεταγμένη «x» είναι 0. Έτσι, αν x = 0 αντικατασταθεί στον τύπο , τότε y = b (σταθερά). Στο παράδειγμά μας y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)η σταθερά είναι 5, δηλαδή το σημείο τομής με τον άξονα Υ έχει συντεταγμένες (0,5). Σχεδιάστε αυτό το σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Βρείτε την κλίση της γραμμής.Είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή της μεταβλητής. Στο παράδειγμά μας y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)με τη μεταβλητή "x" είναι συντελεστής 2. Έτσι, η κλίση είναι 2. Η κλίση καθορίζει τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Χ, δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η κλίση, τόσο πιο γρήγορα αυξάνεται ή μειώνεται η συνάρτηση.

Γράψτε την κλίση ως κλάσμα.Η κλίση είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης, δηλαδή τον λόγο της κατακόρυφης απόστασης (μεταξύ δύο σημείων σε ευθεία γραμμή) προς την οριζόντια απόσταση (μεταξύ των ίδιων σημείων). Στο παράδειγμά μας, η κλίση είναι 2, οπότε μπορούμε να πούμε ότι η κατακόρυφη απόσταση είναι 2 και η οριζόντια απόσταση είναι 1. Γράψτε αυτό ως κλάσμα: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Εάν η κλίση είναι αρνητική, η συνάρτηση μειώνεται.

1. Από το σημείο όπου η ευθεία τέμνεται με τον άξονα Υ, σχεδιάστε ένα δεύτερο σημείο χρησιμοποιώντας τις κατακόρυφες και οριζόντιες αποστάσεις. Μια γραμμική συνάρτηση μπορεί να σχεδιαστεί χρησιμοποιώντας δύο σημεία. Στο παράδειγμά μας, το σημείο τομής με τον άξονα Υ έχει συντεταγμένες (0,5). από αυτό το σημείο μετακινηθείτε 2 κενά προς τα πάνω και μετά 1 κενό προς τα δεξιά. Σημειώστε ένα σημείο. θα έχει συντεταγμένες (1,7). Τώρα μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή.

   Χρησιμοποιήστε έναν χάρακα για να τραβήξετε μια ευθεία γραμμή σε δύο σημεία.Για να αποφύγετε λάθη, βρείτε το τρίτο σημείο, αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις το γράφημα μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας δύο σημεία. Έτσι, έχετε σχεδιάσει μια γραμμική συνάρτηση.

   Σχεδίαση σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων

   1. Ορίστε μια συνάρτηση.Η συνάρτηση συμβολίζεται ως f(x). Όλες οι πιθανές τιμές της μεταβλητής "y" ονομάζονται εύρος της συνάρτησης και όλες οι πιθανές τιμές της μεταβλητής "x" ονομάζονται τομέας της συνάρτησης. Για παράδειγμα, θεωρήστε τη συνάρτηση y = x+2, δηλαδή f(x) = x+2.

      Σχεδιάστε δύο τεμνόμενες κάθετες ευθείες.Η οριζόντια γραμμή είναι ο άξονας Χ. Η κάθετη γραμμή είναι ο άξονας Υ.

      Επισημάνετε τους άξονες συντεταγμένων.Χωρίστε κάθε άξονα σε ίσα τμήματα και αριθμήστε τα. Το σημείο τομής των αξόνων είναι 0. Για τον άξονα Χ: οι θετικοί αριθμοί απεικονίζονται στα δεξιά (από το 0) και οι αρνητικοί αριθμοί στα αριστερά. Για τον άξονα Υ: οι θετικοί αριθμοί απεικονίζονται στην κορυφή (από το 0) και οι αρνητικοί αριθμοί στο κάτω μέρος.

      Βρείτε τις τιμές "y" από τις τιμές "x".Στο παράδειγμά μας f(x) = x+2. Αντικαταστήστε ορισμένες τιμές "x" σε αυτόν τον τύπο για να υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές "y". Εάν δίνεται μια σύνθετη συνάρτηση, απλοποιήστε την απομονώνοντας το "y" στη μία πλευρά της εξίσωσης.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Σχεδιάστε σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων.Για κάθε ζεύγος συντεταγμένων, κάντε τα εξής: βρείτε την αντίστοιχη τιμή στον άξονα x και σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή (διακεκομμένη γραμμή). βρείτε την αντίστοιχη τιμή στον άξονα y και σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή (διακεκομμένη γραμμή). Σημειώστε το σημείο τομής των δύο διακεκομμένων γραμμών. Έτσι, έχετε σχεδιάσει ένα σημείο γραφήματος.

