Funkcijas y 10x grafiks. Kā izveidot funkcijas grafiku. Lineāras funkcijas uzzīmēšana programmā Excel

Diemžēl ne visi studenti un skolēni zina un mīl algebru, bet katram ir jāgatavo mājas darbi, jārisina kontroldarbi un jākārto eksāmeni. Daudziem ir īpaši grūti atrast uzdevumus funkciju grafiku zīmēšanai: ja kaut kur kaut ko nesaproti, nepabeidz, nepalaid garām, kļūdas ir neizbēgamas. Bet kurš gan vēlas iegūt sliktas atzīmes?

Vai vēlaties pievienoties slikto un neveiksminieku grupai? Lai to izdarītu, jums ir 2 veidi: apsēsties pie mācību grāmatām un aizpildīt nepilnības zināšanās vai izmantot virtuālo palīgu - pakalpojumu funkciju grafiku automātiskai uzzīmēšanai atbilstoši noteiktiem nosacījumiem. Ar lēmumu vai bez tā. Šodien mēs jūs iepazīstināsim ar dažiem no tiem.

Labākais vietnē Desmos.com ir ļoti pielāgojams interfeiss, interaktivitāte, iespēja izplatīt rezultātus tabulās un bez laika bez laika ierobežojumiem saglabāt savu darbu resursu datu bāzē. Un trūkums ir tas, ka pakalpojums nav pilnībā tulkots krievu valodā.

Grafikus.ru

Grafikus.ru ir vēl viens ievērības cienīgs krievu valodas diagrammu kalkulators. Turklāt viņš tos būvē ne tikai divdimensiju, bet arī trīsdimensiju telpā.

Šeit ir nepilnīgs to uzdevumu saraksts, ar kuriem šis pakalpojums veiksmīgi tiek galā:

• Vienkāršu funkciju 2D grafiku zīmēšana: līnijas, parabolas, hiperbolas, trigonometriskās, logaritmiskās u.c.
• Parametru funkciju 2D grafiku zīmēšana: apļi, spirāles, Lissajous figūras un citas.
• 2D grafiku zīmēšana polārajās koordinātēs.
• Vienkāršu funkciju 3D virsmu konstruēšana.
• Parametrisko funkciju 3D virsmu konstruēšana.

Gatavais rezultāts tiek atvērts atsevišķā logā. Lietotājam ir iespējas lejupielādēt, izdrukāt un kopēt saiti uz to. Attiecībā uz pēdējo jums būs jāpiesakās pakalpojumā, izmantojot sociālo tīklu pogas.

Grafikus.ru koordinātu plakne atbalsta asu robežu, to etiķešu, režģa atstarpju, kā arī pašas plaknes platuma un augstuma un fonta lieluma maiņu.

Grafikus.ru lielākā stiprā puse ir spēja izveidot 3D grafikus. Pretējā gadījumā tas darbojas ne sliktāk, ne labāk nekā analogie resursi.

Onlinecharts.ru

Onlinecharts.ru tiešsaistes palīgs neveido diagrammas, bet gan gandrīz visu esošo veidu diagrammas. Tostarp:

• Lineārs.
• Kolonnveida.
• Apļveida.
• ar jomām.
• Radiāls.
• XY diagrammas.
• Burbulis.
• Punkts.
• Polārie buļļi.
• Piramīdas.
• Spidometri.
• Kolonna-lineāra.

Resurss ir ļoti viegli lietojams. Diagrammas izskats (fona krāsa, režģis, līnijas, rādītāji, stūra forma, fonti, caurspīdīgums, speciālie efekti utt.) ir pilnībā lietotāja definēts. Ēkas datus var ievadīt vai nu manuāli, vai importēt no tabulas CSV failā, kas saglabāts datorā. Gatavais rezultāts ir pieejams lejupielādei datorā kā attēla, PDF, CSV vai SVG fails, kā arī saglabāšanai tiešsaistē ImageShack.Us fotoattēlu mitināšanā vai savā Onlinecharts.ru personīgajā kontā. Pirmo iespēju var izmantot visi, otro - tikai reģistrētie.

Vispirms mēģiniet atrast funkcijas darbības jomu:

Vai jums izdevās? Salīdzināsim atbildes:

Viss kārtībā? Labi padarīts!

Tagad mēģināsim atrast funkcijas diapazonu:

Atrasts? Salīdzināt:

Vai tas piekrita? Labi padarīts!

Atkal strādāsim ar grafikiem, tikai tagad ir nedaudz grūtāk - atrast gan funkcijas domēnu, gan funkcijas diapazonu.

Kā atrast gan domēnu, gan funkcijas diapazonu (papildu)

Lūk, kas notika:

Ar grafiku, manuprāt, jūs to sapratāt. Tagad mēģināsim atrast funkcijas domēnu saskaņā ar formulām (ja nezināt, kā to izdarīt, izlasiet sadaļu par):

Vai jums izdevās? Pārbauda atbildes:

1. , jo saknes izteiksmei ir jābūt lielākai par nulli vai vienādai ar to.
2. , jo nav iespējams dalīt ar nulli un radikālā izteiksme nevar būt negatīva.
3. , jo, attiecīgi, visiem.
4. jo nevar dalīt ar nulli.

Tomēr mums joprojām ir vēl viens brīdis, kas nav atrisināts ...

Ļaujiet man atkārtot definīciju un koncentrēties uz to:

Pamanīja? Vārds "tikai" ir ļoti, ļoti svarīgs mūsu definīcijas elements. Es mēģināšu jums paskaidrot uz pirkstiem.

Pieņemsim, ka mums ir funkcija, ko dod taisna līnija. . Kad, mēs aizstājam šo vērtību savā "noteikumā" un iegūstam to. Viena vērtība atbilst vienai vērtībai. Mēs pat varam izveidot dažādu vērtību tabulu un uzzīmēt noteiktu funkciju, lai to pārbaudītu.

"Skaties! - tu saki, - "" sanāk divreiz!" Tātad, varbūt parabola nav funkcija? Nē, tā ir!

Fakts, ka "" notiek divreiz, nebūt nav iemesls apsūdzēt parabolu neskaidrībā!

Fakts ir tāds, ka, rēķinot, mēs saņēmām vienu spēli. Un, rēķinot ar, sanāca viena spēle. Tātad, parabola ir funkcija. Apskatiet diagrammu:

Sapratu? Ja nē, šeit ir piemērs no dzīves, kas ir tālu no matemātikas!

Pieņemsim, ka mums ir pretendentu grupa, kas satikās, iesniedzot dokumentus, un katrs no viņiem sarunā pastāstīja, kur viņš dzīvo:

Piekrītu, ir diezgan reāli, ka vienā pilsētā dzīvo vairāki puiši, bet vienam cilvēkam nav iespējams dzīvot vairākās pilsētās vienlaikus. Tas it kā ir loģisks mūsu "parabolas" attēlojums - Vairāki dažādi x atbilst vienam un tam pašam y.

Tagad nāksim klajā ar piemēru, kur atkarība nav funkcija. Pieņemsim, ka šie paši puiši pastāstīja, kādās specialitātēs viņi pieteicās:

Šeit mums ir pavisam cita situācija: viens cilvēks var viegli pieteikties vienam vai vairākiem virzieniem. Tas ir viens elements komplekti tiek likti sarakstē vairāki elementi komplekti. Respektīvi, tā nav funkcija.

Pārbaudīsim jūsu zināšanas praksē.

No attēliem nosakiet, kas ir funkcija un kas nav:

Sapratu? Un šeit ir atbildes:

• Funkcija ir - B,E.
• Nav funkcija — A, B, D, D.

Jautāsiet, kāpēc? Jā, lūk, kāpēc:

Visos skaitļos, izņemot AT) un E) ir vairāki pret vienu!

Esmu pārliecināts, ka tagad jūs varat viegli atšķirt funkciju no nefunkcijas, pateikt, kas ir arguments un kas ir atkarīgais mainīgais, kā arī noteikt argumenta un funkcijas apjomu. Pārejam pie nākamās sadaļas – kā definēt funkciju?

Funkcijas iestatīšanas veidi

Ko, tavuprāt, nozīmē vārdi "iestatīt funkciju"? Pareizi, tas nozīmē visiem paskaidrot, par kādu funkciju šajā gadījumā ir runa. Turklāt paskaidro tā, lai visi tevi pareizi saprastu un cilvēku zīmētie funkciju grafiki pēc tava skaidrojuma būtu vienādi.

Kā es to varu izdarīt? Kā iestatīt funkciju? Vienkāršākais veids, kas šajā rakstā jau ir izmantots vairāk nekā vienu reizi - izmantojot formulu. Mēs uzrakstām formulu un, aizstājot tajā vērtību, mēs aprēķinām vērtību. Un, kā jūs atceraties, formula ir likums, noteikums, saskaņā ar kuru mums un citam cilvēkam kļūst skaidrs, kā X pārvēršas par Y.

Parasti viņi dara tieši tā - uzdevumos mēs redzam gatavas funkcijas, kas definētas ar formulām, tomēr ir arī citi veidi, kā iestatīt funkciju, par kuru visi aizmirst, un tāpēc rodas jautājums "kā vēl jūs varat iestatīt funkciju?" mulsina. Apskatīsim visu kārtībā un sāksim ar analītisko metodi.

Funkcijas analītiskais definēšanas veids

Analītiskā metode ir funkcijas uzdevums, izmantojot formulu. Tas ir universālākais, visaptverošākais un nepārprotamākais veids. Ja jums ir formula, tad jūs zināt pilnīgi visu par funkciju - jūs varat uz tās izveidot vērtību tabulu, varat izveidot grafiku, noteikt, kur funkcija palielinās un kur samazinās, kopumā izpētīt to pilnā apmērā.

Apskatīsim funkciju. Kāda tam nozīme?

"Ko tas nozīmē?" - tu jautā. Es tagad paskaidrošu.

Atgādināšu, ka apzīmējumā izteiksmi iekavās sauc par argumentu. Un šis arguments var būt jebkurš izteiciens, ne vienmēr vienkāršs. Attiecīgi neatkarīgi no argumenta (izteiksme iekavās), mēs to ierakstīsim izteiksmē.