      Διαγράψτε τις διακεκομμένες γραμμές.Κάντε αυτό αφού σχεδιάσετε όλα τα σημεία του γραφήματος στο επίπεδο συντεταγμένων. Σημείωση: η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το κέντρο των συντεταγμένων [σημείο με συντεταγμένες (0,0)]. η γραφική παράσταση f(x) = x + 2 είναι μια ευθεία παράλληλη στην ευθεία f(x) = x, αλλά μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά δύο μονάδες και επομένως διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0,2) (επειδή η σταθερά είναι 2) .

   Σχεδιάζοντας μια σύνθετη συνάρτηση

   Να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης.Τα μηδενικά μιας συνάρτησης είναι οι τιμές της μεταβλητής "x" στην οποία y = 0, δηλαδή αυτά είναι τα σημεία τομής του γραφήματος με τον άξονα x. Λάβετε υπόψη ότι δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις μηδενικά, αλλά αυτό είναι το πρώτο βήμα στη διαδικασία δημιουργίας γραφήματος οποιασδήποτε συνάρτησης. Για να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης, ορίστε την ίση με το μηδέν. Για παράδειγμα:

   Βρείτε και χαρακτηρίστε τις οριζόντιες ασύμπτωτες.Ασύμπτωτη είναι μια γραμμή την οποία το γράφημα μιας συνάρτησης προσεγγίζει αλλά δεν διασχίζει ποτέ (δηλαδή, η συνάρτηση δεν ορίζεται σε αυτήν την περιοχή, για παράδειγμα, όταν διαιρείται με το 0). Σημειώστε την ασύμπτωτη με μια διακεκομμένη γραμμή. Εάν η μεταβλητή "x" είναι στον παρονομαστή ενός κλάσματος (για παράδειγμα, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), ορίστε τον παρονομαστή στο μηδέν και βρείτε το "x". Στις λαμβανόμενες τιμές της μεταβλητής "x", η συνάρτηση δεν ορίζεται (στο παράδειγμά μας, σχεδιάστε διακεκομμένες γραμμές μέσω x = 2 και x = -2), επειδή δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0. Αλλά ασύμπτωτα δεν υπάρχουν μόνο σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση περιέχει μια κλασματική έκφραση. Επομένως, συνιστάται η χρήση κοινής λογικής:

Επιλέγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και σχεδιάζουμε τις τιμές του ορίσματος στον άξονα της τετμημένης Χ, και στον άξονα y - οι τιμές της συνάρτησης y = f(x).

Γράφημα συνάρτησης y = f(x)καλείται το σύνολο όλων των σημείων, για τα οποία τα τετμημένα ανήκουν στον τομέα της συνάρτησης και οι τεταγμένες ισούνται με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης.

Με άλλα λόγια, η γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) είναι το σύνολο όλων των σημείων στο επίπεδο, οι συντεταγμένες Χ, στοπου ικανοποιούν τη σχέση y = f(x).

Στο σχ. Τα 45 και 46 είναι γραφήματα συναρτήσεων y = 2x + 1και y \u003d x 2 - 2x.

Αυστηρά μιλώντας, θα πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης (ο ακριβής μαθηματικός ορισμός της οποίας δόθηκε παραπάνω) και της σχεδιασμένης καμπύλης, η οποία δίνει πάντα μόνο ένα περισσότερο ή λιγότερο ακριβές σκίτσο του γραφήματος (και ακόμη και τότε, κατά κανόνα, όχι ολόκληρο το γράφημα, αλλά μόνο το τμήμα του που βρίσκεται στα τελικά μέρη του επιπέδου). Σε όσα ακολουθούν, όμως, συνήθως θα αναφερθούμε σε «διάγραμμα» και όχι σε «σκίτσο γραφήματος».

Χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, μπορείτε να βρείτε την τιμή μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Δηλαδή, αν το σημείο x = αανήκει στο πεδίο εφαρμογής της λειτουργίας y = f(x), στη συνέχεια για να βρείτε τον αριθμό φά)(δηλαδή οι τιμές συνάρτησης στο σημείο x = α) πρέπει να το κάνει. Ανάγκη μέσα από κουκκίδα με τετμημένη x = αΣχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα y. αυτή η γραμμή θα τέμνει το γράφημα της συνάρτησης y = f(x)σε ένα σημείο; η τεταγμένη αυτού του σημείου θα είναι, δυνάμει του ορισμού του γραφήματος, ίση με φά)(Εικ. 47).

Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση f(x) = x 2 - 2xχρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 46) βρίσκουμε f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 κ.λπ.

Ένα γράφημα συνάρτησης απεικονίζει οπτικά τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, από μια θεώρηση του Σχ. 46 είναι σαφές ότι η συνάρτηση y \u003d x 2 - 2xπαίρνει θετικές τιμές όταν Χ< 0 και στο x > 2, αρνητικό - στο 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2xδέχεται στο x = 1.

Για να σχεδιάσετε μια συνάρτηση f(x)πρέπει να βρείτε όλα τα σημεία του επιπέδου, τις συντεταγμένες Χ,στοπου ικανοποιούν την εξίσωση y = f(x). Στις περισσότερες περιπτώσεις αυτό είναι αδύνατο, αφού υπάρχουν άπειρα τέτοια σημεία. Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται κατά προσέγγιση - με μεγαλύτερη ή μικρότερη ακρίβεια. Η απλούστερη είναι η μέθοδος σχεδίασης πολλών σημείων. Συνίσταται στο γεγονός ότι το επιχείρημα Χδώστε έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών - ας πούμε, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k και φτιάξτε έναν πίνακα που περιλαμβάνει τις επιλεγμένες τιμές της συνάρτησης.

Ο πίνακας μοιάζει με αυτό:

Έχοντας συντάξει έναν τέτοιο πίνακα, μπορούμε να περιγράψουμε αρκετά σημεία στο γράφημα της συνάρτησης y = f(x). Στη συνέχεια, συνδέοντας αυτά τα σημεία με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε μια κατά προσέγγιση άποψη του γραφήματος της συνάρτησης y = f(x).

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι η μέθοδος γραφικής παράστασης πολλαπλών σημείων είναι πολύ αναξιόπιστη. Στην πραγματικότητα, η συμπεριφορά του γραφήματος μεταξύ των σημειωμένων σημείων και η συμπεριφορά του έξω από το τμήμα μεταξύ των ακραίων σημείων που λαμβάνονται παραμένει άγνωστη.

Παράδειγμα 1. Για να σχεδιάσετε μια συνάρτηση y = f(x)κάποιος συνέταξε έναν πίνακα με τιμές ορίσματος και συναρτήσεων:

Τα αντίστοιχα πέντε σημεία φαίνονται στο Σχ. 48.

Με βάση τη θέση αυτών των σημείων, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή (που φαίνεται στο Σχ. 48 με μια διακεκομμένη γραμμή). Μπορεί αυτό το συμπέρασμα να θεωρηθεί αξιόπιστο; Αν δεν υπάρχουν πρόσθετες σκέψεις που να υποστηρίζουν αυτό το συμπέρασμα, δύσκολα μπορεί να θεωρηθεί αξιόπιστο. αξιόπιστος.

Για να τεκμηριώσετε τον ισχυρισμό μας, εξετάστε τη συνάρτηση

.

Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι οι τιμές αυτής της συνάρτησης στα σημεία -2, -1, 0, 1, 2 περιγράφονται ακριβώς από τον παραπάνω πίνακα. Ωστόσο, το γράφημα αυτής της συνάρτησης δεν είναι καθόλου ευθεία (φαίνεται στο Σχ. 49). Ένα άλλο παράδειγμα είναι η συνάρτηση y = x + l + sinx;Οι έννοιές του περιγράφονται επίσης στον παραπάνω πίνακα.

Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι στην «καθαρή» της μορφή, η μέθοδος γραφικής παράστασης πολλαπλών σημείων είναι αναξιόπιστη. Επομένως, για να σχεδιάσετε μια δεδομένη συνάρτηση, κατά κανόνα, προχωρήστε ως εξής. Αρχικά, μελετώνται οι ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, με τη βοήθεια των οποίων είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα σκίτσο του γραφήματος. Στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις τιμές της συνάρτησης σε πολλά σημεία (η επιλογή των οποίων εξαρτάται από τις ιδιότητες του συνόλου της συνάρτησης), βρίσκονται τα αντίστοιχα σημεία του γραφήματος. Και, τέλος, σχεδιάζεται μια καμπύλη μέσα από τα κατασκευασμένα σημεία χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης.

Θα εξετάσουμε μερικές (τις πιο απλές και συχνά χρησιμοποιούμενες) ιδιότητες των συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για την εύρεση ενός σκίτσου ενός γραφήματος αργότερα, και τώρα θα αναλύσουμε μερικές κοινώς χρησιμοποιούμενες μεθόδους για τη χάραξη γραφημάτων.

Γράφημα της συνάρτησης y = |f(x)|.

Συχνά είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια συνάρτηση y = |f(x)|, όπου f(x) -δεδομένη λειτουργία. Θυμηθείτε πώς γίνεται αυτό. Με τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός αριθμού, μπορεί κανείς να γράψει

Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα της συνάρτησης y=|f(x)|μπορεί να ληφθεί από το γράφημα, συναρτήσεις y = f(x)ως εξής: όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), των οποίων οι τεταγμένες είναι μη αρνητικές, θα πρέπει να παραμείνουν αμετάβλητες. περαιτέρω, αντί για τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), έχοντας αρνητικές συντεταγμένες, θα πρέπει να κατασκευάσει κανείς τα αντίστοιχα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = -f(x)(δηλαδή μέρος του γραφήματος συνάρτησης
y = f(x), που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ,πρέπει να αντανακλάται συμμετρικά γύρω από τον άξονα Χ).

Παράδειγμα 2Σχεδιάστε μια συνάρτηση y = |x|.

Παίρνουμε το γράφημα της συνάρτησης y = x(Εικ. 50, α) και μέρος αυτού του γραφήματος όταν Χ< 0 (που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ) ανακλάται συμμετρικά γύρω από τον άξονα Χ. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το γράφημα της συνάρτησης y = |x|(Εικ. 50, β).

Παράδειγμα 3. Σχεδιάστε μια συνάρτηση y = |x 2 - 2x|.

Πρώτα σχεδιάζουμε τη συνάρτηση y = x 2 - 2x.Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω, η κορυφή της παραβολής έχει συντεταγμένες (1; -1), η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα της τετμημένης στα σημεία 0 και 2. Στο διάστημα (0; 2 ) η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές, επομένως αυτό το τμήμα του γραφήματος αντανακλά συμμετρικά ως προς τον άξονα x. Το σχήμα 51 δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d |x 2 -2x |, με βάση το γράφημα της συνάρτησης y = x 2 - 2x

Γράφημα της συνάρτησης y = f(x) + g(x)

Εξετάστε το πρόβλημα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x) + g(x).αν δίνονται γραφήματα συναρτήσεων y = f(x)και y = g(x).

Σημειώστε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = |f(x) + g(х)| είναι το σύνολο όλων εκείνων των τιμών του x για τις οποίες ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x), δηλαδή αυτό το πεδίο ορισμού είναι η τομή των τομέων ορισμού, οι συναρτήσεις f(x ) και g(x).

Αφήστε τα σημεία (x 0, y 1) και (x 0, y 2) ανήκουν αντίστοιχα στα γραφήματα συναρτήσεων y = f(x)και y = g(x), δηλαδή υ 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0).Τότε το σημείο (x0;. y1 + y2) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) + g(x)(Για f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. και οποιοδήποτε σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x) + g(x)μπορούν να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο. Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης y = f(x) + g(x)μπορεί να ληφθεί από γραφήματα συναρτήσεων y = f(x). και y = g(x)αντικαθιστώντας κάθε σημείο ( x n, y 1) γραφικά λειτουργιών y = f(x)τελεία (x n, y 1 + y 2),όπου y 2 = g(x n), δηλ. μετατοπίζοντας κάθε σημείο ( x n, y 1) γράφημα συνάρτησης y = f(x)κατά μήκος του άξονα στοκατά το ποσό y 1 \u003d g (x n). Στην περίπτωση αυτή λαμβάνονται υπόψη μόνο τέτοια σημεία. Χ n για το οποίο ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις y = f(x)και y = g(x).