Mūsu piemērā tas izskatīsies šādi:

Apsveriet citu uzdevumu, kas saistīts ar analītisko metodi, lai norādītu funkciju, kas jums būs eksāmenā.

Atrodiet izteiksmes vērtību pie.

Esmu pārliecināts, ka sākumā tev bija bail, ieraugot šādu izteicienu, taču tajā nav absolūti nekā biedējoša!

Viss ir tāpat kā iepriekšējā piemērā: neatkarīgi no argumenta (izteiksme iekavās), mēs to ierakstīsim izteiksmē. Piemēram, funkcijai.

Kas būtu jādara mūsu piemērā? Tā vietā jums ir jāraksta, nevis -:

saīsiniet iegūto izteiksmi:

Tas ir viss!

Patstāvīgs darbs

Tagad mēģiniet pats atrast šādu izteicienu nozīmi:

1. , ja
2. , ja

Vai jums izdevās? Salīdzināsim mūsu atbildes: Mēs esam pieraduši, ka funkcijai ir forma

Pat savos piemēros mēs funkciju definējam šādā veidā, bet analītiski funkciju ir iespējams definēt, piemēram, netieši.

Mēģiniet izveidot šo funkciju pats.

Vai jums izdevās?

Lūk, kā es to izveidoju.

Pie kāda vienādojuma mēs nonācām?

Pareizi! Lineārs, kas nozīmē, ka grafiks būs taisna līnija. Izveidosim tabulu, lai noteiktu, kuri punkti pieder mūsu līnijai:

Tieši par to mēs runājām... Viens atbilst vairākiem.

Mēģināsim uzzīmēt notikušo:

Vai tas, kas mums ir, ir funkcija?

Pareizi, nē! Kāpēc? Mēģiniet atbildēt uz šo jautājumu ar attēlu. Ko tu dabūji?

"Jo viena vērtība atbilst vairākām vērtībām!"

Kādu secinājumu mēs no tā varam izdarīt?

Tieši tā, funkciju ne vienmēr var izteikt skaidri, un tas, kas ir "maskēts" kā funkcija, ne vienmēr ir funkcija!

Tabulas veids, kā definēt funkciju

Kā norāda nosaukums, šī metode ir vienkārša plāksne. Jā jā. Tāpat kā tas, kuru jau esam izveidojuši. Piemēram:

Šeit jūs uzreiz pamanījāt modeli - Y ir trīs reizes lielāks par X. Un tagad uzdevums “padomā ļoti labi”: vai, jūsuprāt, tabulas veidā dota funkcija ir līdzvērtīga funkcijai?

Nerunāsim ilgi, bet zīmēsim!

Tātad. Mēs zīmējam funkciju, kas dota abos veidos:

Vai redzat atšķirību? Runa nav par atzīmētajiem punktiem! Apskatiet to tuvāk:

Vai tu to tagad redzēji? Iestatot funkciju tabulas veidā, mēs grafikā atspoguļojam tikai tos punktus, kas mums ir tabulā, un līnija (kā mūsu gadījumā) iet tikai caur tiem. Kad mēs definējam funkciju analītiskā veidā, mēs varam ņemt jebkuru punktu, un mūsu funkcija neaprobežojas ar tiem. Šeit ir šāda funkcija. Atcerieties!

Grafisks veids, kā izveidot funkciju

Ne mazāk ērts ir funkcijas grafiskais konstruēšanas veids. Mēs uzzīmējam savu funkciju, un cits interesents var atrast, ar ko y ir vienāds ar noteiktu x, un tā tālāk. Grafiskās un analītiskās metodes ir vienas no visizplatītākajām.

Tomēr šeit ir jāatceras, par ko mēs runājām pašā sākumā - ne katrs koordinātu sistēmā uzzīmēts “svilums” ir funkcija! Atcerējās? Katram gadījumam es šeit nokopēšu funkcijas definīciju:

Parasti cilvēki parasti nosauc tieši tos trīs funkcijas norādīšanas veidus, kurus esam analizējuši - analītisko (izmantojot formulu), tabulu un grafisku, pilnībā aizmirstot, ka funkciju var aprakstīt verbāli. Kā šis? Jā, ļoti viegli!

Funkcijas verbāls apraksts

Kā verbāli aprakstīt funkciju? Ņemsim mūsu neseno piemēru - . Šo funkciju var raksturot kā "katra x reālā vērtība atbilst tās trīskāršajai vērtībai." Tas ir viss. Nekas sarežģīts. Protams, jūs iebildīsit - "ir tik sarežģītas funkcijas, ka to vienkārši nav iespējams iestatīt verbāli!" Jā, ir dažas, bet ir funkcijas, kuras ir vieglāk aprakstīt verbāli, nekā iestatīt ar formulu. Piemēram: "katra x dabiskā vērtība atbilst starpībai starp cipariem, no kuriem tā sastāv, savukārt lielākais cipars, kas ietverts skaitļa ierakstā, tiek uzskatīts par mazo vērtību." Tagad apsveriet, kā mūsu funkcijas verbālais apraksts tiek īstenots praksē:

Noteiktā skaitļa lielākais cipars - attiecīgi - tiek samazināts, tad:

Galvenie funkciju veidi

Tagad pāriesim pie interesantākā - mēs apsvērsim galvenos funkciju veidus, ar kuriem jūs strādājāt / strādājat un strādāsit skolas un institūta matemātikas kursā, tas ir, mēs tos iepazīsim, tā sakot, un sniedziet viņiem īsu aprakstu. Vairāk par katru funkciju lasiet attiecīgajā sadaļā.

Lineāra funkcija

Formas funkcija, kur ir reāli skaitļi.

Šīs funkcijas grafiks ir taisna līnija, tāpēc lineāras funkcijas konstrukcija tiek reducēta līdz divu punktu koordinātu atrašanai.

Taisnes pozīcija koordinātu plaknē ir atkarīga no slīpuma.

Funkciju tvērums (aka argumentu diapazons) - .

Vērtību diapazons ir.

kvadrātiskā funkcija

Formas funkcija, kur

Funkcijas grafiks ir parabola, kad parabolas zari ir vērsti uz leju, kad - uz augšu.

Daudzas kvadrātfunkcijas īpašības ir atkarīgas no diskriminanta vērtības. Diskriminantu aprēķina pēc formulas

Parabolas atrašanās vieta koordinātu plaknē attiecībā pret vērtību un koeficientu ir parādīta attēlā:

Domēns

Vērtību diapazons ir atkarīgs no dotās funkcijas galējības (parabolas virsotnes) un koeficienta (parabolas zaru virziena)

Apgrieztā proporcionalitāte

Funkcija, kas dota ar formulu, kur

Skaitli sauc par apgrieztās proporcionalitātes koeficientu. Atkarībā no vērtības hiperbolas zari atrodas dažādos kvadrātos:

Domēns - .

Vērtību diapazons ir.

KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULA

1. Funkcija ir noteikums, saskaņā ar kuru katram kopas elementam tiek piešķirts unikāls kopas elements.

• - šī ir formula, kas apzīmē funkciju, tas ir, viena mainīgā atkarību no cita;
• - mainīgais vai arguments;
• - atkarīgā vērtība - mainās, kad mainās arguments, tas ir, saskaņā ar kādu konkrētu formulu, kas atspoguļo vienas vērtības atkarību no citas.

2. Derīgas argumentu vērtības, vai funkcijas darbības joma, ir tas, kas ir saistīts ar iespējamo, saskaņā ar kuru funkcijai ir jēga.

3. Funkciju vērtību diapazons- lūk, kādas vērtības ir vajadzīgas ar derīgām vērtībām.

4. Ir 4 veidi, kā iestatīt funkciju:

• analītisks (izmantojot formulas);
• tabulas;
• grafisks
• verbāls apraksts.

5. Galvenie funkciju veidi:

• : , kur, ir reālie skaitļi;
• : , kur;
• : , kur.

Funkciju grafiks ir vizuāls attēlojums kādas funkcijas darbībai koordinātu plaknē. Grafiki palīdz izprast dažādus funkcijas aspektus, kurus nevar noteikt pēc pašas funkcijas. Varat izveidot daudzu funkciju grafikus, un katra no tām tiks dota ar noteiktu formulu. Jebkuras funkcijas grafiks tiek veidots pēc noteikta algoritma (ja esat aizmirsis precīzu konkrētas funkcijas grafika uzzīmēšanas procesu).

Soļi

Lineāras funkcijas uzzīmēšana

Nosakiet, vai funkcija ir lineāra. Lineāru funkciju nosaka formas formula F (x) = k x + b (\displeja stils F(x)=kx+b) vai y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(piemēram, ), un tā grafiks ir taisna līnija. Tādējādi formula ietver vienu mainīgo un vienu konstanti (konstanti) bez eksponentiem, saknes zīmēm un tamlīdzīgi. Ņemot vērā līdzīgas formas funkciju, šādas funkcijas attēlošana ir diezgan vienkārša. Šeit ir citi lineāro funkciju piemēri:

Izmantojiet konstanti, lai atzīmētu punktu uz y ass. Konstante (b) ir grafika krustošanās punkta "y" koordināte ar Y asi, tas ir, tas ir punkts, kura "x" koordināte ir 0. Tātad, ja x = 0 tiek aizstāts formulā , tad y = b (konstante). Mūsu piemērā y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstante ir 5, tas ir, krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātas (0,5). Atzīmējiet šo punktu koordinātu plaknē.

Atrodiet līnijas slīpumu. Tas ir vienāds ar mainīgā reizinātāju. Mūsu piemērā y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) ar mainīgo "x" ir koeficients 2; tātad slīpums ir 2. Slīpums nosaka taisnes slīpuma leņķi pret X asi, tas ir, jo lielāks slīpums, jo ātrāk funkcija palielinās vai samazinās.