Αυτή η μέθοδος σχεδίασης γραφήματος συνάρτησης y = f(x) + g(x) ονομάζεται προσθήκη γραφημάτων συναρτήσεων y = f(x)και y = g(x)

Παράδειγμα 4. Στο σχήμα, με τη μέθοδο της προσθήκης γραφημάτων, κατασκευάζεται ένα γράφημα της συνάρτησης
y = x + sinx.

Όταν σχεδιάζετε μια συνάρτηση y = x + sinxυποθέσαμε ότι f(x) = x,ένα g(x) = sinx.Για να φτιάξουμε ένα γράφημα συνάρτησης, επιλέγουμε σημεία με τετμημένα -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Τιμές f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxθα υπολογίσουμε στα επιλεγμένα σημεία και θα τοποθετήσουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα.

Η κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων που περιέχουν ενότητες συνήθως προκαλεί σημαντικές δυσκολίες για τους μαθητές. Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο άσχημα. Αρκεί να θυμάστε αρκετούς αλγόριθμους για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων και μπορείτε εύκολα να σχεδιάσετε ακόμη και την πιο φαινομενικά πολύπλοκη συνάρτηση. Ας δούμε ποιοι είναι αυτοί οι αλγόριθμοι.

1. Σχεδίαση της συνάρτησης y = |f(x)|

Σημειώστε ότι το σύνολο των τιμών της συνάρτησης y = |f(x)| : y ≥ 0. Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις τέτοιων συναρτήσεων βρίσκονται πάντα πλήρως στο άνω ημιεπίπεδο.

Σχεδίαση της συνάρτησης y = |f(x)| αποτελείται από τα ακόλουθα απλά τέσσερα βήματα.

1) Κατασκευάστε προσεκτικά και προσεκτικά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x).

2) Αφήστε αμετάβλητα όλα τα σημεία του γραφήματος που βρίσκονται πάνω ή στον άξονα 0x.

3) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x, εμφανίζεται συμμετρικά ως προς τον άξονα 0x.

Παράδειγμα 1. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = |x 2 - 4x + 3|

1) Κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 2 - 4x + 3. Είναι προφανές ότι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι παραβολή. Ας βρούμε τις συντεταγμένες όλων των σημείων τομής της παραβολής με τους άξονες συντεταγμένων και τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Επομένως, η παραβολή τέμνει τον άξονα 0x στα σημεία (3, 0) και (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Επομένως, η παραβολή τέμνει τον άξονα 0y στο σημείο (0, 3).

Συντεταγμένες κορυφής παραβολής:

x σε \u003d - (-4/2) \u003d 2, y σε \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Επομένως, το σημείο (2, -1) είναι η κορυφή αυτής της παραβολής.

Σχεδιάστε μια παραβολή χρησιμοποιώντας τα ληφθέντα δεδομένα (Εικ. 1)

2) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x εμφανίζεται συμμετρικά ως προς τον άξονα 0x.

3) Παίρνουμε το γράφημα της αρχικής συνάρτησης ( ρύζι. 2, φαίνεται με διακεκομμένη γραμμή).

2. Σχεδίαση της συνάρτησης y = f(|x|)

Σημειώστε ότι οι συναρτήσεις της μορφής y = f(|x|) είναι άρτιες:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Αυτό σημαίνει ότι τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα 0y.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(|x|) αποτελείται από την ακόλουθη απλή αλυσίδα ενεργειών.

1) Σχεδιάστε τη συνάρτηση y = f(x).

2) Αφήστε εκείνο το τμήμα του γραφήματος για το οποίο x ≥ 0, δηλαδή το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται στο δεξί μισό επίπεδο.

3) Εμφανίστε το τμήμα του γραφήματος που καθορίζεται στην παράγραφο (2) συμμετρικά προς τον άξονα 0y.

4) Ως τελικό γράφημα, επιλέξτε την ένωση των καμπυλών που λαμβάνονται στις παραγράφους (2) και (3).