Uzrakstiet slīpumu kā daļu. Slīpums ir vienāds ar slīpuma leņķa tangensu, tas ir, vertikālā attāluma (starp diviem punktiem uz taisnas līnijas) attiecību pret horizontālo attālumu (starp tiem pašiem punktiem). Mūsu piemērā slīpums ir 2, tāpēc varam teikt, ka vertikālais attālums ir 2 un horizontālais attālums ir 1. Uzrakstiet to kā daļskaitli: 2 1 (\displaystyle (\frac (2) (1))).

• Ja slīpums ir negatīvs, funkcija samazinās.

1. No punkta, kur līnija krustojas ar Y asi, uzzīmējiet otru punktu, izmantojot vertikālo un horizontālo attālumu. Lineāru funkciju var attēlot, izmantojot divus punktus. Mūsu piemērā krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātas (0,5); no šī punkta pārvietojiet 2 atstarpes uz augšu un pēc tam 1 atstarpi pa labi. Atzīmējiet punktu; tai būs koordinātes (1,7). Tagad jūs varat novilkt taisnu līniju.

   Izmantojiet lineālu, lai novilktu taisnu līniju caur diviem punktiem. Lai izvairītos no kļūdām, atrodiet trešo punktu, taču vairumā gadījumu grafiku var veidot, izmantojot divus punktus. Tādējādi jūs esat uzzīmējis lineāru funkciju.

   Punktu zīmēšana koordinātu plaknē

   1. Definējiet funkciju. Funkcija tiek apzīmēta kā f(x). Visas iespējamās mainīgā "y" vērtības sauc par funkcijas diapazonu, un visas iespējamās mainīgā "x" vērtības sauc par funkcijas domēnu. Piemēram, apsveriet funkciju y = x+2, proti, f(x) = x+2.

      Uzzīmējiet divas krustojošas perpendikulāras līnijas. Horizontālā līnija ir X ass, vertikālā līnija ir Y ass.

      Atzīmējiet koordinātu asis. Sadaliet katru asi vienādos segmentos un numurējiet tos. Asu krustpunkts ir 0. X asij: pozitīvie skaitļi ir attēloti labajā pusē (no 0), bet negatīvie skaitļi - kreisajā pusē. Y asij: pozitīvie skaitļi tiek attēloti augšpusē (no 0), bet negatīvie skaitļi - apakšā.

      Atrodiet "y" vērtības no "x" vērtībām. Mūsu piemērā f(x) = x+2. Šajā formulā aizstājiet noteiktas "x" vērtības, lai aprēķinātu atbilstošās "y" vērtības. Ja tiek dota sarežģīta funkcija, vienkāršojiet to, vienādojuma vienā pusē izolējot "y".

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Uzzīmējiet punktus koordinātu plaknē. Katram koordinātu pārim rīkojieties šādi: atrodiet atbilstošo vērtību uz x ass un novelciet vertikālu līniju (punktētu līniju); atrodiet atbilstošo vērtību uz y ass un novelciet horizontālu līniju (punktētu līniju). Atzīmējiet divu punktētu līniju krustošanās punktu; tādējādi jūs esat uzzīmējis grafika punktu.

      Izdzēsiet punktētās līnijas. Dariet to pēc visu grafika punktu uzzīmēšanas koordinātu plaknē. Piezīme: funkcijas f(x) = x grafiks ir taisne, kas iet caur koordinātu centru [punkts ar koordinātām (0,0)]; grafiks f(x) = x + 2 ir taisne, kas ir paralēla taisnei f(x) = x, bet nobīdīta uz augšu par divām vienībām un tāpēc iet caur punktu ar koordinātām (0,2) (jo konstante ir 2) .

   Sarežģītas funkcijas uzzīmēšana

   Atrodiet funkcijas nulles. Funkcijas nulles ir mainīgā "x" vērtības, pie kurām y = 0, tas ir, tie ir diagrammas krustošanās punkti ar x asi. Ņemiet vērā, ka ne visām funkcijām ir nulles, bet tas ir pirmais solis jebkuras funkcijas grafika zīmēšanas procesā. Lai atrastu funkcijas nulles, iestatiet to vienādu ar nulli. Piemēram:

   Atrodiet un marķējiet horizontālās asimptotes. Asimptote ir līnija, kurai funkcijas grafiks tuvojas, bet nekad nešķērso (tas ir, funkcija šajā apgabalā nav definēta, piemēram, dalot ar 0). Atzīmējiet asimptotu ar punktētu līniju. Ja mainīgais "x" atrodas daļdaļas saucējā (piemēram, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), iestatiet saucēju uz nulli un atrodiet "x". Iegūtajās mainīgā "x" vērtībās funkcija nav definēta (mūsu piemērā velciet punktētas līnijas caur x = 2 un x = -2), jo nevar dalīt ar 0. Bet asimptoti pastāv ne tikai gadījumos, kad funkcija satur daļēju izteiksmi. Tāpēc ieteicams izmantot veselo saprātu:

Plaknē izvēlamies taisnstūra koordinātu sistēmu un uz abscisu ass attēlojam argumenta vērtības X, un uz y ass - funkcijas vērtības y = f(x).

Funkciju grafiks y = f(x) tiek izsaukta visu punktu kopa, kurai abscises pieder funkcijas domēnam, un ordinātas ir vienādas ar atbilstošajām funkcijas vērtībām.

Citiem vārdiem sakot, funkcijas y \u003d f (x) grafiks ir visu plaknes punktu kopa, koordinātas X, plkst kas apmierina attiecības y = f(x).

Uz att. 45 un 46 ir funkciju grafiki y = 2x + 1 un y \u003d x 2 - 2x.

Stingri sakot, ir jānošķir funkcijas grafiks (kuras precīza matemātiskā definīcija tika sniegta iepriekš) no uzzīmētās līknes, kas vienmēr sniedz tikai vairāk vai mazāk precīzu diagrammas skici (un pat tad, kā likums, nevis viss grafiks, bet tikai tā daļa, kas atrodas plaknes pēdējās daļās). Tomēr turpmāk mēs parasti atsauksimies uz "diagrammu", nevis uz "diagrammas skici".

Izmantojot grafiku, jūs varat atrast funkcijas vērtību punktā. Proti, ja punkts x = a pieder pie funkcijas darbības jomas y = f(x), pēc tam, lai atrastu numuru f(a)(t.i., funkcijas vērtības punktā x = a) tas jādara. Vajag caur punktu ar abscisu x = a novilkt taisnu līniju, kas ir paralēla y asij; šī līnija krustos funkcijas grafiku y = f(x) vienā punktā; šī punkta ordināta saskaņā ar grafa definīciju būs vienāda ar f(a)(47. att.).

Piemēram, funkcijai f(x) = x 2 - 2x izmantojot grafiku (46. att.) atrodam f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 utt.

Funkcijas grafiks vizuāli ilustrē funkcijas uzvedību un īpašības. Piemēram, ņemot vērā att. 46 ir skaidrs, ka funkcija y \u003d x 2 - 2x pieņem pozitīvas vērtības, kad X< 0 un plkst x > 2, negatīvs - pie 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x pieņem plkst x = 1.

Lai attēlotu funkciju f(x) jums jāatrod visi plaknes punkti, koordinātas X,plkst kas apmierina vienādojumu y = f(x). Vairumā gadījumu tas nav iespējams, jo šādu punktu ir bezgalīgi daudz. Tāpēc funkcijas grafiks ir attēlots aptuveni – ar lielāku vai mazāku precizitāti. Vienkāršākā ir vairāku punktu diagrammas metode. Tas sastāv no tā, ka arguments X norādiet ierobežotu skaitu vērtību - teiksim, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k un izveidojiet tabulu, kurā iekļautas funkcijas atlasītās vērtības.

Tabula izskatās šādi:

Sastādot šādu tabulu, funkcijas grafikā varam iezīmēt vairākus punktus y = f(x). Tad, savienojot šos punktus ar gludu līniju, mēs iegūstam aptuvenu funkcijas grafika skatu y = f(x).

Tomēr jāatzīmē, ka daudzpunktu zīmēšanas metode ir ļoti neuzticama. Faktiski diagrammas uzvedība starp atzīmētajiem punktiem un tās uzvedība ārpus segmenta starp galējiem punktiem joprojām nav zināma.

1. piemērs. Lai attēlotu funkciju y = f(x) kāds sastādīja argumentu un funkciju vērtību tabulu:

Atbilstošie pieci punkti ir parādīti attēlā. 48.

Pamatojoties uz šo punktu atrašanās vietu, viņš secināja, ka funkcijas grafiks ir taisna līnija (48. attēlā parādīta ar punktētu līniju). Vai šo secinājumu var uzskatīt par ticamu? Ja vien nav papildu apsvērumu, kas pamato šo secinājumu, to diez vai var uzskatīt par ticamu. uzticams.

Lai pamatotu mūsu apgalvojumu, apsveriet funkciju

.

Aprēķini liecina, ka šīs funkcijas vērtības punktos -2, -1, 0, 1, 2 ir tikai aprakstītas iepriekšējā tabulā. Taču šīs funkcijas grafiks nepavisam nav taisna līnija (tā parādīta 49. att.). Vēl viens piemērs ir funkcija y = x + l + sinx; tā nozīmes ir aprakstītas arī iepriekš tabulā.

Šie piemēri parāda, ka savā "tīrā" veidā daudzpunktu diagrammas metode nav uzticama. Tāpēc, lai attēlotu doto funkciju, parasti rīkojieties šādi. Vispirms tiek pētītas šīs funkcijas īpašības, ar kuras palīdzību iespējams konstruēt grafa skici. Pēc tam, aprēķinot funkcijas vērtības vairākos punktos (kuru izvēle ir atkarīga no iestatītajām funkcijas īpašībām), tiek atrasti atbilstošie grafika punkti. Un visbeidzot, izmantojot šīs funkcijas īpašības, caur konstruētajiem punktiem tiek novilkta līkne.

Mēs apsvērsim dažas (vienkāršākās un biežāk lietotās) funkciju īpašības, kuras izmanto, lai atrastu grafa skici vēlāk, un tagad mēs analizēsim dažas visbiežāk izmantotās metodes grafiku zīmēšanai.