Παράδειγμα 2. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 – 4 · |x| + 3

Αφού x 2 = |x| 2 , τότε η αρχική συνάρτηση μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Και τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο που προτείνεται παραπάνω.

1) Κατασκευάζουμε προσεκτικά και προσεκτικά το γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 2 - 4 x + 3 (βλ. επίσης ρύζι. ένας).

2) Αφήνουμε εκείνο το τμήμα του γραφήματος για το οποίο x ≥ 0, δηλαδή το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται στο δεξί ημιεπίπεδο.

3) Εμφανίστε τη δεξιά πλευρά του γραφήματος συμμετρικά προς τον άξονα 0y.

(Εικ. 3).

Παράδειγμα 3. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = log 2 |x|

Εφαρμόζουμε το σχήμα που δίνεται παραπάνω.

1) Σχεδιάζουμε τη συνάρτηση y = log 2 x (Εικ. 4).

3. Σχεδίαση της συνάρτησης y = |f(|x|)|

Σημειώστε ότι συναρτήσεις της μορφής y = |f(|x|)| είναι επίσης άρτια. Πράγματι, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), και επομένως, οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα 0y. Το σύνολο τιμών τέτοιων συναρτήσεων: y ≥ 0. Επομένως, οι γραφικές παραστάσεις τέτοιων συναρτήσεων βρίσκονται πλήρως στο άνω μισό επίπεδο.

Για να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y = |f(|x|)|, χρειάζεται:

1) Κατασκευάστε ένα καθαρό γράφημα της συνάρτησης y = f(|x|).

2) Αφήστε αμετάβλητο το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται πάνω ή στον άξονα 0x.

3) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x θα πρέπει να εμφανίζεται συμμετρικά ως προς τον άξονα 0x.

4) Ως τελικό γράφημα, επιλέξτε την ένωση των καμπυλών που λαμβάνονται στις παραγράφους (2) και (3).

Παράδειγμα 4. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Σημειώστε ότι x 2 = |x| 2. Επομένως, αντί της αρχικής συνάρτησης y = -x 2 + 2|x| - ένας

μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση y = -|x| 2 + 2|x| – 1, αφού τα γραφήματα τους είναι τα ίδια.

Κατασκευάζουμε ένα γράφημα y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Για αυτό, χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο 2.

α) Σχεδιάζουμε τη συνάρτηση y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Εικ. 6).

β) Αφήνουμε εκείνο το τμήμα της γραφικής παράστασης, που βρίσκεται στο δεξί ημιεπίπεδο.

γ) Εμφανίστε το τμήμα του γραφήματος που προκύπτει συμμετρικά προς τον άξονα 0y.

δ) Το γράφημα που προκύπτει φαίνεται στο σχήμα με διακεκομμένη γραμμή (Εικ. 7).

2) Δεν υπάρχουν σημεία πάνω από τον άξονα 0x, αφήνουμε τα σημεία στον άξονα 0x αμετάβλητα.

3) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x εμφανίζεται συμμετρικά ως προς το 0x.

4) Το γράφημα που προκύπτει φαίνεται στο σχήμα με μια διακεκομμένη γραμμή (Εικ. 8).

Παράδειγμα 5. Σχεδιάστε τη συνάρτηση y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Πρώτα πρέπει να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Για να το κάνουμε αυτό, επιστρέφουμε στον αλγόριθμο 2.

α) Σχεδιάστε προσεκτικά τη συνάρτηση y = (2x – 4) / (x + 3) (Εικ. 9).

Σημειώστε ότι αυτή η συνάρτηση είναι γραμμική-κλασματική και η γραφική παράσταση της είναι υπερβολή. Για να δημιουργήσετε μια καμπύλη, πρέπει πρώτα να βρείτε τις ασύμπτωτες του γραφήματος. Οριζόντια - y \u003d 2/1 (ο λόγος των συντελεστών στο x στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλάσματος), κατακόρυφο - x \u003d -3.

2) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται πάνω ή στον άξονα 0x θα παραμείνει αμετάβλητο.

3) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x θα εμφανίζεται συμμετρικά ως προς το 0x.

4) Το τελικό γράφημα φαίνεται στο σχήμα (Εικ. 11).

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.