Funkcijas y = |f(x)| grafiks.

Bieži vien ir nepieciešams uzzīmēt funkciju y = |f(x)|, kur f(x) - dotā funkcija. Atcerieties, kā tas tiek darīts. Pēc skaitļa absolūtās vērtības definīcijas var rakstīt

Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks y=|f(x)| var iegūt no grafika, funkcijas y = f(x)šādi: visi funkcijas grafika punkti y = f(x), kuras ordinātas nav negatīvas, jāatstāj nemainīga; tālāk funkcijas grafika punktu vietā y = f(x), kam ir negatīvas koordinātas, jākonstruē atbilstošie funkcijas grafika punkti y = -f(x)(t.i., funkciju grafika daļa
y = f(x), kas atrodas zem ass X, jāatspoguļo simetriski ap asi X).

2. piemērs Uzzīmējiet funkciju y = |x|.

Mēs ņemam funkcijas grafiku y = x(50. att., a) un daļa no šī grafika, kad X< 0 (guļ zem ass X) ir simetriski atspoguļots ap asi X. Rezultātā mēs iegūstam funkcijas grafiku y = |x|(50. att., b).

3. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y = |x 2 - 2x|.

Vispirms mēs attēlojam funkciju y = x 2 - 2x.Šīs funkcijas grafiks ir parabola, kuras zari ir vērsti uz augšu, parabolas augšpusē ir koordinātas (1; -1), tās grafiks krusto abscisu asi punktos 0 un 2. Intervālā (0; 2) ) funkcijai ir negatīvas vērtības, tāpēc šī grafika daļa atspoguļojas simetriski ap x asi. 51. attēlā parādīts funkcijas grafiks y \u003d |x 2 -2x |, pamatojoties uz funkcijas grafiku y = x 2 - 2x

Funkcijas y = f(x) + g(x) grafiks

Apsveriet funkcijas attēlošanas problēmu y = f(x) + g(x). ja ir doti funkciju grafiki y = f(x) un y = g(x).

Ņemiet vērā, ka funkcijas y domēns = |f(x) + g(х)| ir visu to x vērtību kopa, kurām ir definētas abas funkcijas y = f(x) un y = g(x), t.i., šis definīcijas apgabals ir definīcijas domēnu, funkciju f(x) krustpunkts. ) un g(x).

Ļaujiet punktiem (x 0, y 1) un (x 0, y 2) attiecīgi pieder funkciju grafikiem y = f(x) un y = g(x), t.i., g 1 \u003d f (x 0), y 2 = g (x 0). Tad punkts (x0;. y1 + y2) pieder funkcijas grafikam y = f(x) + g(x)(priekš f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. un jebkuru funkcijas grafika punktu y = f(x) + g(x) var iegūt šādā veidā. Tāpēc funkcijas grafiks y = f(x) + g(x) var iegūt no funkciju grafikiem y = f(x). un y = g(x) aizstājot katru punktu ( x n, y 1) funkciju grafika y = f(x) punkts (x n, y 1 + y 2), kur y 2 = g(x n), t.i., pārbīdot katru punktu ( x n, y 1) funkciju grafiks y = f(x) pa asi plkst pēc summas y 1 \u003d g (x n). Šajā gadījumā tiek ņemti vērā tikai šādi punkti. X n, kam ir definētas abas funkcijas y = f(x) un y = g(x).

Šī funkcijas grafika attēlošanas metode y = f(x) + g(x) sauc par funkciju grafiku saskaitīšanu y = f(x) un y = g(x)

4. piemērs. Attēlā ar grafiku pievienošanas metodi ir izveidots funkcijas grafiks
y = x + sinx.

Uzzīmējot funkciju y = x + sinx mēs to pieņēmām f(x) = x, a g(x) = sinx. Lai izveidotu funkciju grafiku, mēs atlasām punktus ar abscisēm -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vērtības f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx mēs aprēķināsim izvēlētajos punktos un ievietosim rezultātus tabulā.

Moduļus saturošu funkciju grafiku konstruēšana parasti rada ievērojamas grūtības skolēniem. Tomēr viss nav tik slikti. Pietiek atcerēties vairākus algoritmus šādu problēmu risināšanai, un jūs varat viegli attēlot pat šķietami sarežģītāko funkciju. Apskatīsim, kādi ir šie algoritmi.

1. Funkcijas y = |f(x)| attēlošana

Ņemiet vērā, ka funkciju vērtību kopa y = |f(x)| : y ≥ 0. Tādējādi šādu funkciju grafiki vienmēr pilnībā atrodas augšējā pusplaknē.

Funkcijas y = |f(x)| attēlošana sastāv no šādām vienkāršām četrām darbībām.

1) Uzmanīgi un rūpīgi izveidojiet funkcijas y = f(x) grafiku.

2) Atstājiet nemainīgus visus diagrammas punktus, kas atrodas virs vai uz 0x ass.

3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski ap 0x asi.

Piemērs 1. Uzzīmējiet funkcijas y = |x 2 - 4x + 3| grafiku

1) Mēs izveidojam funkcijas y \u003d x 2 - 4x + 3 grafiku. Ir skaidrs, ka šīs funkcijas grafiks ir parabola. Atradīsim visu parabolas krustošanās punktu koordinātas ar koordinātu asīm un parabolas virsotnes koordinātas.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Tāpēc parabola punktos (3, 0) un (1, 0) krustojas ar 0x asi.

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Tāpēc parabola krusto 0y asi punktā (0, 3).

Parabolas virsotņu koordinātas:

x in \u003d - (-4/2) \u003d 2, y in \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Tāpēc punkts (2, -1) ir šīs parabolas virsotne.

Izmantojot saņemtos datus, uzzīmējiet parabolu (1. att.)

2) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski attiecībā pret 0x asi.

3) Mēs iegūstam sākotnējās funkcijas grafiku ( rīsi. 2, parādīts ar punktētu līniju).

2. Funkcijas y = f(|x|) attēlošana

Ņemiet vērā, ka funkcijas formā y = f(|x|) ir pāra:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Tas nozīmē, ka šādu funkciju grafiki ir simetriski ap 0y asi.

Funkcijas y = f(|x|) attēlošana sastāv no šādas vienkāršas darbību ķēdes.

1) Atzīmējiet funkciju y = f(x).

2) Atstājiet to grafa daļu, kurai x ≥ 0, tas ir, grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.

3) Parādiet (2) punktā norādīto diagrammas daļu simetriski pret 0y asi.

4) Kā pēdējo grafiku atlasiet (2) un (3) punktā iegūto līkņu savienību.

2. piemērs. Uzzīmējiet funkcijas y = x 2 – 4 · |x| grafiku + 3

Tā kā x 2 = |x| 2 , tad sākotnējo funkciju var pārrakstīt šādi: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Un tagad mēs varam izmantot iepriekš piedāvāto algoritmu.

1) Mēs rūpīgi un rūpīgi veidojam funkcijas y \u003d x 2 - 4 x + 3 grafiku (skatiet arī rīsi. viens).

2) Atstājam to grafa daļu, kurai x ≥ 0, tas ir, grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.

3) Parādiet diagrammas labo pusi simetriski pret 0y asi.

(3. att.).

Piemērs 3. Uzzīmējiet funkcijas y = log 2 |x| grafiku

Mēs izmantojam iepriekš norādīto shēmu.

1) Uzzīmējam funkciju y = log 2 x (4. att.).

3. Funkcijas y = |f(|x|)| attēlošana

Ņemiet vērā, ka funkcijas formā y = |f(|x|)| arī ir vienmērīgi. Patiešām, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), un tāpēc to grafiki ir simetriski ap 0y asi. Šādu funkciju vērtību kopa: y ≥ 0. Tādējādi šādu funkciju grafiki pilnībā atrodas augšējā pusplaknē.

Lai attēlotu funkciju y = |f(|x|)|, jums ir nepieciešams:

1) Izveidojiet precīzu funkcijas y = f(|x|) grafiku.

2) Atstājiet nemainītu diagrammas daļu, kas atrodas virs 0x ass vai uz tās.

3) Diagrammas daļai, kas atrodas zem 0x ass, jābūt attēlotai simetriski attiecībā pret 0x asi.

4) Kā pēdējo grafiku atlasiet (2) un (3) punktā iegūto līkņu savienību.

4. piemērs. Uzzīmējiet funkcijas y = |-x 2 + 2|x| grafiku – 1|.

1) Ņemiet vērā, ka x 2 = |x| 2. Tādējādi sākotnējās funkcijas vietā y = -x 2 + 2|x| - viens

varat izmantot funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jo to grafiki ir vienādi.

Mēs veidojam grafiku y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Šim nolūkam mēs izmantojam 2. algoritmu.

a) Mēs attēlojam funkciju y \u003d -x 2 + 2x - 1 (6. att.).

b) Atstājam to grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.

c) Parādīt iegūto grafika daļu simetriski pret 0y asi.

d) Iegūtais grafiks ir parādīts attēlā ar punktētu līniju (7. att.).

2) Virs 0x ass nav punktu, punktus uz 0x ass atstājam nemainīgus.

3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski attiecībā pret 0x.

4) Iegūtais grafiks ir parādīts attēlā ar punktētu līniju (8. att.).

5. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Vispirms jums jāatzīmē funkcija y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Lai to izdarītu, mēs atgriežamies pie 2. algoritma.

a) Uzmanīgi uzzīmējiet funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (9. att.).

Ņemiet vērā, ka šī funkcija ir lineāri frakcionēta un tās grafiks ir hiperbola. Lai izveidotu līkni, vispirms jāatrod diagrammas asimptoti. Horizontāli - y \u003d 2/1 (koeficientu attiecība pie x daļas skaitītājā un saucējā), vertikālā - x \u003d -3.

2) Diagrammas daļa, kas atrodas virs vai uz 0x ass, tiks atstāta nemainīga.

3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiks parādīta simetriski attiecībā pret 0x.

4) Galīgais grafiks ir parādīts attēlā (11. att.).

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.